Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы дискретной математики. Теория графов. Практикум
.pdf
Построим полученный граф :
Задачи
Найти объединение и сумму графов, заданных матрицами смежности.
Задание №1
Матрица смежности графа G1
1 2 4 6 8 10 11 12 14 15
1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1 1
10 1 1 1 1 1
11 1 1 1 1 1
12 1 1 1 1 1 1 1
14 1 1 1 1 1 1 1
15 1 1 1 1 1 1
Матрица смежности графа G2
2 3 5 6 7 8 9 11
2 1 1 1 1 1 1 1
3 1 1 1
5 1 1 1 1 1
6 1 1 1
7 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1 1
9 1 1 1 1
11 1 1 1
31
Задание № 2
Матрица смежности графа G1
1 2 3 4 5 7
1 1 1 1 1
2 1 1 1
3 1 1 1
4 1 1 1 1
5 1 1
7 1 1
Задание № 3
Матрица смежности графа G1
1 2 3 4 5 7 8 1011
1 1 1
2 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 1
4 1 1 1
5 1 1 1 1
7 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1
10 1 1 1 1 1 1
11 1 1 1 1 1 1
Матрица смежности графа G2
2 4 6 7 9 1012
2 1 1 1
4 1 1
6 1 1 1 1
7 1 1 1 1
9 1 1
10 1 1 1 1
12 1 1 1
Матрица смежности графа G2
1 2 3 4 5 6
1 1 1
2 1 1 1
3 1 1
4 1 1 1
5 1 1 1
6 1 1 1 1 1
Задание № 4
Матрица смежности графа G1
1 2 3 5 6 7 8
1 1 1
2 1 1 1 1
3 1 1 1
5 1 1 1 1
6 1 1
7 1 1 1
8 1 1
32
Матрица смежности графа G2
1 2 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1
2 1 1 1 1
4 1 1 1
5 1 1 1 1
6 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1
Задание № 5
у
Матрица смежности графа G1
1 2 3 4 5 6 8 9
1 1 1
2 1 1
3 1 1 1 1
4 1 1 1
5 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1
9 1 1 1 1
Матрица смежности графа G2
1 2 4 6 7 8 10121415
1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1
10 1 1 1 1 1 1 1
12 1 1 1 1 1 1
14 1 1 1 1 1 1 1 1
15 1 1 1 1 1 1 1
Связность графов
Пример 1
Построить матрицу достижимости () графа и определить
число компонент связности.
:
Определим расстояния межд
вершинами графа :
Г(1, 2)=Г(2, 1)= 1,
Г(1, 3)=Г(3, 1)= 2,
Г(1, 4)=Г(4, 1)= 1,
Г(1, 5)=Г(5, 1)= 1,
Г(2, 3)=Г(3, 2)= 1,
Г(2, 4)=Г(4, 2)= 2,
Г(2, 5)=Г(5, 2)= 1,
Г(3, 4)=Г(4, 3)= 1,
Г(3, 5)=Г(5, 3)=2,
Г(4, 5)=Г(5, 4)=1.
все расстояния в графе, определяем диаметр графа () как
Имея
максимальное из расстояний:
()= 2.
Следовательно, по определению, ()=+
.
33
Строим матрицу смежности ():
1 2 3 4 5
1 a p m
()=
2 a b s
3 b c
4 p c k
5 m s k
В пустых ячейках подразумеваем значение, равное нулю.
Вычисляем
() как матричное умножение матрицы () саму
на себя:
()
Вычислим элементы матрицы
=∙+ ∙+ ∙+ ∙+ ∙=
=()×().
() математически:
=0∙0+ ∙+ 0∙0+ ∙+ ∙={, ,}.
Данный результат получили из определения элемента матрицы
()
.
=∙+ ∙+ ∙+ ∙+ ∙=
=0∙+ ∙0+ 0∙+ ∙0+ ∙={}.
=∙+ ∙+ ∙+ ∙+ ∙=
=0∙0+ ∙+ 0∙0+ ∙+ ∙0={, }.
