Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы дискретной математики. Теория графов. Практикум
.pdf
Определяем граф как неокрестность вершины 1 в графе
вершины 6 в графе
:
, а
(1)
=
=
∅
(6)
Повторяем для вершины 1 в дереве пункты алгоритма.
Совершая обход дерева от корня к листьям и собирая множество
вершин, формируем множество пустых подграфов:
={1, 3,5},
={3, 6},
={2, 5},
={4, 6}.
Максимальная мощность пустого подграфа определяет число
внутренней устойчивости ε
:
ε
=3.
51
Пример 2
Задан граф . Найти все пустые подграфы заданного графа.
:
Сопоставляем корню порождающего дерева исходный граф .
Фиксируем вершину с минимальной степенью 1. Окрестность
вершины 1 в графе : 2, 4 и 8.
Формируем порождающее дерево:
=
(1)
=
(2)
=
(4)
=
(8)
Рассматриваем каждую вершину дерева, отдельно считая ее корнем нового дерева. Продолжаем так, пока порождаемые вершины не
будут взвешены графами, не содержащими вершин, т. е. символом
пустого множества ∅.
52
Получаем следующее дерево:
:
:
:
:
:
:
: : ∅ :
:
:
={1, 3,5, 7}, ={1, 3,6, 9}, ={2, 4,7}, ={2, 4,8},
={2, 5,7}, ={2, 5,8}, ={2, 6}, ={4, 8,9}.
=4.
53
Задачи
Найти все пустые подграфы заданных графов.
Задание № 1 Задание № 2 Задание № 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1 1 1
9 1 1 1 1 1 1 1
10 1 1 1 1 1 1 1
123456789 10
1 1 1 1 1 1 1
2 1 11 1 11
3 11 1 1
4 1 11111
5 1 1 1 1 1
6 1 11 1 1
7 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1
9 1111 111
10 1 1 1 1
12345678910
1 11111 11
2 1 1 1 1
3 11 1 11111
4 1 1 11 111
5 11 1 1 1
6 1 111 1 11
7 1 1 1 111
8 111 1 1
9 1 11 11
1011111111
Задание № 4 Задание № 5 Задание № 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1
3 1 1 1
4 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1 1
9 1 1 1 1 1 1
10 1 1 1 1 1 1
123456789 10
1 111 1
2 1 1 1111
3 11 11 11 1
4 1 1 111
5 111 1 1 1
6 111 1 111
7 1 1 1 1 1
8 11111 1
9 11 11 1
10 1 1 111
12345678910
1 1 1 11111
2 1 11 11 11
3 1 1 11 1
4 11 111 11
5 11 1111
6 11 1 111
7 11111 111
8 1 1 111 11
9 11 11111 1
10111111111
54
Задание № 7 Задание № 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1 1 1
9 1 1 1 1 1 1 1 1
10 1 1 1 1 1 1 1
Задание № 9 Задание № 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1
9 1 1 1 1 1 1 1
10 1 1 1 1 1 1 1 1
12345678910
1 11 1 111
2 1 111 11
3 1 1111 1
4 1 1111
5 111 11 1
6 1111 11 1
7 111111 11
8 1 1 11
9 11 1 1 1
10 11 11 1
12345678910
1 11 11111
2 1 11111 11
3 11 1 11 1
4 11 11111
5 11 1 1 1 1
6 11111 1 1
7 1111 1 1
8 1 11 1 11
9 1111 1 1 1
10 1 1 11
55
Пример 1
Внешняя устойчивость графов
Найти β
() и β
() заданного графа .
