Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы дискретной математики. Теория графов. Практикум
.pdf
Условимся считать, что любая вершина графа покрывает сама себя и две смежные вершины покрывают друг друга. Тогда минимальная мощность множества вершин, покрывающих все вершины графа
, называется вершинным числом внешней устойчивости графа
()
.
β
Приведем алгоритм порождения всех пустых подграфов, в котором для уменьшения трудоемкости каждый раз будем фиксировать
вершину с минимальной степенью.
1. Сопоставляем корню синтезируемого дерева заданный граф .
2. Фиксируем в графе вершину
поставив ее концу исходящей из корня дуги. Строим
с минимальной степенью, со-
|
|
Г
исходя-
щих из корня дуг, и конец каждой из них взаимно однозначно сопос-
тавляем вершине окрестности (
).
3. Каждый конец построенных дуг взвешиваем неокрестностью
(
) вершины
4. Считаем конец
5. Устанавливаем, взвешена ли вершина
графа, сопоставленного рассматриваемому корню.
построенного яруса корнем нового дерева.
символом ∅. Если нет,
то переходим к п. 2, если да, то – к п. 6.
6. Пути между концами дуг, исходящих из корня синтезированного дерева, и висячими вершинами однозначно определяют пустые
подграфы заданного графа.
Модифицированной матрицей смежности
называется дизъ-
юнкция матриц смежности и единичной диагональной матрицы
{1,1,…,1}.
Определение числа внешней устойчивости сводится к построению
модифицированной матрицы смежности и выделению покрытия с
минимальным числом элементов.
Покрытием столбцов строками в двумерной таблице называется
такое множество строк, при котором для каждого столбца найдется
хотя бы одна строка из этого множества, на пересечении с которой
этот столбец имеет единицу, причем при вычеркивании хотя бы одного элемента из этого множества строк указанное свойство не выполняется.
Методом Петрика, преобразуя мультипликативно-аддитивную
форму в аддитивно-мультипликативную, можно породить все покрытия заданной таблицы.
B случае ориентированного графа кроме вершинного числа внеш-
ней устойчивости β
отрицательное β
()
графа различают положительное β
()
вершинные числа внешней устойчивости.
()
и
21
Положительным вершинным числом внешней устойчивости
()
β
жества вершин
и при удалении хотя бы одной вершины из
графа =<,Г> называется минимальная мощность мно-
={
} такого, что
{
}∪ {
Г
}
=,
данное соотношение
не выполняется. Это число определяет минимальное количество
вершин, из которых наблюдаются (достижимы за один шаг) все вершины графа.
Отрицательным вершинным числом внешней устойчивости
()
β
жества вершин
и при удалении хотя бы одной вершины из
графа =<,Г> называется минимальная мощность мно-
={
} такого, что
{
}∪ {
Г
}
=,
данное соотношение
не выполняется. Это число равно минимальному количеству вершин,
которые наблюдаются всеми вершинами графа.
Очевидно, что число β
ность покрытия столбцов строками, число β
()
вычисляется как минимальная мощ-
()
– как минимальная
мощность покрытия строк столбцами в модифицированной матрице
смежности () графа .
Пример. Вычислим числа β
()
и β
()
графа (рис. 6), мо-
дифицированная матрица смежности которого имеет вид
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Рис. 6. Исходный ориентированный
граф
=
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
Согласно определению внешне устойчивого множества, в котором
вершины, принадлежащие этому множеству, «наблюдаемы самими
22
собой», диагональные элементы матрицы смежности () имеют
значение 1, хотя в графе и отсутствуют петли. Покрывая столбцы
строками в модифицированной матрице смежности с помощью алгоритма Петрика
(
+)(+)(++)(+)(+)(+++)=
=(+)(+)(++)=
=(+)( + + + )=
= + + + + + ,
()
получаем β
=3. Каждый мультипликативный член в этих выра-
жениях определяет соответствующее внешне устойчивое множество.
ВЛОЖЕНИЕ ГРАФОВ В ПЛОСКОСТЬ
Рассмотрим топологические свойства графов. Топология исследует
свойства графов, инвариантные относительно гомеоморфных преобразований. Эти свойства определяются топологическими инвариантами.
