Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определенный интеграл. Функции нескольких переменных. Учебное пособие
.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Учебное пособие
г. Ставрополь
2017
УДК 51 (075.8)
ББК 22.1я73
Литвин, Д.Б.
Определенный интеграл. Функции нескольких переменных: Учебное пособие,
2-е издание / Д.Б. Литвин, С.В. Мелешко, А.А. Яновский. – Ставрополь : Сервисшкола, 2017. – 62с.
Пособие предназначено для студентов экономических и инженерных на-
правлений обучения. Содержание материала в целом соответствует дисциплине
«Математический анализ».
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 4
1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ ............................... 5
1.1 Определенный интеграл и его свойства ....................................................... 5
1.2 Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла ..... 10
1.3 Вычисление объемов тел вращения ............................................................ 14
1.4 Вычисление длины дуги плоской кривой .................................................. 17
1.5 Вычисление площади поверхности вращения ........................................... 20
Контрольная работа №1 (типовые варианты) ................................................... 23
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ ......................................................................................................... 24
2.1 Понятие функции нескольких переменных (ФНП) .................................. 24
2.2 Частные производные, производные по направлению, градиент............ 27
2.3 Полное приращение и дифференциалы ФНП ........................................... 34
2.4 Матрица Гессе ............................................................................................... 35
2.5 Частные производные высших порядков ................................................... 38
2.6 Неявные функции и их дифференцирование ............................................. 39
2.7 Экстремумы функции нескольких переменных ........................................ 40
2.8 Условный экстремум .................................................................................... 47
2.9 Метод наименьших квадратов ..................................................................... 51
Контрольная работа №2 (типовые варианты) .................................................... 56
Приложение 1. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ....................................................... 57
Приложение 2. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ ........................................................... 58
Приложение 3. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И ПОДСТАНОВКИ .............. 59
Приложение 4. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ..................................................... 60
ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................................... 62
ВВЕДЕНИЕ
В настоящем пособии представлен теоретический материал и задачи по
следующим темам: Определенный интеграл, его свойства и геометрические
приложения; дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Пособие призвано обеспечить закрепление теоретического лекционного
материала, а также для приобретения навыков практического использования
учебного материала в решении задач. Данное 2-е издание пособия существенно
переработано и дополнено.
4
1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
fx
,ab
max 0
i
x
,ab
i
1,ii
xx
max 0
1
lim
i
b
n
ii
x
i
a
f x dx f x
0fx
b
a
S f x dx
или
.
b
a
S ydx
(2)
Криволинейная трапеция ограничена линиями
0,y f x
,xa
,xb
0y
Рисунок 1 - Геометрический смысл определенного интеграла
1 1 2 2 1 1 2 2
b b b
a a a
c f x c f x dx c f x dx c f x dx
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
ba
ab
f x dx f x dx
.
b
a
f x dx b a f
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
Fx
fx
b
a
f x dx f t t dt
,xt
,a
.b
1.1 Определенный интеграл и его свойства
Определенный интеграл от функции
гральной суммы при
отрезка
, ни от выбора точек
Геометрический смысл определенного интеграла (1) - площадь криво-
линейной трапеции S(x), если
на отрезке
- предел инте-
, если он не зависит ни от способа разбиения
на отрезках
. (1)
(см. рис. 1):
Основные свойства определенного интеграла
Формула Ньютона – Лейбница
где
- какая-либо первообразная от непрерывной функции
; (3)
; (4)
; (5)
(6)
, (7)
.
Замена переменной в определенном интеграле
, где
5
(8)
Пример 1. Вычислить интеграл
16
4
1
x
dx
xx
2
; ; 2x t x t dx t dt
4 2,x при t
16 4x при t
16 4 4
4
2
2
4 2 2
2
2 2ln 1 2 ln3 ln1 2ln3
( 1) 1
( 1)
x t t dt
dx dt t
t t t
xx
0
2
2
( 4)cos3x xdx
.
bb
b
a
aa
udv uv vdu
2
0
0
22
2
2
4 cos3
1
( 4)cos3 ( 4)sin3
1
3
2 sin3
3
u x dv xdx
x xdx x x
du xdx v x
00
0
2
22
sin3
2 2 1 1
sin3 cos3 cos3
1
3 3 3 3
cos3
3
u x dv xdx
x xdx x x xdx
du dx v x
0
2
2 2 1 4 2
cos6 sin3 cos6 sin6.
