Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка в примерах и приложениях. Методические указания
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
И.П. Болодурина, С.Т. Дусакаева, А.Н. Благовисная
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА В ПРИМЕРАХ И
ПРИЛОЖЕНИЯХ
Рекомендовано Редакционно-издательским советом федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального
образования «Оренбургский государственный университет» в качестве
методических указаний для студентов, обучающихся по программам высшего
профессионального образования по направлению подготовки 011200.62 Физика
Оренбург
2014
УДК 517.95 (075.6)
ББК 22.161.6 я7
Б 79
Рецензент – доцент, кандидат физико-математических наук А.Н. Павленко
Болодурина, И.П.
Б 79 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка в
примерах и приложениях: методические указания / И.П. Болодурина, С.Т.
Дусакаева, А.Н. Благовисная; Оренбургский гос. ун-т – Оренбург: ОГУ,
2014. – 59 с.
Методические указания посвящены решению обыкновенных
дифференциальных уравнений и прикладных задач, приводящих к ним, и
предназначены для проведения практических занятий по дисциплине
«Дифференциальные уравнения». Методические указания включают
теоретические сведения по дифференциальным уравнениям, примеры
решений задач, задания для самостоятельного выполнения.
Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой
дисциплины «Дифференциальные уравнения» для студентов направления
подготовки 011200.62 Физика.
УДК 517.95 (075.6)
ББК 22.161.6 я7
© Болодурина И.П.,
Дусакаева С.Т.,
Благовисная А.Н., 2014
© ОГУ, 2014
2
Содержание
Введение ..................................................................................................................... 4
1 Основные понятия и определения. Методика решения задач, приводящих к
дифференциальным уравнениям ....................................................................................... 5
2 Основные понятия и задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
первого порядка ................................................................................................................... 9
3 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ................. 12
4 Однородные уравнения и приводящиеся к ним ................................................ 28
5 Линейные уравнения первого порядка ............................................................. 38
6 Уравнение Бернулли ........................................................................................... 44
7 Уравнение в полных дифференциалах .............................................................. 47
8 Интегрирующий множитель ............................................................................... 50
Список использованных источников .................................................................... 57
Приложение А Табличные интегралы .................................................................. 58
3
Введение
Дисциплина «Дифференциальные уравнения» играет огромную роль в
математической подготовке студентов-физиков. Это связано с тем, что
дифференциальные уравнения являются одним из главных инструментов
математического моделирования в различных областях естествознания и, в
частности, физике и механике.
Особенностью данных учебно-методических указаний является наличие в них
прикладных задач с физическим содержанием. Способность использовать в
познавательной и профессиональной деятельности базовые знания в области
математики и естественных наук (ОК-1) является важнейшей компетенцией,
которой должен обладать будущий бакалавр в области физики. В связи с этим
рассмотрение прикладных аспектов дифференциальных уравнений является
необходимой составляющей современного учебного процесса.
Содержание методических указаний соответствует рабочей программе
дисциплины «Дифференциальные уравнения» для студентов очной формы обучения
направления подготовки 011200.62 Физика.
Методические указания предназначены для проведения практических занятий
по дисциплине «Дифференциальные уравнения» для студентов, обучающихся по
направлению подготовки 011200.62 Физика.
4
1 Основные понятия и определения. Методика решения задач,
()yx
()
'( ), ''( ),..., ( )
n
y x y x y x
()
( , ( ), '( ),..., ( )) 0
n
F x y x y x y x
F
( 1)n
1n
GR
приводящих к дифференциальным уравнениям
Математическое описание многих физических законов и явлений чаще всего
даётся дифференциальными уравнениями. История зарождения теории
дифференциальных уравнений связана с возникновением дифференциального и
интегрального исчисления. В работах Исаака Ньютона, Готфрида Вильгельма
Лейбница, братьев Якоба и Иоганна Бернулли встречались простейшие
дифференциальные уравнения и методы их решения. Появление методов поиска
решений обыкновенных дифференциальных уравнений позволило находить
решения задач механики и геометрии, а также сделать новые открытия в области
естествознания.
В настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений
имеет широкий спектр приложений, как в физике, так и в других науках.
