Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка в примерах и приложениях. Методические указания
.pdf
Найдем форму сечения зеркала плоскостью xOy. Пусть уравнение сечения
()yx
( , )M x y
NMO BML
BML
MNP
OMN
2MOP
OMN
2ytg
x
2
2
2
1
tg
tg
tg
tg y
()yx
2
2
1
yy
x
y
22
x x y
y
y
22
x x y
y
y
y
u
x
2
11u
u xu
u
есть
(рисунок 2). В точке
падения луча L на зеркало проведем
касательную BN к сечению и обозначим ее угол с осью Ox через . Пусть N – точка
пересечения этой касательной с осью Ox. По закону отражения
Так как
прямых ML и NP и секущей BN, то
внешний угол
Согласно введенным обозначениям
формула
которому
и
равны как соответственные углы при параллельных
равнобедренный, а
.
. С другой стороны, известна
. Учитывая геометрический смысл производной, согласно
, получаем, что во всякой точке кривой
выполняется
.
как
соотношение
Итак, получили дифференциальное уравнение, определяющее требуемый ход
луча.
2) Разрешая полученное уравнение относительно производной, получаем два
однородных уравнения:
3) И первое, и второе из полученных уравнений путем замены
преобразуется к виду
. (4.6)
,
.
,
или к совокупности уравнений
31
22
22
,
11
.
11
udu dx
x
uu
udu dx
x
uu
2
2
2 2 2 2 2
( 1 1)
ln 1 1
1 1 1 ( 1 1) 1 1
udu udu d u
uC
u u u u u
2
ln ln ln 1 1x C u
2
11
C
u
x
22
2y Cx C
2
2
2
C
y C x
22
2
2
C
y z C x
(1 ln ln )xy y y x
4) Решим первое уравнение полученной совокупности.
Общий интеграл уравнения имеет вид
.
,
Потенцируя последнее соотношение, получим
.
Возвращаясь к старым переменным, преобразуем выражение и получим
общий интеграл
,
или
. (4.7)
Уравнение (4.7) в плоскости xOy определяет семейство парабол,
симметричных оси Ox. Фокусы всех этих парабол совпадают с началом координат.
Фиксируя С и вращая параболу вокруг оси Ox, получаем параболоид вращения
.
Таким образом, искомой формой зеркала задачи является параболоид
вращения.
Задача 11. Решить уравнение
32
. (4.8)
Решение.
0,
0.
x
y
(1 ln ln )
dy
x y y x
dx
1 ln
dy y
xy
dx x
1 ln
dy y y
dx x x
y
u
x
y u x
y u x u
(1 ln )u x u u u
lnu x u u u u
lnu x u u
ln
du
x u u
dx
0x, ln 0uu
ln
du dx
u u x
ln ln ln lnu x C
lnu Cx
Cx
ue
Cx
y
e
x
Cx
y x e
Cx
y x e
0x
ln 0uu
ln 0uu
0,
ln 0
y
x
y
x
0,
.
y
yx
0x
0y
Область допустимых значений уравнения:
Запишем решаемое уравнение в виде
Используя ОДЗ и свойства логарифмической функции, получим
Полученное уравнение является однородным дифференциальным уравнением
первого порядка, так как имеет вид (4.1).
Делаем замену
,
,
Уравнение принимает вид
Уравнение (4.9) является уравнением с разделяющимися переменными.
Запишем уравнение в виде
.
.
.
.
. (4.9)
1) Пусть
Итак
2) Выясним, были ли потеряны решения при условиях
Учитывая ОДЗ уравнения (4.8),
уравнения.
. Тогда
.
– общее решение уравнения (4.8).
,
33
или
.
не являются решениями
Функция
yx
Cx
y x e
(6 1) (4 2) 0x y dx x y dy
61
42
dy x y
dx x y
6 1 0,
4 2 0.
xy
xy
61
6 4 2 0
41
1
2
x
4y
1
2
xu
4yv
1
2
ux
4vy
du dx
dv dy
(6 ) (4 ) 0u v du u v dv
является решением исходного уравнения и при С=0
содержится в общем решении уравнения (4.8).
Таким образом, все решения данного уравнения описываются функцией
, особых решений данное уравнение не имеет.
