Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка в примерах и приложениях. Методические указания
.pdf
0
E
di R
i
dt L L
. (5.11)
0
di R
i
dt L
di R
dt
iL
di R
dt
iL
ln ln
R
i t C
L
R
t
L
i Ce
( ) ( )
R
t
L
i t C t e
0
( ) ( ) ( )
R R R
t t t
L L L
E
RR
C t e C t e C t e
L L L
0
()
R
t
L
E
C t e
L
00
()
RR
tt
LL
EE
L
C t e C e C
L R R
00
()
R R R
t t t
L L L
EE
i t e C e Ce
RR
0
(0)iI
0
0
E
IC
R
0
0
E
CI
R
00
0
()
R
t
L
EE
i t I e
RR
3) Уравнение (5.11) является линейным неоднородным дифференциальным
уравнением первого порядка.
4) Найдем решение уравнения (5.11) методом Лагранжа. Для этого
рассмотрим сначала соответствующее однородное уравнение
.
Разделяя переменные, получим
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде
Подставляем его в (2.4.11):
результате приведения подобных получаем
Находим общее решение уравнения (2.4.11):
. (5.12)
.
. В
, откуда
.
5) Используя начальное условие
. Тогда частное решение задачи имеет вид
. (5.13)
, получим
, откуда
(5.14)
41
6) Итак, (5.14) является решением задачи Коши, из которого видно, что при
t
()it
R
E
0
()yt
(0) 0y
()ma y t
()ma y t
m
()dy ma y t
dt m
dy
ya
dt m
( ) ( ) ( )y t u t v t
' '( ) ( ) ( ) '( )y u t v t u t v t
''u v uv uv a
m
сила тока
стремится к постоянному значению
.
Задача 15. На материальную точку массы m действует постоянная сила,
сообщающая точке ускорение a. Окружающая среда оказывает движущейся точке
сопротивление, пропорциональное скорости ее движения, коэффициент
пропорциональности равен . Как изменяется скорость движения со временем, если
в начальный момент точка находилась в покое [9]?
Решение.
1) Будем отсчитывать время с момента начала движения. Через
обозначим скорость движения точки в момент времени t. Тогда
.
2) Составим дифференциальное уравнение задачи.
В произвольный момент времени t на точку действует сила
.
Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает точке ускорение, равное
. Ускорение в момент времени t – это скорость изменения скорости
движения в этот момент, то есть производная скорости как функции времени.
Поэтому
или
. (5.15)
3) Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
4) Решим уравнение (5.15) методом Бернулли.
Представляем искомую функцию в виде произведения
.
Подставим её в уравнение с учетом того, что
:
.
42
Группируем слагаемые в левой части равенства:
''u v u v v a
m
()vt
'0vv
m
dv
v
dt m
dv
dt
vm
ln vt
m
()
t
m
v t e
()ut
'
t
m
u e a
()
tt
mm
ma
u t a e dt e C
()
t t t
m m m
ma ma
y t e C e Ce
(0) 0y
0
ma
C
ma
C
( ) 1
t
m
ma
y t e
ma
ma
cos sin cosy y x x x
(0) 0y
2
6 2 0x y xy
(1) 1y
.
Выбираем функцию
уравнение:
Находим
Общее решение уравнения (5.15):
5) Используем начальное условие
Получаем решение задачи:
из уравнения
такую, чтобы
:
и получим
. Решаем полученное
(частное решение).
.
.
.
. (5.16)
6) Из формулы (5.16) видно, что скорость движения материальной точки
возрастет со временем, приближаясь к значению
. Через некоторое время после
начала движения точка будет двигаться практически равномерно со скоростью,
близкой к
.
Задания для самостоятельного решения
Решить задачу Коши:
37.
,
,
38.
,
,
43
39.
2
2xy y x
(2) 2y
3
( ) 0x y dx xdy
(2) 5y
2
22
x
y xy xe
(0) 2y
2
121x
yy
x
(2) 4y
cosy y x
1
22
y
()it
0
( ) sin 2E t E nt
0
(0)iI
00
,E I const
1
k
2
k
( ) ( )
n
y p x y g x y
0, 1nn
11n
z
y
( ) ( ) ( )y x u x v x
,
,
40.
