Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определенный интеграл. Функции нескольких переменных. Учебное пособие
.pdf
2
2
2 sin
x
S r r r d
При вращении кривой вокруг оси OY
2
2 1 ( )
d
yy
c
S x x dy
22
y R x
R x R
2
22
22
21
R
x
R
x
S R x dx
Rx
2
2 2 4 .
R
R
R
R
Rdx R x R
sin ,
1 cos ,
x a t t
y a t
0 2 .t
2
2
0
1
2 1 cos 1 cos sin
2
x
S a t a t a t dt
2 2 2 2
0
2 2sin 1 2cos cos sin
2
t
a t t tdt
2 2 2
0
4 sin 2 2sin
22
tt
a dt
22
0
8 sin sin
22
tt
a dt
22
0
8 1 cos sin
22
tt
a dt
cos ; t=0, u=1; t= , u=0
2
1
sin ;
22
t
u
t
du dt
0
3
0
2 2 2 2
1
1
2
2 8 1 16 16
33
u
a u du a u a
Пример 1. Найти площадь поверхности шара радиуса R.
. (26)
. (27)
Поверхность шара образована вращением полуокружности
, вокруг оси Ох. По формуле (24) находим
Пример 2. Дана циклоида
Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох.
Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох пло-
щадь поверхности вращения равна, см (25)
,
21
.
т.е.
2
1 32
.
23
x
Sa
2
64
.
3
x
Sa
sinr
2 2 2
00
2 sin sin sin cos (1 cos2 )
x
S d d
2yx
cos3yx
0x
2
x
Следовательно,
Пример 3. Найти площадь тора, образующегося при вращении окружно-
сти
вокруг оси Ox.
.
Задания для решения в аудитории:
1. Найти площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси Ох дуги параболы
, 0 < x < 1.
2. Найти площадь поверхности, образованную вращением вокруг оси OX дуги
от
до
22
Контрольная работа №1 (типовые варианты)
2
22
a
a
x dx
ax
2
1
1 ln
e
dx
xx
4
1
dx
x
4, 5 0xy x y
(1 cos )Sa
2
8yx
2
yx
2
52
2
1
dx
xx
2
2
1 cosdxx
0
ax
e dx
2
sin
2
S
x
( sin )
(1 cos )
x a t t
y a t
1
2
6
2
2
1 x dx
x
3
2
2
2 3 2
xdx
xx
2
ln0x
dx a
x
(cos sin )
(sin cos )
x R t t t
y R t t t
22
;y x x y
1
22
0
1x x dx
3
1
1 ln
e
dx
xx
3
21x
x e dx
4cos3 .S
2.S
3
( 1) ( 1 1)y x x
2
2y px
Вариант 1.
1).
4)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
5)Вычислить длину кардиоиды:
6)Вычислить объём тела, полученного от вращения вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной
параболами:
Вариант 2.
1).
4)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y2=16-8x и у2=24x+48.
5)Вычислить длину всей линии:
6)Вычислить объём тела, полученного от вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограничен-
ной фигуры, ограниченной осью ОХ, прямой
2).
2).
и
3).
3).
.
.
a>0
.
и аркой циклоиды
Вариант 3.
1).
4)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y2=x2-3х и 3х+у-4=0.
5)Вычислить длину линии:
6)Фигура, ограниченная дугами парабол
объём тела вращения.
Вариант 4.
1).
4).Фигура ограничена линией
положена вне круга
5)Вычислить длину дуги кривой
2).
2).
3).
от t1=0 до t2=
вращается вокруг оси абсцисс. Найти
3).
Вычислить площадь той её части, которая рас-
6)Вычислить объём тела, полученного от вращения вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной
линиями
и x=n (p>0,n>0).
23
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
n
12
, , ,
n
x x x
12
( , , , )
n
M x x x
;nR
12
, , ,
n
x x x
12
( , , , ).
n
M M x x x
n
DR
12
( , , , )
n
M x x x D
12
( ) ( , , , ),
n
f M f x x x
12
, , , .
n
x x x
D
( ).fM
22
arccos( ).z x y
22
1.xy
2,n
( , )z f x y
xOy
,z f x y
,,x y z
1z x y
22
1z x y
,z f x y
ПЕРЕМЕННЫХ
2.1 Понятие функции нескольких переменных (ФНП)
Произвольный упорядоченный набор из
обозначается
метического пространства
ми точки
Пусть
- произвольное множество точек n-мерного арифметиче-
сами числа
и называется точкой n-мерного ариф-
ского пространства. Если каждой точке
ветствие некоторое действительное число
действительных чисел
называются координата-
поставлено в соот-
то говорят,
что на множестве D задана числовая функция от n переменных
Множество
Пример 1. Найти область определения функции
Функция определена при
называется областью определения функции
Следовательно, областью определе-
ния функции является замкнутый круг единичного радиуса с центром в начале
координат.
В частном случае, когда
жет рассматриваться как функция точек плоскости
функция двух переменных
в трехмерном про-
странстве с фиксированной декартовой системой координат.
График функции двух переменных
ного пространства
и представляет собой, как правило, некоторую поверхность.
есть множество точек трехмер-
Рисунок 13 - Графическое изображение функций двух переменных
мо-
Представление о функции может дать и метод линий уровня. Линией
уровня функции двух переменных
называется множество точек на
24
плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и
22
z x y
22
z c x y
2 2 2
x y c
22
z x y
1, 2, 3
22
z x y
24
1
.z
xy
2
8
1.z x y
равно С. Число С в этом случае называется уровнем.