Задача 12. Решить уравнение
Решение.
Уравнение (4.10) является уравнением, приводящимся к однородному, так как
его можно представить в виде (4.4):
. (4.10)
.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
(4.11)
Найдем определитель матрицы системы
. Так как
определитель отличен от нуля, то уравнение (4.10) приводится к однородному
уравнению.
Система (4.11) имеет единственное решение
Вводим новые переменные заменой
,
,
.
,
,
.
. Тогда
В результате замены уравнение принимает вид
,
Получили однородное уравнение, которое приведем к виду
.
34
4
6
du u v
dv u v
41
61
u
du
v
u
dv
v
41
61
u
v
u
u
v
u
t
v
u t v
u t v t
41
61
t
t v t
t
41
61
t
t v t
t
2
4 1 6
61
t t t
tv
t
2
6 5 1
61
tt
tv
t
2
6 5 1
61
tt
tv
t
2
(6 1)
6 5 1
t dt dv
v
tt
2
(6 1)
6 5 1
t dt
tt
61
(2 1)(3 1)
t
tt
6 1 3 2 (3 2 ) ( )
(2 1)(3 1) 2 1 3 1 (2 1)(3 1) (2 1)(3 1)
t A B At A Bt B t A B A B
t t t t t t t t
1
0
t
t
3 2 6,
1.
AB
AB
4,
3.
A
B
6 1 4 3
(2 1)(3 1) 2 1 3 1
t
t t t t
2
(6 1) (2 1) (3 1)
4 3 2
2 1 3 1 2 1 3 1
6 5 1
t dt dt dt d t d t
t t t t
tt
2ln 2 1 ln 3 1t t C
2
(2 1)
ln ln
31
tC
tv
2
(2 1)
31
tC
tv
2
31
(2 1)
t
tC
v
.
Вводим новую переменную
,
,
.
Получаем уравнение с разделяющимися переменными:
Разделяя переменные, приходим к уравнению
. (4.12)
Найдем
Разложим рациональную дробь
.
на простейшие дроби:
.
Значит,
Общий интеграл уравнения (4.12):
Возвращаемся к старым переменным
.
.
.
.
35
2
31
21
u
u
v
C
vv
2
1
1
2
31
4
2
21
44
x
x
y
C
yy
И получаем общий интеграл уравнения (4.10):
2
5
(2 3) 3
2
x y C x y
2 3 0xy
1
2
t
5
30
2
xy
1
3
t
0C
C
(2 1) (4 2 3) 0x y dx x y dy
21
4 2 3
dy x y
dx x y
2 1 0,
4 2 3 0.
xy
xy
21
0
42
2z x y
2dy dz dx
( 1) (2 3)( 2 ) 0z dx z dz dx
. (4.13)
;
;
Решения
решении (4.13) при
и
уравнения содержатся в (4.13).
Задача 13. Решить уравнение
Решение.
Уравнение (4.14) является уравнением, приводящимся к однородному, так как
его можно представить в виде (4.4):
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
и
содержатся в общем
соответственно. Таким образом, все решения
. (4.14)
.
Определитель системы
Выполним замену переменных:
Уравнение (4.14) примет вид
(4.15)
.
,
.
. (4.16)
36
Преобразуем (4.16):
( 1) (2 3) 2(2 3) 0z dx z dz z dx
( 1 4 6) (2 3) 0z z dx z dz
5( 1) (2 3)z dx z dz
23
5
1
z
dx dz
z
1
52
1
dx dz
z
5 2 ln 1x z z C
5 2(2 ) ln 2 1x x y x y C
2 ln 2 1x y x y C
21xy
10z
2 ln 2 1x y x y C
21xy
2
cos
y
xy y x
x
22
xy x y y
cosln
y
xy y
x
22
( ) 2 0x y dx xydy
xy
y
x
2
( ) 0x y ydx x dy
. (4.17)
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Решая данное уравнение, получим
Общий интеграл (4.17) имеет вид
Возвращаясь к старым переменным, получим
или
Решение
каком значении С.
Итак, решениями данного уравнения являются функции
(
и
.
.
(4.18)
) не содержится в общем решении (4.18) ни при
.
Задания для самостоятельного решения
Решить уравнения:
21.