41.
42.
43.
,
44. В задаче 14 найти силу тока
, где
,
,
,
,
,
,
.
при условии, что
.
45. Конденсатор, емкость которого равна Q, включается в цепь с напряжением
E и сопротивлением R. Определить заряд q конденсатора в момент t после
включения.
46. Точка массы m движется прямолинейно под действием силы,
,
пропорциональной времени (коэффициент пропорциональности
). Кроме того
точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент
пропорциональности
). Найти зависимость скорости от времени, считая, что в
начальный момент скорость равна нулю.
6 Уравнение Бернулли
Определение 6.1. Уравнением Бернулли называется уравнение вида
С помощью замены
,
уравнение Бернулли приводится к линейному
. (6.1)
уравнению и решается как линейное. Также уравнение Бернулли может быть
решено с помощью замены
.
44
Задача 16. Решить уравнение
2
cosy y tgx y x
0y
0y
2
y
2
cos
y tgx
x
y
y
1
1
zy
y
2
2
y
z y y
y
cosz ztgx x
cosz z tgx x
0z z tgx
dz
z tgx
dx
sin
cos
dz x
dx
zx
ln ln cos lnz x C
cosz C x
( ) cosz x C x x
sin
( ) cos ( ) sin ( ) cos cos
cos
x
C x x C x x C x x x
x
( ) 1Cx
()C x x C
( ) cosz x C x
Решение.
Первый способ решения.
(6.2)
1) Прямая
2) Пусть
является решением уравнения (6.2).
. Разделим обе части уравнения на
Сделаем замену
В результате такой замены уравнение (2.5.2) примет вид
или
Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое
решим методом Лагранжа.
, тогда
, получим уравнение
.
.
. (6.3)
Составляем однородное уравнение, соответствующее данному:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение:
.
Итак, общее решение уравнения (6.3) ищем в виде
. (6.4)
Подставляем (6.4) в уравнение (6.3) и получаем равенство
,
из которого получаем
Общее решение уравнения (6.3) имеет вид
.
. Возвращаясь к
старым переменным, получаем общее решение уравнения (6.2)
.
45
1
cosx C x
y
(6.5)
0y
C
1
cosx C x
y
0y
( ) ( ) ( )y x u x v x
22
cosu v u v u v tgx u v x
22
( ) cosu v u v v tgx u v x
0v v tgx
dv
v tgx
dx
dv
tgxdx
v
ln ln cosvx
1
cosvx
()ux
2
2
1
cos
cos
cos
u
ux
x
x
2
uu
2
du
dx
u
1
xC
u
1
()ux
xC
1
cos
y
x C x
1
cosx C x
y
0y
2
22y xy xy
Решение
не содержится в общем решении (6.5) ни при каком значении
.
Таким образом, решениями уравнения (6.2) являются функции
и
.
Второй способ решения.
Представляем искомую функцию в виде произведения
Подставляем её в уравнение (6.2):
.
.
Группируем второе и третье слагаемые в левой части полученного равенства:
.
Находим функцию v такую, что
. Для этого найдем частное
решение уравнения:
Находим
Разделяя переменные, получим
Получаем общее решение уравнения
представлено как
Задания для самостоятельного решения
из уравнения
и
.
.
.
, которое может быть
.
Решить уравнения:
47.
,
46
48.
1
2xy y e
y
2
22x
y xy y e
22
xx
y ye ye
2
cos cosy y x y x
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy
( , ) ( , )
UU
M x y dx N x y dy dU dx dy
xy
MN
yx
00
( , ) ( , )
y
x
xy
M x y dx N x y dy C
2 2 2 3
(3 6 ) (6 4 ) 0x xy dx x y y dy
2
R
,
49.
50.
51.
,
,
.