Продолжая, далее получаем следующую матрицу
1 2 3 4 5
1 aa, pp, mm ms ab, pc mk as
()
2 sm aa, ss, bb ap, bc, sk am
=
3 ba, cp bb, cc bs, ck
4 km pa, cb, ks cc, pp, kk pm
5 sa ma sb, kc mp mm, ss, kk
():
34
Вычисляем матрицу ():
у
1 2 3 4 5
1 aa, pp, mm ms ab, pc mk as
aa, ss,
ap, bc, sk am
bb
pa, cb,
cc, pp, kk pm
ks
()=()+
()
2 sm
=
3 ba, cp bb, cc bs, ck
4 km
5 sa ma sb, kc mp mm, ss, kk
Полученная матрица не содержит нулевых элементов, поэтому
является одноклеточной матрицей. Следовательно, в графе есть
только одна компонента связности и граф является связным.
Пример 2
Определить связность графа .
:
Определим расстояния межд
вершинами графа :
Г(1, 4)=Г(4, 1)= 1,
Г(1, 6)=Г(6, 1)= 2,
Г(1, 7)=Г(7, 1)= 1,
Г(2, 3)=Г(3, 2)= 1,
Г(2, 5)=Г(5, 2)= 1,
Г(3, 5)=Г(5, 3)= 1,
Г(4, 6)=Г(6, 4)= 3,
Г(4, 7)=Г(7, 4)= 2,
Г(6, 7)=Г(7, 6)=1.
Расстояния в графе между следующими парами вершин не су-
ществует по определению:
{
}
3},{1, 5},{2, 4},{2, 6},{2, 7},{3, 4},{3,6},
,{1,
1, 2
{
3, 7},{4, 5},{5, 6},{5, 7}.
Диаметр графа :
()= 3.
35
Для построения матрицы достижимости () нам надо найти
следующие матрицы:
(),
()
=()×(
)
и
Матрица
()
×
или
()
=()×
()
может быть вычислена двумя способами: ()×
()
× (). Однако стоит отметить, что операция
()
=
()
× ().
матричного умножения в общем случае не обладает свойствами
коммутативности: ×≠×. Но в данной задаче это исключе-
ние, связанное с тем, что мы умножаем только матрицу (
Строим матрицу (
()=
)
:
1 2 3 4 5 6 7
1 c a
2 b m
3 b k
4 c
5 m k
6 p
7 a p
)
.
Cтроим матрицу ():
()
=()×(
)
:
36
1 2 3 4 5 6 7
1 aa, cc ap
2 bb, mm mk bk
3 km bb, kk bm
4 cc
5 kb mb kk, mm
6 pa pp
7 ac aa, pp
ca
Cтроим матрицу ():
1 2 3 4 5 6 7
1 aac, ccc cca, aaa, aap
()
= ()× ()=
()
× ():
2 bkm, mkb
3
4 cca, ccc cap
5
6 pac paa, ppp
aaa, acc,
7
ppa
bbb, bmm,
kkb
mbb,
mmm, kkm
aap, ppp
bbb, bkk,
mmb
bmk, kmb
mmk, kbb,
kkk
mbk, kbm
Строим матрицу достижимости ()=()+
1 2 3 4 5 6 7
1 aa, cc c, aac, ccc ap
2
3
c, caa,
4
ccc
5
6 Pa pac pp p, paa, ppp
bb, mm, bkm,
mkb
b, km, bbb,
kkb, bmm
cc cap ca
m, kb, mbb,
mmm, kmm
b, mk, bbb,
bkk, mmb
bb, kk,
bmk, kbm
k, mb,
mmk, kbb,
kkk
bbm, mkk,
mmm
nbk, kkk,
kmm
m, bk, bbm,
mkk, mmm
k, bm, bbk,
kkk, kmm
kk, mm,
mbk, kbm
()
+
a, caa, aaa,
app
()
:
7
a, aac,
aaa, ppa
ac
p, aap,
ppp
aa, pp
Видно, что в матрице достижимости присутствуют нулевые элементы.
