Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка в примерах и приложениях. Методические указания
.pdf
4) Если заданы начальные условия, например, в момент времени
0t
0
(0)vv
0
C v mg k
0
( ) (1 )
kt m kt m
mg
v t e v e
k
t
()v t mg k
0
v
Q
Oy
P
a
xOy
Q
( ,0)a
P
()y y x
PQ
P
( , )xy
QPA
тело
начинает падение с начальной скоростью
задачи Коши имеет вид
5) При
начальной скорости
уравнение (2.5) имеет решение
.
, то
.
. Тогда решение
, не зависящее от
Задача 2. Человек, находящийся в точке
, движется вдоль оси ординат
положительном направлении и тянет тяжелый предмет, расположенный в точке
за веревку постоянной длины
момент времени точка
координаты
. Составить обыкновенное дифференциальное уравнение
траектории перемещения точки
(рисунок 1). Пусть на плоскости
в начальный
находится в начале координат, а точка P имеет
[1].
в
,
Решение.
1) Обозначим через
2) По условию задачи
с координатами
Рисунок 1 – Рисунок, иллюстрирующий задачу 2
уравнение искомой траектории точки P.
является касательной к искомой траектории в точке
. Рассмотрим прямоугольный треугольник
11
. Обозначим
QPA
. Согласно условию длина гипотенузы
PQ
AQ
22
ax
22
tg a x x
()dy dx tg tg
22
dy a x
dx x
P
22
22
ln
a a x
y a a x
x
( ) ( ) 0p x dx q y dy
()px
()qy
( , )ab
( ) ( )P x Q y C
()Px
()Qy
()px
()qy
C const
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0p x q y dx p x q y dy
1 1 2 2
( ), ( ), ( ), ( )p x q y p x q y
равна a, тогда длина катета
равна
, и
.
Согласно геометрическому смыслу производной
Получаем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
, (2.6)
которое описывает траекторию перемещения точки
.
3) Одним из решений этого уравнения является функция
. (2.7)
Функция (2.7) задает плоскую кривую, называемую трактрисой.
.
3 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Определение 3.1. Уравнение вида
где
с разделенными переменными.
где
и
– функции, непрерывные в интервале
Общим интегралом уравнения (3.1) является равенство
и
– первообразные функций
Определение 3.2. Уравнение вида
и
, (3.1)
, называется уравнением
, (3.2)
соответственно,
.
где
разделяющимися переменными.
– непрерывные функции, называется уравнением с
, (3.3)
12
Метод решения уравнения (3.3).
1
( ) 0qy
2
( ) 0px
12
( ) ( ) 0q y p x
12
21
( ) ( )
0
( ) ( )
p x q y
dx dy
p x q y
( ) ( )F x G y C
()Fx
()Gy
1
2
()
()
px
px
2
1
()
()
qy
qy
1
( ) 0qy
2
( ) 0px
y const
x const
()y y x
()x x y
()xt
0
(0)xx
1) Рассмотрим случай, когда
уравнения (3.3) на
переменными
, получим уравнение с разделенными
, общим интегралом которого является
и
. Разделив обе части
равенство
, (3.4)
где
вида
и
2) Пусть
– первообразные функций
или
или
соответственно. Эти функции могут также оказаться
. Каждое из этих уравнений задают функции
и
соответственно.
решениями уравнения (3.3). Эти решения могут не войти в общий интеграл ни при
каком значении С (включая ) и оказаться особыми.
Замечание 3.1. Так как в уравнении (3.3) переменные x и y входят
равноправно, то отыскиваются решения, являющиеся как функциями аргумента x,
так и функциями аргумента y, то есть решения вида
и
.
Так как решение многих дифференциальных уравнений сводится к решению
дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, то при
рассмотрении примеров уделим им наибольшее внимание.
Задача 3. Задача о радиоактивном распаде радия. Из эксперимента
известно, что скорость радиоактивного распада неустойчивого вещества
пропорциональна количеству вещества. Найти полупериод (время, за которое
распадается половина вещества) распада радиоактивного вещества [3].
Решение.
1) Обозначим через
времени t. В начальный момент времени
количество радиоактивного вещества в момент
.