Дифференциальные уравнения, полученные в результате исследования какого-либо
реального процесса или явления и математические задачи, связанные с ними,
представляют собой математические модели этого процесса или явления. Такие
модели позволяют получать характеристики изучаемых физических явлений,
понимать их суть, предсказывать новые физические эффекты.
Далее в качестве справочной информации напомним вводные понятия и
определения курса дифференциальных уравнений.
Определение 1.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется
уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию
этой независимой переменной и ее производные
:
где
- функция
Определение 1.2. Порядком дифференциального уравнения называется
порядок старшей производной, входящей в уравнение.
- переменных, определенная в области
5
, (1.1)
.
Определение 1.3. Если уравнение (1.1) можно представить в виде
( ) ( 1)
( , ( ), '( ),..., ( ))
nn
y f x y x y x y x
n
( ) ( 1)
10
( ) ( ) ... ( ) ( )
nn
nn
a x y a x y a x y f x
10
( ), ( ),..., ( ), ( )
nn
a x a x a x f x
()
i
a x const
0,1,...,in
( ) ( 1)
10
... ( )
nn
nn
a y a y a y f x
( ) 0fx
( ) ( 1)
10
( ) ( ) ... ( ) 0
nn
nn
a x y a x y a x y
n
()yx
()yx
( 1)n
0
x
x
0
k
y
0,1,..., 1kn
0
00
()y x y
1
00
'( )y x y
( 1) 1
00
()
nn
y x y
, (1.2)
то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением
-го
порядка, разрешенным относительно старшей производной.
Определение 1.4. Уравнение называется линейным, если функция F линейна
относительно искомой функции и ее производных, то есть уравнение может быть
записано в виде:
, (1.3)
где
Если
,
– известные функции.
, то уравнение
(1.4)
называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.
Определение 1.5. Если в уравнении (1.3)
, то есть
, (1.5)
то уравнение называется однородным, в противном случае уравнение называется
неоднородным.
Определение 1.6. Решением дифференциального уравнения называется
функция, определенная на некотором множестве G, при подстановке которой в
уравнение получается тождество.
Определение 1.7. График решения дифференциального уравнения называется
интегральной кривой. Совокупность интегральных кривых, зависящая от набора
произвольных постоянных, называется семейством интегральных кривых.
Постановка задачи Коши для уравнения
решений уравнения (1.2) требуется найти такое решение
ее производные до
независимой переменной
-го порядка включительно при заданном значении
принимают заданные значения
-го порядка. Среди всех
, что функция
,
и
, то
есть
,
6
, …,
. (1.6)
Условия (1.6) называются начальными условиями.
1
( , ,..., )
n
y y x C C
12
, ,...,
n
C C C
G
G
1
( , , ,..., ) 0
n
x y C C
1
,...,
n
CC
Определение 1.8. Общим решением обыкновенного дифференциального
уравнения (1.2) в области G называется функция
удовлетворяющая условиям:
, (1.7)
1) при любых допустимых значениях
функция (1.7) является
решением (1.2);
2) интегральные кривые решений (1.7) заполняют всю область
3) через каждую точку области
проходит единственная интегральная
;
кривая вида (1.7).
Определение 1.9. Общим интегралом обыкновенного дифференциального
уравнения называется соотношение вида
, неявно определяющее
общее решение.
Определение 1.10. При конкретных значениях
, включая , из
общего решения выделяется частное решение, а общий интеграл становится
частным интегралом.
Определение 1.11. Решение, в каждой точке которого нарушается
единственность решения задачи Коши, называется особым решением.
Дифференциальные уравнения возникают при постановке и математической
формулировке всевозможных прикладных задач с использованием производных и
дифференциалов. Процедура составления дифференциального уравнения
эквивалентна получению по имеющимся данным об исследуемом явлении, процессе
и т.п., некоторой аналитической зависимости между независимой переменной
(аргументом), зависимой переменной (функцией или искомой переменной) и её
производными или дифференциалами.
Составление дифференциального уравнения по условиям задачи состоит в
определении математической зависимости между переменными и их
приращениями, которые затем заменяются соответствующими дифференциалами.