Произведем анализ матрицы и переставим строки и столбцы, чтобы привести матрицу к клеточному виду. В результате получим следующую матрицу:
37
1 4 6 7 2
b
3 5
()=
1 aa, cc
4 c, caa, ccc cc cap Ca
6 Pa pac pp
a, aac,
7
aaa, ppa
2
3
5
c, aac,
ccc
ac
a, caa,
ap
aaa, app
p, paa,
ppp
p, aap,
aa, pp
ppp
bb, mm,
bkm, mkb
b, km, bbb,
kkb, bmm
m, kb,
mbb,
mmm, kkm
n, mk,
bbb, bkk,
mmb
bb, kk,
bmk,
kbm
k, mb,
mmk,
kbb, kkk
m, bk,
bm, mkk,
mmm
k, bm,
bbk, kkk,
kmm
kk, mm,
mbk, kbm
Данная матрица является 2-клеточной матрицей. Каждая клетка, не
содержащая нулевых элементов, описывает компоненту связности:
{1,4,6,7} и {2,3,5}.
Так как в данном графе 2 компоненты связности, заданный граф
является несвязным графом.
Пример 3
Задан ориентированный граф . Определить число компонент
сильной связности.
:
38
Определим диаметр графа, перечислив все расстояния между па-
рами вершин:
Г(1, 2)=1
Г(1, 3)=2
Г(1, 4)=2
Г(1, 5)=3
Г(2, 1)=2
Г(2, 3)=1
Г(2, 4)=1
Г(2, 5)=2
Г(3, 1)=1
Г(3, 2)=2
Г(3, 4)=1
Г(3, 5)=2
Г(4, 1)=2
Г(4, 2)=3
Г(4, 3)=1
Г(4, 5)=1
1)=1
Г(5,
Г(5, 2)=2
Г(5, 3)=3
Г(5, 4)=3
Диаметр графа равен 3:
()= 3.
Для определения числа компонент сильной связности надо по-
строить матрицу достижимости (
()=()+
)
, которая будет вычислена как
()
+
()
.
Строим матрицу (
()=
Вычисляем матрицу
()
=
Вычисляем матрицу
1 2 3 4 5
1 bcp b bkt bcs bkm
()
=
2 kma cpb cst kts csm
3 sma pb pbc pbk, sts sm
4 tpb, mab tst tsm
5 abc abk
)
:
1 2 3 4 5
1 b
2 c k
3 p s
4 t m
5 a
()
=()× ():
1 2 3 4 5
1 bc bk
2 cp kt cs km
3 pb st sm
4 ma ts
5 ab
()
= ()×
()
или
()
× ():
39
Вычисляем матрицу достижимости:
1 2 3 4 5
1 bcp b bc, bkt bk, bcs bkm
()=
2 cp, kma cpb c, kt, cst k, cs, kts km, csm
3 p, sma pb st, pbc s, pbk, sts sm
4 ma tpb, mab t, tst ts m, tsm
5 a ab abc abk
Видно, что все элементы, кроме элемента
, заполнены ненуле-
,
выми значениями. По определению такая матрица является одноклеточной и описывает одну компоненту сильной связи.
Пример 4
Задан ориентированный граф . Определить число компонент
сильной связности.
:
Определим расстояния в графе :
Г(1, 2)=1
Г(1, 3)=2
Г(1, 4)=1
Г(1, 5)=2
Г(1, 6)=3
Г(2, 1)=3
Г(2, 3)=1
Г(2, 4)=1
Г(2, 5)=2
Г(2, 6)=2
Г(3, 6)=1Г(4, 1)=2
Г(4, 2)=3
Г(4, 3)=3
Г(4, 5)=1
Г(4, 6)=2
(
5, 1)=1
Г
2)=2
Г(5,
Г(5, 3)=2
Г(5, 4)=2
Г(5, 6)=1
Г(6, 3)=1
Расстояния между вершинами (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (6,1), (6,4)
и (6,5) невозможно определить, так как отсутствует путь между этими вершинами.
()= 3.
40
()=()+
()
+
()
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]