Пример 2. Найти линии уровня функции
Полагаем значение функции константой
. Линии уровня представляют собой концентрические окружности
радиуса с.
На рисунке 14 представлены сечения плоскостями z=1, z=2, z=3 поверх-
ности функции
окружности радиусов
и соответствующие этим сечениям линии уровня —
.
.
, откуда
Рисунок 14 - Линии уровня функции
Задания для решения в аудитории:
1. Найти области определения функций:
1.1.
1.2.
25
1.3.
ln .z x y
arcsin arccos .z x y
3
z xy .
2
z ln x y .
1
z.
x 2y
xy
z e .
2
z y x .
z tg x y .
1.4.
2.1.
2.2.
2. Найти линии уровня функций в явном виде:
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
26
2.2 Частные производные, производные по направлению, градиент
,z f x y
00
,x x y y
0
0
,xy
00
,xy
,f x y A
0
0
lim ,
xx
yy
f x y A
x
f
( , , )f x y z
( , , ) ( , , )
x
f f x x y z f x y z
( , , ) ( , , )
z
f f x y z z f x y z
( , , )f x y z
/
0
( , , ) ( , , )
( , , ) lim
x
x
f f x x y z f x y z
f x y z
xx
arccos
x
zy
( 0).y
y const
2 2 2
1 1 1
.
1
z
xy
yx
x
y
2
2 2 2
11
.
1
z x x
y y y
yx
x
y
l
z
,z f x y
Число А называется пределом функции
если для любого числа
для всех точек
, отстоящих от точки
ется неравенство
найдется число
:
, зависящее от , такое, что
не более, чем на , выполня-
.
при
Приращение, которое получает функция нескольких переменных f, при
изменении значения только одной переменной, например х, и фиксированных
остальных, называется частным приращением функции по х -
. Аналогично
вводят частные приращения по всем переменным.
Например, для функции трех переменных
, ...,
получим
.
Переходя к соответствующим пределам, вводят частные производные
ФНП по всем переменным. Частной производной ФНП, например
, в
некоторой точке M(x,y,z), называется предел отношения частного приращения
,
функции к приращению аргумента, если последнее стремится к нулю
. (28)
Частные производные вычисляются по обычным формулам дифференци-
рования, при этом все переменные, кроме варьируемой, рассматриваются как
постоянные.
Пример 1. Найти частные производные функции
Полагая переменную величину
, получаем
Считая величину x постоянной, получаем
Производной
no направлению l функции
27
называется предел
0
lim .
l
l
zz
z
ll
Производная по направлению выражается через частные производные по
cos cos ,
l x y
z z z
cos ,cose l l
cos
cos
,z f x y
,,
xy
zz
z z z
xy
cos ,cose
cos
, cos cos
cos
T
l x y x y
z z e z z z z
zl
cos cos ; 1zl
z
,M x y
z
5xy
z x e
0;0
формуле
(29)
(30)
где единичный вектор
задает направление l в системе ко-
ординат xOy ( и - углы, которые образует направление l с осями координат). При этом,
и
называются направляющими косинусами вектора
l.
Производная по направлению характеризует изменение дифференцируе-
мой функции в направлении этого вектора.
Градиентом z функции
называется вектор, компонентами
которого выступают соответствующие частные производные функции
. (31)
- читается "набла".
Из выражения (30) видно, что производная по направлению является ска-
лярным произведением градиента функции и единичного вектора
, задающего направление l
. (32)
Из свойств скалярного произведения следует, что наибольшее значение
будет тогда, когда
, то есть, когда направление l совпа-
дает с направлением градиента z.
Градиент функции
в точке
, перпендикулярен линии уровня,
проходящей через эту точку, направлен в сторону наибольшего возрастания
функции и равен по величине мгновенной скорости возрастания функции.
Производная по направлению, перпендикулярному градиенту, равна ну-
лю.
Пример 2. Найти градиент
функции
и его длину в точке
.
28
Решение. Компонентами вектора z (31) являются частные производные
55
1 ,5
x y x y
z e e
0;0 2;5z
22
2 5 29.z
3 lnz y x
2;0
4
3
,3ln
y
zx
x
22
cos ,cos ,
4 4 2 2
l
e
l
2;0
3
cos 3ln cos
44
l
y
zx
x
3
2;0 ln2.
2
l
z
2 2 2
.u x y z
us
1,1,1M
23s i j k
22
cos ,
4 1 9 14
x
s
s
1
cos ,
14
y
s
s
3
cos .
14
z
s
s
2,ux
x
2,uy
y
2uz
z
1,1,1M
2,
M
ux
2,
M
u
y
2.
M
uz
us
1,1,1M
2 1 3 12
cos cos cos 2 2 2 .
14 14 14 14
s
u u u u
u
s x y z
функции, т.е.
ответственно длина вектора z равна
. В точке (0; 0) получаем
Пример 3. Найти производную функции
в точке
правлению, параллельному биссектрисе первого координатного угла.
Решение. Прямая, проходящая параллельно биссектрисе первого коорди-
натного угла, образует с осями координат равные углы
. Тогда
;
Для производной по заданному направлению в точке
;
получим (см.(32)):
. Со-
по на-
.
Пример 4. Дана функция
: в направлении вектора
Решение. Находим направляющие косинусы вектора s:
Затем частные производные:
будут равны
Следовательно,
в точке
равна
Найти производную
в точке
.
, которые в точке
29
Задания для решения в аудитории:
3 2 3
3z x x y y
22
lnz x y
y
zx
y
z arctg
x
y z x
u
x y z
1) Найти частные производные функций:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]