Два графа гомеоморфны, если они изоморфны с точностью до
вершин степени 2. Другими словами, два графа гомеоморфны, если
они преобразуются до графов, изоморфных друг другу, заменой некоторых ребер цепями соответствующей длины.
Граф называется планарным, если изображается на плоскости так,
что его ребра пересекаются только в вершинах. Проблема характеризации планарных графов долгое время оставалась нерешенной. В
1827 г. Л.С. Понтрягин доказал (но не опубликовал) критерий планарности, который независимо от него был открыт и опубликован
польским математиком Куратовским в 1930 г.
Теорема (Л.С. Понтрягин). Граф планарен тогда и только тогда,
когда он не содержит подграфа, гомеоморфного
или
(рис. 7).
,
Рис. 7. Структура графов
,
и
23
Основываясь на критерии Понтрягина, можно получить еще
один критерий планарности, если ввести понятие элементарного
стягивания, которое состоит в следующем. При стягивании любого
ребра графа оно выбрасывается, а обе его вершины и (рис. 8),
коинцидентные ему, отождествляются; полученная при этом вер-
шина коинцидентна тем же ребрам, что и , (кроме ребра, которое
выброшено).
3
3
Рис. 8. Операция стягивания ребра
Теорема. Граф планарен тогда и только тогда, когда он не со-
держит подграфов, стягиваемых к
или к
,
.
Рассмотрим задачу, возникшую при проектировании печатной
схемы. При изготовлении электронных приборов соединительные
провода наносят печатным способом на плоскую поверхность изоляционного материала. Печатные проводники неизолированы, поэтому
они не должны пересекаться. Однако расположение приборов на
плате может быть таким, что невозможно избежать пересечения, поэтому, чтобы правильно спроектировать печатную схему, надо знать,
является ли граф, в котором роль вершин играют приборы, а ребрами
служат соединения между ними, планарным. Если граф непланарный, то печать должна проводиться на нескольких плоскостях и необходимо знать либо число скрещиваний графа (наименьшее возможное число пересечений при изображении его на плоскости), либо
его толщину. Толщиной графа называется наименьшее число пла-
нарных графов, объединение которых дает . Толщина планарного
графа равна 1. Нижняя оценка толщины () графа = <,> оп-
ределяется неравенством
()≥1+
∑
−2
6( − 2)
,
где
24
][
– целая часть, =||,
– степень i-й вершины.
РАСКРАСКА ВЕРШИН ГРАФА
Раскраской вершин графа = <,> в цветов (или k-
раскраской) называется разбиение носителя графа , при котором
каждое подмножество
=,
∩ = ∅,,=1,2,…,
не содержит ни одной пары смежных вершин. Каждому подмножеству сопоставляется цвет, в который окрашивают все элементы этого
подмножества. Вершины, окрашенные в один цвет, будем называть
соцветными.
Хроматическим числом ℎ() графа называется минимальное
число , для которого граф имеет n-раскраску. Граф, хроматическое
число которого равно n, называется n-хроматическим, если же
ℎ()≤, то граф называется n-раскрашиваемым.
Очевидно, что 1-хроматическим граф может быть тогда и только
тогда, когда он является пустым графом.
Для 2-хроматических графов справедлива следующая теорема.
Теорема (Кёниг). Граф является 2-хроматическим тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины.
Отметим, что аналогичная теорема задает и условие двудольности. Поэтому все 2-хроматические (двуцветные) графы являются
двудольными. Любое дерево, поскольку оно является двудольным
графом, двуцветно.
Если максимальная степень вершин графа равна (), то хрома-
тическое число этого графа не превышает величины ()+1:
ℎ()≤()+
1.
Для любого графа = <,>
||
≤ℎ()≤||− β+ 1,
β
где
– вершинное число независимости графа.
Приведем алгоритм точной раскраски вершин графа .
1. Найти множество пустых подграфов
заданного графа .
