Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определенный интеграл. Функции нескольких переменных. Учебное пособие
.pdf
Замечание 2. Необходимое условие (41) недостаточно для существования
22
z x y
Рисунок 14 - Конус
Рисунок 15 - Седловина (минимакс)
,z F x y
00
,M x y
2 2 2
22
22
2
M M M
z z z
z x x y y
x x y y
2
2
,
M
F
A
x
2
M
F
B
xy
2
2
M
F
C
y
M
AB
H
BC
,z F x y
00
,M x y
1)
0
AB
BC
, то
0 0 max
,F x y z
, при
0A
;
0 0 min
,F x y z
, при
0A
;
0
AB
BC
0
AB
BC
экстремума. Например, у седловидной поверхности
, изображенной
на рисунке 15, частные производные равны нулю в точке М2, но эта точка не
является экстремумом.
Необходимые условия экстремума (41) дифференцируемой ФНП основаны на линейной интерполяции ее поверхности - плоскостью. Для вывода достаточных условий экстремума дифференцируемой ФНП прибегают к аппроксимации ее поверхности поверхностью второго (иногда и более высокого) поряд-
ка. Так разложение функции
в ряд Тейлора в окрестности точки
с сохранением слагаемых второго порядка и при выполнении необ-
ходимых условий (41) дает:
Полученное выражение представляет квадратичную форму с матрицей
Гессе (38), которая при обозначениях
,
принимает вид:
Анализ возможных значений элементов этой матрицы и соответствующих поверхностей второго порядка позволяет обосновывать
Достаточные условия экстремума функции двух переменных
в
2)
. Если:
, то экстремума нет; (44)
. (42)
. (43)
3)
, то экстремум может быть, а может и не быть (сомни-
тельный случай, требующий дополнительных исследований).
41
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
33
9z x y xy
2
2
3 9 0;
3 9 0.
z
xy
x
z
yx
y
03
9
1
,
3
1
4
2
xx
xy
11
22
0, 0;
3, 3.
xy
xy
)0;0(1P
)3;3(2P
x
x
z
6
2
2
92
yxz
y
y
z
6
2
2
)0;0(1P
006
)0;0(
2
2
1
x
z
A
9
)0;0(
2
1
yx
z
B
006
)0;0(
2
2
1
y
z
C
)3;3(2P
2
2
2
( 3; 3)
18
z
A
x
9
)3;3(
2
2
yx
z
B
2
2
2
( 3; 3)
18
z
C
y
81900
22
1111
BCA
2439)18(18
22
2222
BCA
01
)0;0(1P
02
)3;3(2P
02A
27)3()3(9)3()3()3;3(
33
max
zz
12
, ,...,
n
dx dx dx
12
, ,...,
n
dx dx dx
2
0dz
2
0dz
Найдём критические точки, решив систему:
.
Тогда
Найдём частные производные второго порядка:
Вычислим значения частных производных второго порядка в критиче-
ских точках:
а) для точки
б) для точки
и
:
,
, отсюда
- критические точки.
,
,
,
:
,
,
.
;
.
Найдём определители (гессианы) для каждой точки:
Так как
Так как
, тогда в точке
, тогда в точке
,
экстремума нет.
экстремум есть, причём
.
,
значит, в этой точке находится максимум функции:
.
Полученные выше достаточные условия экстремума функций двух переменных можно распространить и на случай большей размерности. Для этого
следует рассмотреть квадратичную форму (37) с матрицей Гессе (38) на предмет положительной (или отрицательной) определенности.
Симметричная квадратичная форма от переменных
называ-
ется положительно определенной (отрицательно определенной), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях переменных
не равных одновременно нулю (т.е.
или
).
42
Если симметричная квадратичная форма имеет как положительные, так и
12
0, 0,..., 0.
n
1
0
1 2 3 4
0, 0, 0, 0, ...
11 12 13
11 12
1 11 2 3 21 22 23
21 22
31 32 33
, , , ...
h h h
hh
h h h h
hh
h h h
12
, ,...,
n
f x x x
2
dz
12
, ,...,
n
dx dx dx
2
0dz
12
, ,...,
n
f x x x
2
0dz
12
, ,...,
n
f x x x
2
dz
12
, ,...,
n
f x x x
,z F x y
отрицательные значения, то она называется знакопеременной.
Критерий Сильвестра. Для того чтобы симметричная форма была по-
ложительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные мино-
ры матрицы формы были положительны, т.е. чтобы выполнялись условия
(45)
Для того чтобы симметричная квадратичная форма была отрицательно
определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем
, т.е. чтобы выполнялись условия
(46)
Главными называются миноры вида (см. (38))
Достаточные условия экстремума функции многих переменных
Пусть в критической точке Ро и в некоторой ее окрестности функция
имеет все непрерывные частные производные. Тогда, если в этой
точке второй дифференциал
ной формой от дифференциалов
(37) является знакоопределенной квадратич-
независимых переменных, дан-
ная функция имеет в точке Ро локальный экстремум. При этом
1) если
формой, то функция
является положительно определенной квадратичной
имеет в точке Ро локальный минимум;
(47)
2) если
является отрицательно определенной квадратичной
формой, то функция
Если же
ция
является знакопеременной квадратичной формой, то функ-
не имеет в точке Ро локального экстремума.