13
2) Скорость радиоактивного распада есть производная функции
()xt
0k
dx
kx
dt
dx
kdt
x
ln| |dxxC
x
k dt kt C
ln lnx kt C
()
kt
x t Ce
C const
0
0xx
0
(0)
k
x Ce C
0
Cx
0
()
kt
x t x e
0
x
0
1
2
x
0
()
kT
x T x e
00
1
2
kT
x x e
ln2
T
k
. По
условию скорость радиоактивного распада неустойчивого вещества
пропорциональна количеству вещества. Пусть
– коэффициент
пропорциональности. Тогда дифференциальное уравнение задачи имеет вид:
.
Знак минус в правой части уравнения означает, что количество
радиоактивного вещества с течением времени уменьшается.
3) Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися
переменными.
4) Найдем общее решение. Разделим переменные, получим
.
Находим
,
. Тогда
. Общее решение
имеет вид
, где
5) Найдем частное решение. Так как
.
, то
и частное решение имеет вид
.
6) Найдем время T, через которое распадается половина вещества. В
начальный момент времени количество вещества было равно
вещества равна
, откуда
. С другой стороны,
. Это время не зависит от начального количества
. Получаем уравнение
вещества.
. Тогда
, тогда половина
14
Задача 4. Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий при
()xt
0
(0)xx
dx
dt
x
dx
kx
dt
0k
dx
kdt
x
()
kt
x t Ce
C const
0
(0)xx
0
(0)
k
x Ce C
0
Cx
0
()
kt
x t x e
0
()x T mx
0
()
kT
x T x e
достаточном запасе пищи пропорциональна их количеству. За какое время
количество бактерий увеличится в m раз по сравнению с начальным их количеством
[9]?
Решение.
1) Пусть
момент времени количество бактерий равно
– количество бактерий в момент времени t, и пусть в начальный
.
2) Так как по условию скорость распространения бактерий
пропорциональна их количеству
, дифференциальное уравнение задачи имеет вид
,
.
Знак «+» в правой части уравнения означает, что количество бактерий с течением
времени увеличивается.
3) Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися
переменными.
4) Найдем общее решение. Разделим переменные, получим
.
Находим первообразные функций, стоящих при дифференциалах в левой и
правой частях уравнения, и получаем общее решение:
, где
5) Найдем частное решение. Так как
, а
Тогда решение задачи Коши имеет вид
.
6) Находим время T, за которое количество бактерий увеличится в m раз. Это
означает, что
, а согласно найденному решению задачи Коши
. Получаем уравнение
.
, то
.
15
00
kT
mx x e
.
lnm
T
k
0
20v
()s s t
(0) 5s
ds
dt
ds k
dt s
sds kdt
2
2
s
sds C
kdt kt C
2
2
s
kt C
2
2s kt C
0s
Отсюда
.
Задача 5. Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно
пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка
находилась на расстоянии 5 м от начала отсчета пути и имела скорость
м/с.
Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала движения
[9].
Решение.
1) Обозначим через
расстояние точки от начала отсчета в момент t.
Так как в начальный момент движения точка находилась на расстоянии 5 м, то
начальное условие
.
2) Согласно условию, материальная точка движется по прямой со скоростью
обратно пропорционально пройденному пути s . Тогда дифференциальное
уравнение задачи имеет вид
,
где k – коэффициент пропорциональности.
3) Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися
переменными.
4) Найдем общее решение. Разделим переменные, получим уравнение с
разделенными переменными
Находим
,
.
. Получаем общий интеграл уравнения –
или
.
Так как s – расстояние, то
, тогда общее решение имеет вид
16
( ) 2s t kt C
C const
5) Находим частное решение.
(0) 5s
(0) 2 0 2s k C C
25C
25
2
C
( ) 2 25s t kt
0
20v
()
2 25
ds k
vt
dt
kt
(0)
5
2 0 25
kk
v
k
(0) 20v
20
5
k
100k
s
( ) 200 25s t t
100
()
200 25
vt
t
(10) 225 200 10 45s
100 100 20
(10)
45 9
200 10 25
v
, где
.
Из начального условия
общего решения получаем, что
определим постоянную интегрирования C. Из
, тогда
и
.
Частное решение задачи имеет вид
. (3.5)
6) Определим значения пути и скорости точки через 10 с после начала
движения.