2. Построить бинарную двумерную таблицу (), в которой каж-
дая строка сопоставлена найденному в п.1 пустому подграфу, а стол-
25
бец сопоставляется с вершиной
()
равен 1, если пустой подграф содержит вершину
если иначе:
из графа. Элемент таблицы
, 0 –
1, если
=
0, если
∈,
∉.
Все вершины, входящие в пустой подграф, вошедший в покрытие,
красим одной краской.
3. Находим покрытия столбцов строками. Минимальное покрытие
описывает точную раскраску графа.
|
|
π
,
где π
– -е покрытие таблицы ().
ℎ()=min
26
Пример 1
Заданы два графа
= < ,>:
= < ,>:
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Операции над графами
и
. Найти их объединение.
={1, 2,4, 6,7};
= {1, 2},{1, 7},{2, 4},{2, 6},{4, 6},{6, 7}.
={1, 2,3, 5,6, 8,9};
{
1, 2},{1, 5},{1, 9},{2, 3},
=
{
3, 5},{3, 8},{5, 6}, {6,9}
.
=
∪ ,=<,>
По определению операции, объединение графов получаем:
:
=
∪
=
∪
{
1, 2},{1, 5},{1,7},{1, 9},{2, 3},{2,4},{2,6},
=
={1, 2,3, 4,5, 6,7, 8,9};
=
{
3, 5},{3, 8},{4,6},{5, 6},{6,7}, {6,9}
.
27
Пример 2
Заданы два графа
= < ,>:
= < ,>:
и
. Найти их сумму.
={1, 3,4, 6,8, 9};
{
1, 3},{1, 6},{1, 9},{3, 6},
=
{
4, 6},{4, 8},{4, 9}, {8,9}
={2, 3,4, 5,7, 9,10};
{
2, 3},{2, 10},{3, 4},{3, 5},{3, 7},
=
{
4, 5},{4, 10},{5, 7},{7, 9}, {9,10}
.
.
По определению
=
Построим граф
+ = ∪ ∪
|
\∩
|,|
\∩
.
|
Это есть полный двудольный граф Кёнига.
Найдем
Найдем
28
:
∩
\∩
\∩
\∩
∩
и \∩
={3, 4,9}.
:
={1, 6,8},|\∩
={2, 5,7, 10},|\∩
|
\∩
|,|
|
\∩
=3,
|
=4.
.
|
Построим граф
:
,
на соответствующих носителях:
,
Найдем объединение трех графов
,
и
,
:
Этот граф и есть граф =
+.
Пример 3
Найти декартово произведение графов
= < ,>: =<,>:
и
.
29
Опишем теоретико-множественное представление графов и
:
Найдем декартово произведение
:
= {1, 2, 3,4}
={(1), (2), (3), (4)
(1)={
= {1, 2, 3}
={(1), (2), (3)
(1)={
2, 4},
1, 2},
(2)={
(2)={∅}
2, 3},
}
=
,
× ,
}
(3)={1}
(3)={
и
(4)
,
}
1, 2
:
={1}
=<,>.
По определению операции:
:
=
=
(
1, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 1),(3, 2),
× и =×
(
3, 3),(4, 1),(4, 2),(4,3)
;
Вычислим окрестности всех вершин результатирующего графа:
(1,1)=
(1,2)=
(1,3)=
(2,1)=
(2,2)=
(2,3)=
(3,1)=
(3,2)=
(3,3)=
(4,1)=
(4,2)=
(4,3)=
30
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
(3)
(3)
(3)
(4)
(4)
(4)
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
(1)={(
(2)={∅}
(3)={(
(1)={(
(2)={∅}
(3)={(
(1)={(
(2)={∅}
(3)={(
(1)={(
(2)={∅}
(3)={(
2, 1),(2, 2),(4, 1),(4, 2
,
2, 1),(2, 2),(4, 1),(4, 2
2, 1),(3, 1),(2, 2), (3,2)
,
2, 1),(3, 1),(2, 2), (3,2)
1, 1), (1,2)
}
,
,
1, 1), (1,2)
1, 1), (1,2)
}
,
}
,
,
1, 1), (1,2)
}
.
)}
)}
,
,
}
,
}
,
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]