Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка в примерах и приложениях. Методические указания
.pdf
1
lns ch t g C
.
0t, 0s
0C
1
ln .s ch t g
()mt
;t t t
t
5 t
0,2 5 tt
5 t
()mt
5 t
()
5 0,25 ( )
20
mt
t m t t
0
0t
t
0,25( ( ) )m t t
0
;t t t
t
0,25( ( ) )m t t
( ) ( )m t t m t
При начальном условии
постоянная
и в результате находим
частное решение
(3.9)
Формула (3.9) описывает изменение пройденного пути с течением времени t.
Задача 7. В сосуд, содержащий 20 л воды, непрерывно со скоростью 5 л в
минуту поступает раствор, в каждом литре которого содержится 0,2 кг соли. В
сосуде раствор перемешивается, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью.
Сколько соли будет в сосуде через 4 минуты [9]?
Решение.
1) Обозначим через
количество соли в сосуде через t минут после начала
процесса.
2) Составим дифференциальное уравнение задачи.
Вычислим, как изменится количество соли в сосуде за промежуток времени
. За время
содержится
момент t в сосуде было
раствора содержалось бы
в сосуд поступит
л раствора. В этом растворе
кг соли. За это время из сосуда вытечет
кг соли, следовательно, в
кг соли, если бы за время t
раствора. В
л вытекающего
количество соли в сосуде не изменялось. Так как за это время данное количество
соли изменится на некоторую величину (отметим, что
сосуда за время
вытечет
кг соли, где
при
.
), то из
Таким образом, в растворе, втекающем в сосуд за промежуток
содержится
кг соли, а в вытекающем за то же время –
кг соли.
,
Приращение количества соли за это время
найденных величин, т.е.
равно разности
21
( ) ( ) 0,25( ( ) )m t t m t t m t t
.
t
0t
0
0t
( ) 1 0,25 ( )m t m t
()mt
1
4
dm m
dt
1
44
dm
dt
m
1
ln 4 ln
4
m t C
ln
4
4
t
C
me
4
( ) 4
t
m t C e
0t
00m
4C
4
( ) 4 1
t
m t e
4t
1
(4) 4(1 ) 2,4me
()T T t
Разделим обе части этого равенства на
Учитывая, что
, когда
, имеем
Получили дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция
.
3) Уравнение (3.10) можно переписать в виде
уравнением с разделяющимися переменными.
4) Найдём общее решение уравнения (3.10)
Разделяя переменные, получаем
Общий интеграл уравнения имеет вид
и перейдем к пределу при
. (3.10)
. Оно является
.
.
.
Итак, получили общее решение дифференциального уравнения задачи.
5) Так как в момент
соли в сосуде не было, т.е.
, то
.
Итак, количество соли в сосуде со временем изменяется по закону
.
6) В момент
в сосуде будет
кг.
Задача 8. Цилиндрическая катушка изготовлена из медной проволоки. При
прохождении через катушку электрического тока выделяется теплота. Вывести
формулу для температуры
установившегося режима как функции времени t
[9].
22
Решение.
0
T
0
(0)TT
t
qt
T
cV T
0
()kS T T t
0
T
Sи t
0
()q t cV T kS T T t
t
0t
0
()
dT
q cV k T T
dt
0
()
dT
TT
dt
kS
cV
q
cV
0
1
lnt C T T
0
(0)TT
1
lnC
0
11
ln lnt T T
0
t
T T e
0
(1 )
t
T T e
1) Пусть
– температура среды, в которой находится катушка;
; с –
удельная теплоемкость меди; – ее плотность; V – объем; q – количество теплоты,
выделяемое на протяжении единицы времени; k – коэффициент теплопроводности.
2) Количество теплоты, выделяемое за время
состоит из двух частей: теплоты, которая идет на повышение температуры
теплоты, уходящей в среду, окружающую катушку. Первая часть равна
вторая –
температур T и
катушки и среды, а также величинам
(количество этой теплоты пропорционально разности
, равно
); отсюда
. Эта величина
, и
, а
.
Разделив обе части последнего равенства на
и переходя к пределу при
, получим дифференциальное уравнение
или
где
,
,
.
3) Получили уравнение с разделяющимися переменными.
4) Разделяя переменные и интегрируя, получим общий интеграл уравнения:
.
5) Так как
, то
; поэтому
Отсюда
.
,
23
.
Окончательно получаем искомую зависимость
0
( ) 1
kS
t
cV
q
T t T e
kS
90
0
()S S t
(0) 1600S
12 2500S
dS
krQ
dt
cosQS
()t
at b
(0)
2
(6) 0
(1 2)
2
12
a
2
b
( 6)
12
t
cos ( 6)
12
Q S t
S
r
.
