Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определенный интеграл. Функции нескольких переменных. Учебное пособие
.pdf
2.9 Метод наименьших квадратов
11
, ,..., ,
nn
x y x y
y f x
fx
2
2
11
min
nn
i i i
ii
S f x y
fx
y ax b
2
1
n
ii
i
S ax b y
1
1
2 0;
2 1 0.
n
a i i i
i
n
b i i
i
S ax b y x
S ax b y
2
1 1 1
11
,
.
n n n
i i i i
i i i
nn
ii
ii
x a x b x y
x a nb y
В социально-экономических науках одной из важнейших задач является
задача определения аналитических зависимостей между различными величинами. Получение соответствующих формул позволяет лучше понять ситуацию
и спрогнозировать как она будет меняться в будущем.
Одним из наилучших способов получения таких формул — это метод
наименьших квадратов.
Постановка задачи. Производится п наблюдений
пере-
менных х и у. Предполагая, что между х и у существует зависимость вида
, требуется найти значения параметров а, b,... этой функции наилуч-
шим образом согласованные с экспериментальными данными.
Согласно методу наименьших квадратов параметры функции
сле-
дует выбирать так, чтобы сумма квадратов невязок была наименьшей.
(52)
Если
неизвестные параметры а и b определяются из системы нормальных уравнений:
Рисунок 16 - К методу наименьших квадратов
— линейная функция, т.е.
, то
откуда
51
, а
(53)
Если
fx
2
y ax bx c
2
2
1
n
i i i
i
S ax bx c y
4 3 2 2
1 1 1 1
34
1 1 1 1
2
1 1 1
,
,
.
n n n n
i i i i i
i i i i
n n n n
i i i i i
i i i i
n n n
i i i
i i i
x a x b x c x y
x a x b x c x y
x a x b nc y
у ах b
1
n
i
ix
1
n
i
iy
2
1
n
i
ix
1
n
ii
i
xy
44500 450 407; 0,014;
450 5 3,9. 0,48.
a b a
a b b
0,014 0,48yx
— квадратичная функция вида
, а неизвестные параметры а, b, с определяются из не-
обходимых условий экстремума системой нормальных уравнений:
Пример 1. Имеются следующие данные о величине пробега автомобиля х
(тыс. км) и у — расходе масла (л/тыс. км):
, то
(54)
Полагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу
ратов.
Решение. Найдем необходимые для решения суммы
. Промежуточные вычисления представлены в таблице:
Система нормальных уравнений (53) примет вид:
методом наименьших квад-
,
,
и
Таким образом, наилучшей в смысле МНК линейной аппроксимацией
экспериментальных данных является функция:
52
.
Задания для решения в аудитории:
,xy
y ax b
2
1
yx
8
1. Имеется четыре измерения пары переменных
, результаты кото-
рых приведены в таблице:
Методом наименьших квадратов получить линейную зависимость
. Сравнить полученную зависимость с альтернативной
и оп-
ределить, какая из них лучше соответствует экспериментальным данным. Построить на плоскости полученные зависимости и исходные точки таблицы.
53
2. Имеются следующие данные о расходах на рекламу х (тыс. усл. ед.) и
2
y ax bx c
сбыте продукции (тыс. ед.):
Предполагая, что между переменными х и у существует квадратичная зависимость вида
наименьших квадратов.
, найти значения параметров а, b, с методом
54
3. Имеются экспериментальные данные о количестве произведенного то-
100 100 100y a x b x
0,
a
S
0,
b
S
вара х (тыс. ед.) и количестве реализованного товара K(х) (тыс. ед.):
Зависимость ищется в виде
раметры а и b методом наименьших квадратов.
Указание. Вначале необходимо получить систему нормальных уравнений,
исходя из равенств:
где S определяется по формуле (52).
. Найти ее па-
55
Контрольная работа №2 (типовые варианты)
zx
zy
2 sin 2 .
xy
z x y
zx
zy
arcsin .
xy
z
xy
22
6 8 2.z x y ху
3 2 2
3 3 1z x x y x y
2
1
(1,001)
0,98
zx
zy
ln ln .
xy
z e x y
zx
zy
2
sin .z x y tg x y
22
2.z x x y y x y
z arctg xy
2,02
0,97
zx
zy
.
x
z arctg
y
zx
zy
22
ln 3 .z x y x y
22
2 2 6.z x y x y
2 2 3
31z x y x y y
22
ln 0,01 (0,01) (1,02)
zx
zy
.
xy
z arctg
y
zx
zy
sin .
xy
z tg
yx
22
4 4 3.z x y x y
x
z arctg
y
2
1,002 2,003
Вариант 1
1. Найти частные производные
2. Найти
и
функции
3. Исследовать на экстремум
4. Найти производную функции
и
функции
в точке (3; 1) в направлении от
этой точки к точке (6; 5).
5. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала
Вариант 2
1. Найти частные производные
2. Найти
и
функции
3. Исследовать на экстремум
4. Найти производную функции
и
функции
в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го
координатного угла.
5. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала
Вариант 3
1. Найти частные производные
2. Найти
и
функции
3. Исследовать на экстремум
4. Найти производную функции
и
функции
в точке (2; 1) в направлении от этой
точки к началу координат.
5. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала
Вариант 4
1. Найти частные производные
2. Найти
и
функции
3. Исследовать на экстремум
4. Найти производную функции
и
функции
в точке (1; 1) в направлении луча, образую-
щего угол в 60о с осью ОХ.
5. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала
56
Приложение 1. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
(и v )' и' v'
(и v )' u' v uv'
си ' с и'
2
u u v uv
vv
2
c cv
vv
x u x
y y u
у f u
иx
v v v 1
(u ) u lnu v v u u
с ' 0
1
(u ) u u
1
uu
2u
1
2
11
uu
uu
uu
a a lna u
uu
(e ) e u
a
1
log u u
u lna
1
(lnu ) u
u
(sinu ) cosu u
(cosu ) sinu u
2
1
(tgu ) u
cos u
2
1
(ctgu ) u
sin u
2
1
( arcsinu )' u
1u
2
1
( arccosu )' u
1u
2
1
( arctgu )' u
1u
2
1
( arcctgu )' u
1u
( shu ) chu u
(chи )' shи и'
2
1
(thи )' и'
ch u
2
1
(cthu ) u
sh u
Правила дифференцирования
1.
2.
3.
4.
5.
, если
;
, в частности,
, в частности
,
.
Формулы дифференцирования
1.
2.
3.
;
, в частности,
, в частности,
;
;
;
;
;
4.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
, в частности
; 6.
; 8.
; 10.
; 12.
; 14.
; 16.
;
;
;
;
;
;
.
57
Приложение 2. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
a1
a
u
u du C
a1
(a 1)
du u C ;
du
ln u C;
u
u
u
a
a du C;
lna
uu
e du e C;
sinudu cosu C
shu du chu C ;
cosudu sinu C
chu du shu C ;
tgudu ln cosu C;
ctgudu ln sinu C;
2
du
tgu C
cos u
2
du
thu C ;
ch u
2
du
ctgu C
sin u
2
du
cthu C ;
sh u
22
du u
arcsin C;
a
au
22
22
du
ln u u a C;
ua
22
du 1 u
arctg C;
a u a a
22
du 1 a u
ln C;
a u 2a a u
2
2 2 2 2
u a u
a u du a u arcsin C.
2 2 a
2
2 2 2 2 2 2
ua
a u du a u ln u a u C;
22
du u
ln tg C;
sinu 2
du u
ln tg C;
cosu 2 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
58
Приложение 3. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И ПОДСТАНОВКИ
f ( x )dx F( x ) C
1
f ( ax b ) dx F( ax b ) C
a
udv uv vdu.
x
tg t2
2
2t
sinx ,
1t
2
2
1t
cosx ,
1t
x 2arctgt,
2
2
dx dt
1t
t tgx
2
dt
x arctgt; dx
1t
2
22
11
cos x
1 tg x 1 t
2
2
2
t
sin x
1t
2
1
cos x 1 cos2x
2
2
1
sin x 1 cos2x
2
1
sin cos sin sin ,
2
1
cos cos cos cos ,
2
1
sin sin cos cos .
2
22
R x; a x dx x a sint
22
R x; a x dx x a tgt
22
a
R x; x a dx x
sint
1. Интегрирование функции от линейного двучлена :
если
2. Формула интегрирования по частям:
3. Универсальная тригонометрическая подстановка
4. Тригонометрическая подстановка
5. Формулы тригонометрии:
, то
;
, тогда
;
, тогда
.
.
;
6. Использование тригонометрических подстановок:
;
;
;
.
59
Приложение 4. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
0
x
2a
2a
2a
2a
M
a
Рисунок 1 - Спираль Архимеда
a
r
a
Асимптота
0
p
Рисунок 2 - Гиперболическая спираль
y
x
0
a
a
3
22
84a
y
xa
Рисунок 3 - Локон
y
x
0
2
x
ye
1
Рисунок 4 - «Кривая вероятностей
y
x
0
sin 1 cosx a t t y a t
a
a
t
Рисунок 5 - Циклоида
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]