Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка в примерах и приложениях. Методические указания
.pdf
( ) ( )MN
yx
MN
NM
x y y x
ln ln ln N
NM
x y y x
()y, ()xy
2
()xy
22
12
10
yy
dx dy
x
xx
()x
2
( , ) 1
y
M x y
x
2
12
( , )
y
N x y
x
x
2
1M
y
x
или
,
откуда
(8.1)
Мы получили для интегрирующего множителя уравнение в частных
производных. В общем случае решение этого уравнения в частных производных
является задачей отнюдь не более простой, чем решение исходного уравнения. Тем
не менее, относительно несложно могут быть найдены условия существования
интегрирующего множителя конкретного аргумента. В задачниках, как правило,
указывается вид интегрирующего множителя, например,
и т.п.
Задача 19. Решить уравнение
, (8.2)
путем сведения его к уравнению в полных дифференциалах с помощью
интегрирующего множителя
.
Решение.
Проверим сначала, является ли уравнение (8.2) уравнением в полных
дифференциалах.
Рассмотрим функции при дифференциалах уравнения
и
.
, частные производные этих функций
,
51
3
2 2 3
1 1 4
4
Ny
yx
x
x x x
. Замечаем, что
MN
yx
()x
ln
0
y
ln lnd
x dx
lnd M N
N
dx y x
ln
MN
d
yx
dx N
2 2 3
2
1 1 4
ln
12
y
d
x x x
y
dx
x
x
23
24
ln
12
1
y
d
xx
y
dx
xx
22
1
ln
12
1
y
d
xx
y
dx
xx
ln 2d
dx x
()x
2
lnd dx
x
ln 2ln x
2
x
2
x
2
( ) ( 2 ) 0x y dx x y dy
3
2
( , ) ( ) ( )
3
x
U x y x y dx xy C y
( ) 2
U
x C y x y
y
( ) 2C y y
2
()C y y C
, следовательно, уравнение
(2.7.2) не является уравнением в полных дифференциалах.
Так как по условию
, то
, а
.
Подставим полученные результаты в соотношение (2.7.1) и получим
.
Таким образом, получили дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными для нахождения функции
. Нам достаточно найти какое-либо
одно решение этого уравнения. Разделяем переменные, получаем:
.
Итак, интегрирующий множитель представляет собой функцию
умножения уравнения (8.2) на интегрирующий множитель, оно примет вид
. (8.3)
Можно показать, что данное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах.
Найдем его решение:
;
.
. После
52
Итак,
3
2
( , )
3
x
U x y xy y C
3
2
3
x
xy y C
()yx
( , )M x y
( , )M x y
22
y
tg y
x x y
22
dy y
dx
x x y
, тогда общее решение уравнения (8.3), а,
значит, и исходного уравнения (8.2) имеет вид
.
Задача 20. Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному
направлению все лучи, выходящие из данной точки [10].
Решение.
1) Пусть
– искомая функция, описывающая искомую форму зеркала.
2) Составим дифференциальное уравнение задачи.
Поместим начало координат в заданную точку и направим ось абсцисс
параллельно заданному в условиях задачи направлению. Пусть луч падает на
зеркало в точке
. Рассмотрим изображенное на рисунке 3 сечение зеркала
плоскостью xOy, проходящее через ось абсцисс и точку M. Проведем касательную
MN к рассматриваемому сечению поверхности зеркала в точке
. Так как
падения луча равен углу отражения и равен углу при вершине N треугольника MNO
как соответственный при параллельных прямых и секущей, то треугольник MNO
равнобедренный. Следовательно,
или
Получили дифференциальное уравнение задачи.
. (8.4)
53
22
( ) 0x x y dx ydy
22
()xy
22
( , )M x y x x y
( , )N x y y
22
My
y
xy
0
N
x
MM
xy
22
z x y
()z
ln ln ln
2
d z d
x
x dz x dx
ln ln ln
2
d z d
y
y dz y dz
Рисунок 3 – Рисунок задачи 20
3) Уравнение (8.4) является однородным, поэтому может быть решено
соответствующей заменой переменных, но проще, освободившись от
иррациональности в знаменателе, записать его в виде
, (8.5)
и решить другим способом.
4) Покажем, что для уравнения (8.5) существует интегрирующий множитель,
зависящий от аргумента
Обозначим
, то
и уравнение не является уравнением в полных
.
,
дифференциалах.
Найдем интегрирующий множитель. Введем новую переменную
интегрирующий множитель будем искать в виде
Найдем
,
Составляем равенство (8.1):
. Так как
.
,
,
.