7 Уравнение в полных дифференциалах
Определение 7.1. Дифференциальное уравнение вида
(7.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть
представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то есть
Теорема 7.1. Для того, чтобы уравнение (7.1) являлось уравнением в полных
дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной
области D изменения переменных x и y выполнялось условие
(7.2)
Общий интеграл уравнения (7.1) имеет вид U(x,y)=С или
. (7.3)
Задача 17. Решить уравнение
. (7.4)
Решение.
Областью допустимых значений уравнения является множество
.
47
Функции при дифференциалах уравнения
22
( , ) 3 6M x y x xy
23
( , ) 6 4N x y x y y
2
( , )x y R
12Mxy
y
12Nxy
x
22
( , ) 3 6
U
M x y x xy
x
23
( , ) 6 4
U
N x y x y y
y
2 3 2 2 4
( , ) (6 4 ) 3 ( )U x y x y y dy x y y C x
2 2 4 2 2 2
(3 ( )) 6 ( ) ( , ) 6 3
x
U
x y y C x x y C x M x y x y x
x
2
( ) 3C x x
23
( ) 3C x x dx x C
2 2 4 3
( , ) 3U x y x y y x C
3 2 2 4
3x x y y C
2 2 2 2
1
0
x
x dx y dy
y x y y x
{( , ): }D x y y x
22
1
( , )M x y x
yx
22
( , )
x
N x y y
y y x
( , )x y D
и
удовлетворяют соотношению (7.2) для
,
. Это значит, что уравнение (7.4) является уравнением в
полных дифференциалах.
Тогда
Из последнего соотношения найдем
Найдем С(х).
Из последнего равенства получаем
, так как
,
.
.
.
вид
Тогда
, а общий интеграл уравнения (7.4) имеет
.
Задача 18. Решить уравнение
(7.5)
Решение.
Область допустимых значений уравнения представляет собой множество
.
Функции при дифференциалах уравнения
и
удовлетворяют соотношению (7.2) для
, так как
48
13
2 2 2 2
22
3
22
1
2
2
y
My
y x y x y
y
yx
22
22
2 2 2
2 2 3
3
22
22
2
2
2
11
x
y x x
yx
N y x x y
x y y
yx
yx
yx
Это значит, что уравнение (7.5) является уравнением в полных
( , )U x y
2
22
1
( , ) arcsin ( )
2
xx
U x y x dx C y
y
yx
2
2 2 2 2 2
2
22
1
1 ( ) ( ) ( )
1
U x x
x y C y C y C y
y
x y x y y x
y
yy
()Cy
2 2 2 2
( ) ( , )
xx
C y N x y y
y y x y y x
()C y y
2
()
2
y
C y C
22
( , ) arcsin
22
x x y
U x y C
y
22
arcsin
22
x x y
C
y
дифференциалах.
,
.
Найдем функцию
часть уравнения (7.5).
Получаем соотношение для поиска
, полным дифференциалом которой является левая
;
;
:
.
Итак,
, а общий интеграл уравнения (7.5) имеет
вид
.
49
Задания для самостоятельного решения
2
2
sin2 sin
0
xx
x dx y dy
y
y
( ) ( ) 0
x y x y
ye e dx e xe dy
3 2 2 3
(2 ) ( 2 ) 0x xy dx x y y dy
22
( cos 2 ) (sin 2 ) 0y x xy dx x x y dy
2 2 3
(3 7) 2 0x y dx x ydy
( 3) (2 )
y x y x
e ye dx xe e dy
( 2 ) 0
yy
e dx xe y dy
2 2 2 2
1
xdy y
dx
x y x y
32
(4 2 ) 0x xy dx x dy
32
(2 ) (3 1) 0x y dx y x dy
( , )xy
dU Mdx Ndy
( , )xy
Решить уравнение:
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
61.
.
8 Интегрирующий множитель
В некоторых случаях, когда уравнение (7.1) не является уравнением в полных
дифференциалах, удается подобрать функцию
левая часть уравнения (7.1) превращается в полный дифференциал
Такая функция
называется интегрирующим множителем. Из
определения интегрирующего множителя имеем
, после умножения на которую
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]