Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определенный интеграл. Функции нескольких переменных. Учебное пособие
.pdf
2) Найти градиент функции
,z f x y
22
7;z x y
1;2 .M
ln ;z x x y
1;2 .M
2
;z x y
0;3 .M
2
sin ;z x y
;.
22
M
43
3z x xy y
точках М:
и его модуль для функций в указанных
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
3) Найти производные функций по заданным направлениям l:
3.1.
; l составляет с осью Ох угол 60°.
31
2
z x y
4
5 3 1z x x y
2;1M
5;5N
3.2.
; l – биссектриса 3-го координатного угла.
4) Вычислить производную функции
правлению l — прямой MN, где
в точке
по на-
.
32
5) Вычислить производную функции
x
zy
1;1M
21yx
2 3 2
3 4 2 5 7 1z x y x y x y
(0, 1)A
(4, 4)B
в точке
по направлению l —
перпендикуляра к прямой
.
6) Найти производную функции
в направлении от этой точки к точке
в точке
.
33
2.3 Полное приращение и дифференциалы ФНП
( ; )z f x y
( ; ) ( ; )z f x x y y f x y
( ; )z f x y
);(0yxP
( ; )P x x y y
( ; )z f x y
zz
dz dx dy dx dy z
x y x y
z dz
( ; ) ( ; )
ff
f x x y y f x y x y
xy
0x
0y
z dz
z dz
( ; ) ( ; ) ( ; )
ff
f x x y y f x y f f x y x y
xy
zd
2
( ; )z f x y
2
xy
z z z z z z
d z dx dy dx dy dx dx dy dy
x y x y x y
2 2 2 2
22
z z z z
dx dy dx dx dy dy
x y x x y y
2
2 2 2
2 2 2
22
2
z z z
d z dx dxdy dy dx dy z
x x y y x y
Пусть дана функция двух переменных
. Наряду с частными, вводят поня-
тие полного приращения функции
,
при котором ее аргументы x и y получают соответственно приращения x и y.
Геометрически полное приращение z равно приращению аппликаты графика функ-
ции
Полный дифференциал функции
при переходе из точки
в точку
.
в данной точке, называется главная
часть полного приращения этой функции, линейная относительно дифференциалов незави-
симых переменных dx и dy, то есть
. (33)
Здесь использована также символическая запись дифференциала через
оператор дифференцирования.
Геометрически дифференциал функции равен ее приращению по касательной плоско-
сти в данной точке. Очевидно, что для конечных приращений аргументов
, т.е.
.
Однако, при
и
. Указанный предельный переход исполь-
зуется в приближенных вычислениях значений функций в окрестности заданных точек.
При относительно малых приращениях аргументов можно полагать
, тогда
. (34)
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от диффе-
ренциала первого порядка. Обозначение
Если функция
имеет непрерывные частные производные вто-
.
рого порядка, то дифференциал второго порядка можно найти по формуле:
. Тогда
34
. (35)
Сравнение выражений для дифференциалов первого (33) и второго (35)
3
3
d z dx dy z
xy
n
n
d z dx dy z
xy
Nn
),...,,(
21 n
xxxfz
2
2
11
nn
ij
ji
ji
z
d z dx dx
xx
12
, ,...,
n
dx dx dx
2
ji
z
xx
ni ,1, nj ,1
2 2 2
2
1 1 2 1
11 12 1
2 2 2
21 22 2
2
2 1 2 2
12
2 2 2
2
12
...
...
...
...
... ... ... ...
... ... ... ...
...
...
n
n
n
n
n n nn
n n n
z z z
x x x x x
h h h
z z z
h h h
H
x x x x x
h h h
z z z
x x x x x
22
z x y
2 2 2 2
z z x y
dz dx dy dx dy
xy
x y x y
2,03
0,95
порядков через оператор дифференцирования позволяет методом индукции записать выражения и для дифференциалов высших порядков:
, …,
, где
. (36)
2.4 Матрица Гессе
Выражение для дифференциала второго порядка функции
, имеющей непрерывные частные производные второго по-
рядка, можно представить в виде
. (37)
Правая часть этого выражения представляет собой симметричную квад-
ратичную форму относительно дифференциалов независимых переменных
. Квадратичную форму можно задать её матрицей.
Матрицей Гессе Н называется матрица квадратичной формы, элементы
которой являются вторыми частными производными
, где
.
Определитель матрицы Гессе называется Гессианом.
Пример 1. Найти полный дифференциал функции
Пример 2. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
Представим выражение в виде функции двух переменных
35
. (38)
.
.
.
yy
xx
, где
1; 0,05; 2; 0,03x x y y
1
ln
yy
y y y
x x x yx x x x y
2,03 2 1 1
0,95 1 2 1 0,05 1 ln1 0,03 1 0,1 0,9
2,03
0,95 0,90111230...
3
4
ln( 1,003 0,998 1).
3
4
ln( 1)x x y y
1,x
1,y
0,003,x
0,002.y
//
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
xy
f x x y y f x y f x y x f x y y
3
4
( , ) ln( 1 1 1) 0,f x y
/
3
4
3
3
22
3
4
1 1 1 1 1 1 1
( , ) ,
3 3 3
1 1 1 1
1
x
f x y
xy
x
/
3
4
3
33
4
4
4
1 1 1 1 1 1 1
( , ) .