Нами установлена зависимость пути от времени, которая описывается
формулой (3.5). В данной формуле необходимо определить значение коэффициента
пропорциональности k. Для этого воспользуемся еще одним условием задачи,
согласно которому точка имела в начальный момент времени скорость
м/с.
Найдем зависимость скорости от времени. Дифференцируя (3.5) по t, найдем
скорость движения точки в момент времени t:
Найдем
соотношение
Таким образом, расстояние
, из которого следует, что
,
, с другой стороны
и скорость v изменяются по законам
.
Находим значения пути и скорости точки через 10 секунд:
(м);
.
. Получаем
.
(м/с).
17
7) Итак, через 10 с после начала движения скорость точки составляла
20
9
(10) (0) 45 5 40ss
4R
2
1
0,00081F pv
()v v t
dv
mF
dt
mg
2
0,00081pv
2
dv
gv
dt
0,00081p
m
2
dv
dt
gv
2
dv
gv
2
1
gv
м/с.
За это время точка прошла расстояние
м.
Задача 6. Парашютист спускается на парашюте, имеющем форму полусферы
радиуса
м. Его масса вместе с массой парашюта равна 82 кг. Найти скорость v
парашюта через 2 с после начала спуска и путь, пройденный за время t. Считать, что
сила сопротивления воздуха
, где p – площадь наибольшего сечения,
перпендикулярного направлению движения; v – скорость движения [9].
Решение.
1) По условию задачи необходимо найти зависимость скорости парашюта от
времени t, тогда
– искомая функция задачи.
2) Используя второй закон Ньютона, получаем следующее уравнение
движения парашюта
.
Учитывая, что сила F является равнодействующей двух противоположно
направленных сил: силы тяжести, равной
равной
где
, дифференциальное уравнение задачи запишем в виде
.
3) Полученное уравнение является дифференциальным уравнением первого
порядка с разделяющимися переменными.
4) Найдем общее решение уравнения. Разделим переменные, получим
уравнение с разделенными переменными
, и силы сопротивления воздуха,
,
.
Найдем
. Разложим дробь
на простейшие дроби:
18
2
1 1 1 1
2 g g v g v
gv
тогда получим
2
11
ln ln
22
1
ln .
2
dv
g v g v C
gg
gv
gv
C
g g v
1
ln
2
gv
tC
g
gv
0t
0v
0C
1
ln
2
gv
t
g g v
ln 2
gv
tg
gv
2tg
gv
e
gv
2tg
g v e g v
22t g t g
e v v e g g
22
11
t g t g
v e g e
22
22
1 ( 1):
1 ( 1):
2
.
2
t g t g t g t g t g
t g t g t g t g t g
t g t g
t g t g
g e g e e g e e
v
e e e e e
ee
sh t g
gg
ch t g
ee
Таким образом, общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид
5) Найдем частное решение уравнения. Известно, что в начальный момент
,
.
.
времени скорость парашюта равно нулю, то есть если
. Тогда частный интеграл имеет вид
Выразим v как функцию времени t.
Из (3.6) находим
, то
; следовательно,
. (3.6)
Итак,
19
.
sh t g
g
v
ch t g
(2)v
0,00081p
m
4R
16p
0,00081 0,00081 16
0,0005
82
p
m
9,81g
140
g
0,07g
0,14
1
0,14
1
2 140 9,78
1
e
vv
e
ds
v
dt
sh t g
ds g
dt
ch t g
1
ln
sh t g
g
dt t g C
ch t g
(3.7)
6) По условию задачи нам необходимо определить скорость через 2 с после
начала движения, то есть
. Однако в частном решении (3.7) присутствует
коэффициент , который необходимо найти. Мы его найдем, используя условия
задачи и частный интеграл (3.7).
Согласно пункту 2 решения задачи
, где p – площадь
наибольшего сечения, перпендикулярного направлению движения. В нашем случае
сечение есть круг радиуса
Итак,
Пусть
, тогда
Искомая скорость
, тогда
,
.
.
.
.
Найдем путь, пройденный за время t.
Так как скорость есть производная пути по времени
можно записать в виде
Уравнение (3.8) является уравнением с разделяющимися переменными.
Найдем его общее решение.
Итак, общее решение уравнения (3.8) имеет вид
, то уравнение (3.7)
(3.8)
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]