7
Составление дифференциальных уравнений – очень трудный этап любого
исследования, так как не существует единого универсального подхода, который
можно было бы описать алгоритмом. В процессе построения математической
модели существенное значение имеет знание законов той области науки, с которой
связана природа изучаемой задачи, поэтому для понимания представленных в
методических указаниях решениях задач с физическим содержанием, а также при
самостоятельном решении таких задач Вам необходимо будет использовать свои
знания по различным разделам физики.
В дальнейшем при решении прикладных задач, приводящих к
дифференциальным уравнениям, мы будем придерживаться следующих этапов [7]:
1) анализ условий задачи, введение переменной, искомой функции,
определение начальных условий;
2) составление дифференциального уравнения исследуемого процесса;
3) определение типа полученного дифференциального уравнения;
4) поиск общего решения составленного дифференциального уравнения;
5) поиск частного решения на основании заданных начальных условий;
графическое изображение полученных зависимостей;
6) определение по мере необходимости вспомогательных параметров
(например, коэффициента пропорциональности и т.п.) с использованием для этой
цели дополнительных условий;
7) получение результата, выводы, анализ результата.
Некоторые из этих пунктов в зависимости от характера задачи могут не
использоваться.
8
2 Основные понятия и задачи, приводящие к
( , )
dy
f x y
dx
( , )f x y
2
DR
00
()y x y
D
( , )
dy
tg f x y
dx
( , )f x y
00
( , )xy
( , )f x y C
дифференциальным уравнениям первого порядка
Рассмотрим уравнение первого порядка, разрешенное относительно
производной:
где
- функция, заданная в некоторой области
, (2.1)
.
Начальные условия для уравнения (2.1) имеют вид
. (2.2)
Правая часть уравнения (2.1) в каждой точке области
определяет тангенс
угла наклона касательной к проходящей через эту точку интегральной кривой:
(2.3)
Определение 2.1. Область, в каждой точке которой указано направление
касательной, определяемое значением
, называется полем направлений.
Уравнение (2.1) геометрически означает тот факт, что направление
касательной каждой точки любой интегральной кривой совпадает с направлением
поля в этой точке. С геометрической точки зрения решение задачи Коши (2.1)-(2.2)
означает, что интегральная кривая проходит через точку с координатами
Определение 2.2. Изоклиной называется геометрическое место точек, в
которых касательная к искомым интегральным кривым имеет одно и то же
направление.
Уравнение изоклин имеет вид
Ответ на вопрос, когда задача Коши (2.1)-(2.2) имеет единственное решение,
дает следующая теорема.
.
. (2.4)
9
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (2.1)-
( , )f x y
0 0 0 0
{( , ) , }D x y x a x x a y b y y b
1 2 1 2
( , ) ( , )f x y f x y y y
()yx
00
x h x x h
min ,
b
ha
M
( , )
max ( , )
x y D
M f x y
v
t
t
()vt
m
F mg
g
c
F kv
dv
m mg kv
dt
dv
dt
()
kt m
mg
v t Ce
k
C
(2.2). Пусть функция
определена и непрерывна в прямоугольной замкнутой
области
Липшица относительно y, то есть
, где - постоянная.
Тогда существует единственное решение
, где
,
Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к обыкновенным
дифференциальным уравнениям первого порядка
Задача 1. Тело массой m падает под действием силы тяжести и силы
сопротивления, пропорциональной скорости
, где k– коэффициент сопротивления.
и удовлетворяет в D условию
задачи Коши (2.1.1)-(2.1.2) при
.
Найти зависимость скорости движения тела от времени
Решение.
1) По условию задачи
– переменная времени,
2) На тело действуют следующие силы: сила тяжести
ускорение, и сила сопротивления
. Согласно второму закону Ньютона,
получаем следующее соотношение
. (2.5)
Уравнение (2.5) является обыкновенным дифференциальным уравнением
первого порядка. Производная
имеет механический смысл ускорения движения
рассматриваемого тела.
[1].
– искомая функция.
, где
–
3) Можно проверить подстановкой, что решением уравнения (2.5) является
совокупность функций
, где
10
- произвольная постоянная.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]