Очевидно, что достаточные условия существования экстремума функции
двух переменных (44), являются частным случаем рассмотренных.
Наибольшее (наименьшее) значение функции (глобальный экстре-
мум)
определяется как наибольшее (наименьшее) значение функции
в замкнутой области из ее значений в критических точках внутри области и
на ее границе.
имеет в точке Ро локальный максимум.
43
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
22
4z y x
22
1xy
0,x
0y
0;0 0z
22
1yx
2
13zx
2
01x
min
01z
max
14z
0z
4z
22
2 8 2z x y x y
3 2 2 2
2 5 1z x xy x y
на круге
.
Решение. Критическая точка
внутри круга,
.
Подставим уравнение границы круга (окружности)
исследуемой функции, тогда
Исследуем эту функцию на наибольшее и наименьшее значение внутри
отрезка. На границе имеем
Следовательно, наименьшее значение
наибольшее
— на его границе.
Задания для решения в аудитории:
1) Найти экстремум функций:
1.
.
,
, где
— единственная и расположена
в уравнение
.
.
принимается внутри круга,
2.
.
44
22
36z x y x xy y
3.
.
45
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в областях, зада-
2 5,z x y
0,x
0,y
1.xy
ln ,z x y
22
2 2 1.xy
ваемых неравенствами:
2.1.
2.2.
46
2.8 Условный экстремум
;z f x y
;0хy
;z f x y
;0xy
;z f x y
;0xy
;z f x y
;0xy
( ; ; ) ( ; ) ( ; )L x y f x y x y
0,
0,
( ; ) 0.
Lf
x x x
Lf
y y y
L
xy
2
6 2 1z x x y
2
40xy
Условным экстремумом функции
этой функции, достигнутый при условии, что сами переменные x и y связаны
уравнением
Геометрически это означает, что кроме функции
некоторая линия L в плоскости хОу, и требуется функцию z исследовать на экс-
тремум при условии, что экстремальные точки могут принадлежать только этой
линии L. Эти точки называются точками условного экстремума, а уравнение,
связывающее переменные х и у, — уравнением связи.
Если из уравнения связи
другую и подставить в
Найдя те значения переменной, при которых z достигает экстремума, подставим их в уравнение связи и определим соответствующие значения другой переменной. В результате будут получены точки условного экстремума.
.
Метод подстановки
выразить одну переменную через
, то получим функцию одной переменной.
называется экстремум
задана еще
Метод множителей Лагранжа
Выразить одну переменную через другую из выражения
всегда просто, а нередко и невозможно, поэтому, для решения задачи условного
экстремума на основе
функция - функция Лагранжа:
где – вспомогательный параметр (множитель Лагранжа).
В дальнейшем отыскание условного экстремума сводится к отсканию безусловного экстремума данной функции Лагранжа.
Так, необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:
и
строится вспомогательная
, (48)
(49)
не
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
условии, что переменные х и у связаны уравнением
при
.
47
Первый способ решения.
2
4yx
2 2 2
6 2 4 1 3 6 7z x x x x x x
6 6 0z x x
0
1x
0
1x
zx
60zx
zx
0
1x
2
0
4 1 3y
0
1;3P
2
min
1;3 1 6 1 2 3 1 10zz
2
6 2 1z x x y
2
;4x y x y
22
( ; ; ) 6 2 1 4L x y x x y x y
2
2 6 2 0,
2 0,
4 0.
x
y
L x x
L
L x y
2
1x
0
1;3P
,,u f x y z
,,x y z
, , 0x y z
Уравнение связи представляет уравнение параболы
заданной функции z переменную у, получим
Полученную функцию одной переменной исследуем на экстремум.
- стационарная точка функции
Находим вторую производную:
Так как вторая производная положительна, то в найденной стационарной
точке функция
Подставив
Следовательно, точка
имеет минимум.
в уравнение связи, получим
— точка условного минимума.
Второй способ решения.
;
. Заменив в
.
.
.
.
.
Определим теперь точку условного экстремума, пользуясь методом множителей Лагранжа.
1) Составляем вспомогательную функцию Лагранжа.
Так как по условию
;
, то по (48)
.
2) Приравняв частные производные нулю, получаем систему (49):
Из второго уравнения
, тогда из первого уравнения следует
, а
из третьего у = 3.
Таким образом,
— единственная точка, которая может быть точ-
кой условного экстремума. Большего метод Лагранжа не дает. В этом смысле
первый способ решения предпочтительнее.
Однако, метод множителей Лагранжа может быть использован и при исследовании на экстремум функции большего числа переменных.
Пусть задана функция трех переменных
связаны между собой уравнением
В этом случае вспомогательная функция Лагранжа имеет вид
, где переменные
.
48
( , , , ) ( , , ) ( , , )L x y z f x y z x y z
. (50)
,,x y z
, , 0x y z
, , 0g x y z
12
( , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )L x y z f x y z x y z g x y z
22
2z x y
11
z
xy
2.xy
Переменные
могут быть связаны двумя уравнениями связи:
Тогда функция Лагранжа имеет вид
Задания для решения в аудитории:
Исследовать функции на условный экстремум:
1.
при х + у - 2 = 0.
и
.
. (51)
2.
при
49
z x y
22
1.xy
2
z xy
2 4.xy
3.
4.
при
при
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]