3 3 9 9 27
x
Рисунок 2
Интеграл с бесконечным пределом интегрирования (1-го рода)
lim .
b
b
aa
f x dx f x dx
(9)
Если этот предел существует, то интеграл
сходится, иначе - расходится.
.
Применим подстановку
. Воспользуемся формулой за-
мены переменной (8) и определим новые пределы интегрирования:
, получим
.
Пример 2. Вычислить определенный интеграл
Дважды применим формулу интегрирования по частям:
.
Для вычисления несобственных интегралов необходимо применить
предельный переход, то есть изменить пределы интегрирования так, чтобы они
стали конечными (для несобственных интегралов 1-го рода) и подынтегральная
функция сохранила непрерывность внутри и на концах нового промежутка интегрирования (для несобственных интегралов 2-го рода).
6
Рисунок 3
Интеграл от разрывной функции (2-го рода)
1
12
2
00
lim lim .
bb
aa
f x dx f x dx f x dx
(10)
2
0
1dxx
2
0
1dxx
2
0
lim
1
b
b
dx
x
0
lim tg
b
b
arc x
lim tg .
2
b
arc b
1
2
1
.
dx
x
0x
1
12
2
11
2 2 2
00
11
lim lim .
dx dx dx
x x x
1
1
1 1 1
2
0 0 0
1
1
1
1 1 1
lim lim lim ;
1
dx
xx
22
2
1
22
00
1
lim lim 1 .
dx
x
1,0
0,1
1,1
1
1
2
1
1
1 1 1
2,
11
dx
xx
Пример 3. Вычислить интеграл
.
Используя выражение (9) для несобственного интеграла 1-го рода, имеем
Пример 4. Вычислить интеграл
Так как подынтегральная функция разрывна в точке
, то данный не-
собственный интеграл 2-го рода нужно представить как сумму двух слагаемых
(10):
Вычислим каждый предел отдельно:
Интеграл расходится, как на участке
, так и на участке
Таким образом, данный интеграл расходится на всем отрезке
Отметим, что если вычислять данный интеграл, не обращая внимания на
разрыв подынтегральной функции, то получим неверный результат:
что невозможно (см. рисунок 3).
7
.
.
Задания для решения в аудитории:
1
2
0
x dx
2
34
1
2xdx
/4
2
/6
cosdxx
1
0
x
xe dx
0
2
1
2 1 sin3x x xdx
1) Вычислить определенный интеграл.
1.
2.
3.
4.
5.
8
2). Изобразить график подынтегральной функции и найти несобственный инте-
1
2
dx
x
0
x
e dx
2
2
0
( 1)
dx
x
грал
1.
2.
3.
9
1.2 Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла
Интегрирование по х в декартовой
системе координат (СК)
b
a
S y dx
,
y f x
; (11)
21
b
a
S f x f x dx
. (12)
Интегрирование по у в декартовой
системе координат
d
c
S x dy
,
xy
. (13)
Для параметрически заданных функций в декартовой СК
,
,
x x t
y y t
;,t
x
x
S ydx y t x t dt
. (14)
В полярной системе координат
2
1
.
2
S r d
(15)
12
( ), ( )y x y x
12
( ) ( )yxи y x
12
( ) ( )y x y x
12
,xx
12
xx
Для определения площадей фигур, ограниченных сверху и снизу задан-
ными кривыми
для нахождения площади нужно определить пределы интегрирования, т.е. абс-
циссы точек пересечения кривых
уравнения:
пределами интегрирования.
, прежде чем применять соответствующую формулу
. Корни этого уравнения
. Они находятся как решения
, причем
10
являются
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]