Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определенный интеграл. Функции нескольких переменных. Учебное пособие
.pdf
Пример 1. Вычислить сегмент площади фигуры, ограниченной графиками
3
( 2) ,yx
4 8.yx
3
( 2) 4 8,xx
3
( 2) 4( 2)xx
2
( 2) ( 2) 4 0xx
1
( 2) 0; 0x х
2
23
( 2) 4; 2, 4x хх
22
3 3 2
00
2 (4 8 ( 2) ) 2 (4 8 6 12 8)S x x dx x x x x dx
2
2
2 3 3 4 2 3 4 2
0
0
11
2 (6 8 ) 2(2 4 ) 4 2 2 8 2 8.
42
x x x dx x x x
cos ,x a t
siny b t
2
Рисунок 5
0
2
1
sin sin
4
S b t a t dt
0
2
2
sinab tdt
2
0
1 cos2
2
ab
t dt
22
00
1
sin2 .
2 2 4
ab ab
tt
1
.
44
ab
S
.S ab
функций
Найдем точки пересечения графиков функций:
;
;
;
.
Рисунок 4
Тогда первый сегмент площади отыщется следующим образом (12)
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
(см. рисунок 5).
Найдем сначала четвертую часть площади S. Здесь х изменяется от 0 до а,
следовательно, t изменяется от
до 0. По формуле (14) получим
Таким образом,
Значит, площадь всего эллипса
11
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой ро-
cos3ra
Рисунок 6
66
2
2
00
1 1 1 1
cos3 1 cos6
6 2 2 2
S a d a d
2 2 2
66
00
1
sin6 0
4 6 4 6 24
a a a
,
т. е.
2
1
.
6 24
a
S
Следовательно,
2
4
a
S
.
2
1
4yx
2
2
2.y x x
arccos , 0, 0.x y x y
зой»
(см. рисунок 6).
Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е. шестую
часть всей площади фигуры:
Задания для решения в аудитории:
Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.
1.
;
2.
12
2
, , 1, 0
x
y x y e x x
3.
.
13
1.3 Вычисление объемов тел вращения
y f x
2
.S x y
Рисунок 7
2
b
x
a
V y dx
, (16)
при вращении вокруг оси ОХ
Рисунок 8
2
b
y
a
V x dy
, (17)
при вращении вокруг оси ОY.
2
,
2
x
y
0,x
22y
22
0
2
y
V ydy
22
2
0
8.y
1 1 2 2 1 2
( ) ( ); 0 ( ) ( )y f x и y f x f x f x
,x a x b
При вращении плоской кривой вокруг одной из координатных прямых
получается объемная фигура - тело вращения.
Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси вращения, есть
круг, например, с радиусом
щадь
Тогда объем тела по площади параллельных сечений, равен:
, при вращении вокруг оси ОХ. Его пло-
Пример 1. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-
ченной линиями
По формуле (17) находим:
Если фигура, ограничена кривыми
и прямыми
, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения:
вокруг оси Оу (см. рис. 8).
14
22
21
()
b
x
a
V y y dx
. (18)
1 1 2 2
( ) ( )xyи x y
12
(0 ( ) ( ))yy
;y c y d
22
21
()
d
y
c
V x x dy
2
2y x x
2yx
Оx
Рисунок 9
По формуле (18) получим
2
2 2 2
1
(2 ) (2 )
x
V x x x dx
2
2
2 4 3
1
4 4 2x x x x dx
53
2
34
1
4 (2 ) 4 32 1 (0 1) 7
(8 1) (16 1) ,
3 5 3 3 5 3 15
7
.
15
xx
xx
V
2
5 6, 0.y x x y
Если фигура ограничена кривыми
и прямыми
вращается вокруг оси OY, то
объём тела вращения:
. (19)
Пример 2. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограни-
ченных графиками функций
;
, вокруг
.
Задания для решения в аудитории:
Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.
1.
(ось вращения Ox)
15
2.
22
, 0.y x y x
Ox
ln , 2, 0y x x y
Oy
23
,y x y x
( ось вращения
)
3.
4.