4 4 4
1 1 1 1
1
y
f x y
xy
y
3
4
11
ln( 1,03 0,98 1) 0 0,003 ( 0,002) 0,0005.
34
xy
z e x y
2
ln 1
x
z e y
Тогда с использованием формулы (34) получим
.
;
.
При этом более точное значение
Пример 3. Вычислить приближенно
Искомое выражение будем рассматривать как значение функции
при
Применяя
формулу (34)
получаем
Следовательно,
Задания для решения в аудитории:
1) Найти полные дифференциалы функций:
1.1.
1.2.
36
2) Вычислить приближенно с помощью дифференциала:
2 0,08
1,96 e
22
1,02 0,001
22
2 3 5 3 8 11z x xy y x y
2.1.
2.2.
3) Найти матрицу Гессе и Гессиан функции
точке М(1;2).
в
37
2.5 Частные производные высших порядков
( , )z f x y
( , )f x y
2
//
2
;
xx
ff
f
x x x
2
//
;
xy
ff
f
y x x y
2
//
;
yx
ff
f
x y y x
2
//
2
.
yy
ff
f
y y y
3
xyz
z
z
x y x
(cos sin ).
x
z e y x y
(cos sin sin ),
x
z
e y y x y
x
/
2
(cos sin cos ),
x
y
zz
e y y x y
x y x
/
32
(2cos sin cos ).
x
x
zz
e y y x y
x y x x y
4 2 2
5 6 7z x x y xy
Пусть
изводными второго порядка функции
есть функция двух переменных x и .y Частными про-
называются частные производные
от ее частных производных первого порядка, если они существуют.
Частные производные второго порядка обозначаются следующим обра-
зом:
Аналогично определяются и обозначаются частные производные более
высокого порядка. Частная производная второго или более высокого порядка,
взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной
производной. Относительно смешанных частных производных имеет место
следующая теорема.
Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции,
отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при
условии их непрерывности.
Пример 1. Найти частную производную
от функции
Решение.
Задания для решения в аудитории:
Найти вторые частные производные функций:
1.
.
38
32
sinz x y x y
,x
y
( , , ) 0F x y z
x
z
z
x
//
( , , ) ( , , ) 0
xz
F x y z dx F x y z dz
/
/
( , , )
( , , )
x
z
z F x y z
x F x y z
/
/
( , , )
( , , )
y
z
F x y z
z
y F x y z
/
/
( , , )
( , , )
x
y
y F x y z
x F x y z
/
/
( , , )
( , , )
z
y
y F x y z
z F x y z
zx
,
zy
3 2 2
4 2 1 0z xy z
/2
( , , ) 4
x
F x y z y
/
( , , ) 8
y
F x y z xy
/2
( , , ) 3 4
z
F x y z z z
/2
/2
( , , ) 4
( , , ) 3 4
x
z
z F x y z y
x F x y z z z
/
/2
( , , )
8
( , , ) 3 4
y
z
F x y z
z xy
y F x y z z z
2.
.
2.6 Неявные функции и их дифференцирование
Пусть F - дифференцируемая функция трех переменных
пусть уравнение
неявно определяет, например, z как функцию не-
зависимых переменных x и .y Тогда для отыскания
и ,z и
зафиксируем у и
потребуем выполнения равенства для частных дифференциалов
, откуда
Аналогично можно получить формулы
;
Пример 1. Найти частные производные
,
и
;
если
,
На основании (40) получаем
;
. (39)
. (40)
.
.
.
39
2.7 Экстремумы функции нескольких переменных
0 0 0
;M x y D
0 0 0
;M x y
0 0 0
;M x y
0 0 0
;M x y
0 0 0
;M x y
0 0 0
;M x y
0 0 0
;M x y
,z F x y
0
Fx
0
Fy
,z F x y
Рассмотрим понятия экстремума в отношении функции двух переменных.
Пусть функция z=ƒ(х; у) определена в некоторой области D, точка
.
Точка
максимума функции z=ƒ(х; у), если существует такая -окрестность точки
, что для каждой точки М(х; у), отличной от
стности выполняется неравенство ƒ(х; у)<ƒ(x0; y0) (ƒ(х; у)ƒ(x0; y0)).
Точка
минимума функции z=ƒ(х; у), если существует такая -окрестность точки
, что для каждой точки М(х; у), отличной от
стности выполняется неравенство ƒ(х; у)>ƒ(x0; y0) (ƒ(х; у)ƒ(x0; y0)).
Точки строгого (нестрогого) максимума и точки строгого (нестрогого)
минимума называется точками экстремума функции.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит
внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный
(местный) характер. В области D функция может иметь несколько экстремумов
или не иметь ни одного.
Необходимые условия экстремума. Функция
называется точкой строгого (нестрогого) локального
, из этой окре-
называется точкой строгого (нестрогого) локального
, из этой окре-
может иметь
экстремум только в точках, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль
;
Такие точки, а также точки в которых хотя бы одна из частных производных не существует, называются критическими.
Геометрический смысл необходимых условий экстремума. В точках, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль, касатель-
ная плоскость к поверхности
Замечание 1. Экстремум функции может быть и в тех точках, где хотя бы
одна из частных производных не существует или равна бесконечности. На рисунке 14 изображена функция с конусообразным графиком. В вершине конуса
— точке М1 — находится максимальная точка функции, однако частные производные там не существуют (в соответствующей точке невозможно провести касательную плоскость) .
параллельна плоскости хОу.
. (41)
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]