:
Построим матрицу смежности заданного графа:
1 2 3 4 5 6
1 1
2 1 1
()=
3
4 1 1 1
5 1
6 1 1
Модифицируем матрицу (), выполнив дизъюнкцию между
матрицами () и единичной диагональной матрицей. В результате
получаем матрицу ():
1 2 3 4 5 6
1 1 1
2 1 1 1
56
()
=
3 1
4 1 1 1 1
5 1 1
6 1 1 1
Построим мультипликативно-аддитивную форму таблицы для порождения покрытий столбцов строками и преобразуем ее в аддитивно-мультипликативную форму:
(
1∪4∪6)&(1∪2)&(2∪3∪4∪6)&(2∪4)&(4∪5) & (5∪6)=
=(1∪2∙4∪2∙6) (4∪2∙5) (5∪6)=
=(1∪2∙4∪2∙6) (4∙5∪2∙5∪4∙6)=
=1∙4∙5∪1∙2∙5∪1∙4∙6∪2∙4∙5∪2∙4∙5∪2∙4∙6∪
∪2∙4∙5∙6∪2∙5∙6∪2∙4∙6=
=
1∙4∙5
1∙2∙5
∪
π
π
1∙4∙6
∪
π
2∙4∙5
∪
π
2∙4∙6
∪
π
2∙5∙6
∪
.
π
Среди найденных покрытий все покрытия имеют минимальную
мощность, равную трем: β
Для определения β
(
1∪2)&(2∪3∪4)&(3)&(1∪3∪4∪5)&(5∪6)&(1∪3∪6)=
()
=3.
() найдем все покрытия строк столбцами:
=(1∪2) & (3) & (5∪6)=3 & (1∙5∪1∙6∪2∙5∪2∙6)=
=
1∙3∙5
1∙3∙6
∪
π
π
2∙3∙5
∪
π
2∙3∙6
∪
π
Минимальная мощность из полученных покрытий равна 3:
()
β
= 3.
Пример 2
Найти β
() и β
() заданного графа .
:
57
Построим матрицу смежности заданного графа:
1 2 3 4 5
1 1 1 1
()=
2 1
3 1
4 1 1
5 1
Модифицируем матрицу ():
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
()
=
2 1 1
3 1 1
4 1 1 1
5 1 1
Найдем покрытия столбцов строками:
(
1∪2∪3) & (2∪4) & (1∪3∪5) & (1∪4) & (1∪4∪5)=
=(1∪3∪2∙5) & (4∪1∙2)=
=1∙2∪1∙4∪3∙4∪1∙2∙3∪2∙4∙5∪1∙2∙5=
=
1∙2
π
∪
1∙4
3∙4
∪
π
2∙4∙5
∪
π
π
Минимальная мощность покрытия равна 2:
()
β
=2.
Найдем покрытия строк столбцами:
(
1∪3∪4∪5) & (1∪2) & (1∪3) (2∪4∪5) & (3∪5)=
=(1∪2∙3) &(5∪2∙3∪3∙4)=
2∙3
=
1∙5
π
∪
1∙3∙4
∪
π
.
π
Минимальная мощность из полученных покрытий равна 2:
()
β
58
= 2.
Задачи
Найти внешнюю устойчивость графов.
Задание № 1 Задание № 2 Задание № 3
1 2 3 4 5 6 7
1
2 1
3 1 1 1 1
4 1 1 1
5 1
6 1
7 1
1234567
1 1
2
3 1 1
4 1
51 11
6 11 1
7
1234567
1 11
2 1
3 1 1
4 111
5 1 1
61
7 1
Задание № 4 Задание № 5 Задание № 6
1 2 3 4 5 6 7
1 1
2
3 1
4 1 1 1 1
5 1 1
6 1 1
7
1234567
1 1
2 11
3 1 11
4 11 1
5
6
7 11
1234567
11 1 11
21 1
3 1 11
4
5 1
6 1
7 1 1
Задание № 7 Задание № 8 Задание № 9
1 2 3 4 5 6 7
1
2 1 1
3 1 1 1
4 1
5 1
6 1
7 1 1
1234567
11
2 1 1 1
31 1
41 1
5
6 1 1
7 1
1234567
1 1
2 1111
3 1 1
41 1
5
6 1
71 1 1
59
Раскраска вершин графа
Пример 1
Раскрасить вершины графа в минимальное количество цветов.
:
Используя алгоритм нахождения всех пустых подграфов, найдем их:
: : :
= {1, 3, 5} = {1, 4} = {2, 6} = {4, 6}
Построим таблицу ():
1 2 3 4 5 6
1 1 1
1 1
():
60
1 1
1 1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]