(ось вращения Oy)
(ось вращения
)
16
1.4 Вычисление длины дуги плоской кривой
2
22
1 ( )
B B b
A A a
l dl dx dy f x dx
Рисунок 10 - Длина дуги плоской кривой
y f x
2
1
b
a
l f x dx
,
,
x x t
y y t
,t
22
tt
l x y dt
,rr
2
2
.l r r d
r
cos ,xr
sinyr
cos sinx r r
sin cosy r r
2 2 2 2 2
2
cos sin sin cosx y r r r r r r
Используя теорему Пифагора и кусочно-линейную аппроксимацию пло-
ской кривой, получим
Длина дуги кривой определяется по формулам:
для кривой, заданной в декартовой системе координат:
,
для кривой, заданной в параметрической форме:
для кривой, заданной в полярных координатах:
Последнее выражение получено посредством разложения вектора
на проекции
ординаты. Если параметром считать угол , то кривая АВ задана параметрически. Воспользовавшись формулой (21), получим
,
, связывающих полярные и декартовы ко-
;
; (20)
(21)
(22)
;
В результате получаем (22).
17
.
Пример 1. Вычислить длину дуги кривой
lnyx
8 15x иx
8a ; 15b
( ) lnf x x
1
()fx
x
15 15
2 2 2
2
2
88
1 ; 1 ;
11
1
8; 3; 15; 4
x t x t xdx tdt
x
l dx dx
xx
x t x t
4
15 4 4 4
22
2 2 2 2
3 3 3
8
3
1 1 1 1 1 1
1 ln
1 1 1 2 1
x xdx t tdt t t
dt dt t
x t t t t
1 3 1 2 1 3 4 1 6
4 ln 3 ln 1 ln 1 ln
2 5 2 4 2 5 2 2 5
4(cos sin )
4(sin cos )
x t t t
y t t t
0 2.t
4( sin sin cos ) 4 cosx t t t t t t
4(cos cos sin ) 4 sin .y t t t t t t
22
2
2 2 2 2 2 2
0
00
16 cos 16 sin 4 2 2 2 8.l t t t tdt tdt t
43
2e
/ 2 / 2.
43
8
3
e
/2 /2 /2
8 3 8 3 8 3 4 3
/2 /2 /2
64 100 10
4
9 9 3
l e e d e d e d
22
/2
43
33
/2
10 3 5
.
3 4 2
e e e
2
8
1 arcsin , 0
9
y x x x
содержащейся между точ-
,
ками, для которых
.
Воспользуемся формулой (20).
Здесь
;
;
, тогда
.
Пример 2. Вычислить длину дуги кривой, заданную параметрически
Воспользуемся формулой (21).
;
Пример 3. Вычислить длину дуги кривой, заданную уравнением в полярных
координатах
Воспользуемся формулой (22).
;
.
Задания для решения в аудитории:
1) Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольной системе координат
.
18
5 sin ,
0 .
5 1 cos ,
x t t
t
yt
2) Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.
1.
19
1.5 Вычисление площади поверхности вращения
22
2
Б cp
Rr
S l R l
cp
R
Рисунок 11
Рисунок 12
y dy
ds y y dy dl
2 ydl dydl
2ds ydl
2
1
x
dl y dx
2
2 1 .
z
ds y y dx
xa
xb
2
2 1 .
b
xx
a
S y y dx
22
2
x t t
S y t x y dt
Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ во-
круг оси Ох (рисунок 11). Для этого, по-прежнему, воспользуемся кусочнолинейной аппроксимацией кривой. Тогда элементарный элемент тела вращения
можно считать усеченным конусом (рисунок 12), площадь боковой поверхности которого вычисляется по известной формуле
, (23)
где
Найдем дифференциал площади ds усеченного конуса с образующей dl, и
радиусами оснований у и
- среднее значение радиусов R и r; l - образующая.
. Площадь его боковой поверхности равна
.
Отбрасывая произведение dydl как бесконечно малую высшего порядка,
чем ds, получаем
Интегрируя полученное равенство в пределах от
ем искомую площадь поверхности вращения
Если кривая задана параметрическими уравнениями, то по аналогии с (21)
Если кривая задана в полярной системе координат, то по аналогии с (22)
, или, так как
20
, то
до
(24)
. (25)
, получа-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]