54
22
22
ln ln
2 ( ) 2
d d y
y x x x y y
dz dz
xy
22
22
ln
(2 2 2 )
dy
xy xy y x y
dz
xy
22
ln 1
2( )
d
dz
xy
ln
2
dz
d
z
1
ln ln2z
22
1
xy
22
xdx ydy
dx
xy
или
2 2 2 2
10
x ydy
dx
x y x y
22
( , ) 1
x
M x y
xy
22
( , )
ydy
N x y
xy
3
22
2
()
M N xy
yx
xy
( , )U x y
22
22
( , ) ( , ) 1 ( )
x
U x y M x y dx dx x y x C y
xy
22
( , )
'( )
U x y y
Cy
y
xy
22
( , )U x y ydy
y
xy
()Cy
'( ) 0Cy
()C y C
.
После умножения на интегрирующий множитель, уравнение (8.5) примет вид
(8.6)
Убедимся в том, что (8.6) является уравнением в полных дифференциалах.
Обозначая
,
, находим
,
то есть уравнение (8.6) является уравнением в полных дифференциалах.
Выражение, стоящее в левой части (8.6) есть полный дифференциал
некоторой функции
. Тогда
;
, с другой стороны
, получаем
уравнение для нахождения
:
55
.
Функция
22
( , )U x y x y x C
22
x y x C
22
2y Cx C
22
2y Cx C
22
(1 ) ( ) 0x y dx x y x dy
()x
( sin sin ) cos 0x x y dx ydy
()x
2 3 2
(2 3 ) (7 3 ) 0xy y dx xy dy
()y
23
(3 ) (2 6 ) 0y x dx y xy dy
2
()xy
22
( 1) 2 0x y dx xydy
22
()yx
( ) 0xdx ydy x xdy ydx
22
()yx
2 2 2
( ) 0xdx ydy x y x dx
22
()yx
0xdx ydy xdy ydx
22
()yx
2
( ) 0x y dx xdy
()x
23
(2 2 5) (2 2 ) 0x y y dx x x dy
()x
, отсюда находим общий интеграл
уравнения:
5) Уравнение
или
.
описывает семейство парабол, следовательно,
формой зеркала является параболоид вращения.
Задания для самостоятельного решения
Решить уравнения:
62.
63.
64.
65.
,
,
,
,
.
.
.
.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
,
,
,
,
,
.
,
.
.
.
.
.
56
Список использованных источников
1. Агафонов, С.А. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов / С.А.
Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
– 252 с.
2. Амелькин, В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях / В.В.
Амелькин. – М.: Наука, 1987. – 160 с.
3. Вся высшая математика: учебник для вузов. В 5 т. Т.3 / М.Л. Краснов [и
др.]. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 240 с.
4. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в
примерах и задачах / А.Б. Васильева [и др.]. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 432 с.
5. Журавлев, С.Г. Дифференциальные уравнения: учеб. пособие для вузов /
С.Г. Журавлев, В.В. Аниковский. – М.: Издательство «Экзамен», 2005. – 128 с.
6. Краснов, М.Л. Вся высшая математика в задачах. Обыкновенные
дифференциальные уравнения: учебное пособие / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И.
Макаренко. – М.: Едиториал УРСС, 2002. – 256 с.
7. Пантелеев, А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и
задачах: учебное пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов. – М.: Высш.
шк., 2001. – 276 с.
8. Пономарев, К.К. Составление дифференциальных уравнений / К.К.
Пономарев. – Мн.: Вышейная школа, 1973. – 560 с.
9. Самойлено, А.М. Дифференциальные уравнения: учебное пособие / А.М.
Самойлено. – М.: Высш. шк., 1989. – 383с.
10. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения: учебник / Л.Э. Эльсгольц.
–М.: КомКнига, 2006. – 312 с.
57
Приложение А
11n
n
x
x dx C
n
1n
0dx C
ln| |dxxC
x
0x
ln
x
x
a
a dx C
a
0a
1a
xx
e dx e C
sin cosxdx x C
cos sinxdx x C
2
cos
dx
tgx C
x
2
sin
dx
ctgx C
x
22
arcsin ,
arccos ,
x
C
dx
a
x
ax
C
a
0a
22
1
arc ,
1
arcc ,
x
tg C
dx
aa
x
ax
tg C
aa
0a
2
xx
ee
chxdx dx shx C
2
xx
ee
shxdx dx chx C
2
xx
xx
dx e e
thx C C
ch x e e
2
xx
xx
dx e e
cthx C C
sh x e e
22
1
ln
2
dx a x
C
a a x
ax
22
22
lndxx x a C
xa
(справочное)
Табличные интегралы
1.
2.
3.
4.
5.
,
;
;
для произвольного интервала, не содержащего точки
,
;
,
;
;
.
.
.
.
.
6.
7.
8.
9.
10.
,
,
.
.
.
.
.
58
11.
2
2 2 2 2 2 2
ln
22
xa
x a dx x a x x a C
.
59
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]