22.
23.
24.
25.
26.
,
,
,
,
,
,
37
27.
( ) ( ) 0y x dx y x dy
(2 4 ) ( ) 0t z dt t z dz
2
2
2
()
dz z
dt
tz
cos cos 0
yy
x y dx x dy
xx
2 (1 ) 0x y x y
(3 7 7) (3 7 3) 0y x dx x y dy
( 2) ( 4) 0x y dx x y dy
( 2 1) (3 6 2) 0x y dx x y dy
( ) ( 1) 0x y dx x y dy
( ) ( )
dy
p x y g x
dx
( ) 0
dy
p x y
dx
,
28.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
,
,
.
,
,
,
,
.
5 Линейные уравнения первого порядка
Определение 5.1. Линейным дифференциальным уравнение первого порядка
называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее
производной.
Оно имеет вид
, (5.1)
где p(x) и g(x) – заданные функции переменной x, непрерывные в той области, в
которой требуется решить уравнение (5.1).
При g(x)=0 уравнение (5.1) называется линейным однородным и имеет вид
. (5.2)
Уравнение (5.2) является уравнением с разделяющимися переменными и
имеет общее решение
38
()p x dx
y Ce
, (5.3)
()
()
p x dx
y C x e
()Cx
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) () ( )
p x dx p x dx p x dx
dC
e C x e p x p x C e g x
dx
()
()
p x dx
dC
g x e
dx
()
( ) ( )
p x dx
C x g x e dx C
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
p x dx p x dx p x dx p x dx p x dx
y g x e C e Ce e g x e
где С – произвольная постоянная.
Для решения неоднородного уравнения (5.1) применяются метод Лагранжа
(метод вариации произвольной постоянной) и метод Бернулли.
Идея метода Лагранжа.
1) Для неоднородного уравнения (5.1) составляем соответствующее
однородное уравнение (5.2) и находим его общее решение (5.3).
2) Решение неоднородного уравнения (5.1) ищем в виде
, (5.4)
где
– неизвестная пока функция.
Выражение (5.4) является решением неоднородного уравнения (5.1). Тогда
при подстановке (5.4) в уравнение (5.1), получаем равенство
откуда
.
Находим C(x):
. (5.5)
Подставляя (5.5) в (5.4), получаем общее решение неоднородного уравнения
(5.1)
,
Замечание 5.1. Сопоставляя (5.3) и (5.6), замечаем, что общее решение
линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения.
Идея метода Бернулли.
Решение уравнения (5.1) ищется в виде произведения двух функций
39
(5.6)
( ) ( )y u x v x
, (5.7)
( ) ( )u v uv p x uv g x
( ( ) ) ( )u v u v p x v g x
( ) 0v p x v
()u v g x
()vx
()ux
()Et
0
I
0
E E const
()it
0
(0)iI
a
U
k
U: ()
ak
E t U U
a
U Ri
k
di
UL
dt
di
Ri L E
dt
0
EE
одну из которых можно выбрать произвольным образом.
Подставив решение (5.7) в уравнение (5.1), получим равенство
. (5.8)
Сгруппируем слагаемые в левой части равенства (5.8):
.
Выберем v так, чтобы
, (5.9)
тогда для нахождения u имеем уравнение
(5.10)
Уравнения (5.9) и (5.10) являются уравнениями с разделяющимися
переменными. Решая уравнение (5.9), находим какое-либо его частное решение
, а решая (5.10), находим общее решение
. Затем подставляем в (5.7) и
получаем общее решение уравнения (5.1).
Задача 14. В замкнутую электрическую цепь последовательно включены
источник тока с ЭДС
, активное сопротивление R и катушка с индуктивностью
L, где R и L постоянные. Найти закон изменения силы тока с течением времени, если
в начальный момент времени сила тока была равна
, а
[4].
Решение.
1) Обозначим через искомую функцию
задачи имеет вид
.
силу тока. Начальное условие
2) Из курса физики известно, что ЭДС есть сумма двух напряжений –
активного напряжения
и напряжения на катушке
. По закону
Ома
,
, тогда
. Так как по условию задачи R, L и
постоянные, то получаем следующее дифференциальное уравнение задачи:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]