Задача 9. Скорость увеличения площади молодого листа виктории-регии,
имеющего форму круга, пропорциональна радиусу листа и количеству солнечного
света, падающего на него. Количество солнечного света пропорционально площади
листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикалью к листу. Найти
зависимость между площадью s листа и временем t, если в 6 ч утра эта площадь
составляла 1600 см2, а в 18 ч того же дня 2500 см
направлением луча солнца и вертикалью в 6 ч утра и в 18 ч равен
2
. Принять, что угол между
, а в полдень –
[8].
Решение.
1) Пусть
времени взять 6 ч утра, то
2) Скорость роста листа
– площадь листа в момент времени t. Если за начало отсчета
, а
(площадь листа в 18 ч).
, где k – коэффициент пропорциональности;
r – радиус листа; Q – количество солнечного света.
По условию,
, где - коэффициент пропорциональности; –
угол между направлением солнечного луча и вертикалью к листу. Угол
является линейной возрастающей функцией времени:
Из указанных условий находим
образом,
Поскольку радиус листа
,
,
,
,
, т.е.
.
. Таким
.
, то получаем дифференциальное уравнение
24
cos ( 6)
12
dS k
S S t
dt
3) Найденное уравнение является дифференциальным уравнением с
2 12
sin ( 6)
12
k
tC
S
(0) 1600S, (12) 2500S
9
20
C
2400
k
2 1 9
sin ( 6)
200 12 200
S
2
160000
()
9 sin 6
12
St
t
22
(1 ) (1 ) 0y dx x dy
sin cos 0y x y x
1
2
y
22
1 1 0x y dx y x
xy
ye
32
sin (1 )cos 0
xx
e y e y y
sin( ) sin( )y x y x y
()
2
y
разделяющимися переменными.
4) Находим общий интеграл:
.
.
или
5) Из условий
находим
,
.
Подставляя эти значения в общий интеграл уравнения, получим
,
.
Задания для самостоятельного выполнения
Решить уравнения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
,
,
,
,
,
,
,
.
25
7. Найти такую кривую, проходящую через точку
(0, 2)
0
200v
1
80v
0
Т
0
20
0
60
0
30
1
3
, чтобы угловой
коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки,
увеличенной в три раза.
8. Материальная точка массой 1г движется прямолинейно под действием
силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента t=0, и
обратно пропорциональной скорости движения точки. В момент t=10 c скорость
равнялась 50 см/c, а сила 4дин. Какова будет скорость спустя минуту после начала
движения?
9. Пуля входит в доску толщиной h=10см со скоростью
вылетает из доски, пробив ее, со скоростью
м/c. Считая, что сила
м/c, и
сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости
движения, найти время движения пули через доску.
10. Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления
воды, которая пропорциональна скорости корабля. Начальная скорость корабля
10м/c, скорость его через 5с станет 8 м/c. Когда скорость уменьшится до 1м/c?
11. По закону Ньютона скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе
пропорциональна разности между температурой Т тела и температурой воздуха
Если температура воздуха равна
до
С, то через сколько времени его температура понизится до
С и тело в течение 20 мин охлаждается от 100
С?
12. Определить путь S, пройденный телом за время t, если его скорость
.
пропорциональна проходимому пути и если тело проходит 100 м в 10 с и 200 м в 15
с.
13. Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто солью. Допуская.
Что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией в
данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли на 3 л воды) и
что данное количество чистой воды растворяет
кг соли в 1минуту, найти, сколько
соли будет содержать раствор по истечении 1 часа.
26
14. Некоторое количество нерастворимого вещества содержит в своих порах
0
20
0
0
2
kv
10 кг соли. Подвергая его действию 90 л воды, нашли, что в течение 1 часа
растворилась половина содержащейся в нем соли. Сколько соли растворилось бы в
течение того же времени, если бы количество воды было удвоено? Скорость
растворения пропорциональна количеству еще нерастворенной соли и разности
между концентрацией раствора в данный момент и концентрацией насыщенного
раствора (1 кг соли на 3 л воды).
15. Некоторое количество нерастворимого вещества, содержащее в своих
порах 2 кг соли, подвергается действию 30 л воды. Через 5 мин 1 кг соли
растворяется. Через сколько времени растворится 99% первоначального количества
соли?
16. Кирпичная стена имеет толщину 30 см. Найти зависимость температуры от
расстояния точки от наружной поверхности стены, если температура равна
внутренней и
С на внешней поверхности стены. Найти также количество тепла,
С на
которое стена (на 1 кв. см.) отдает наружу в течение суток.
17. Имеется некоторое количество радиоактивного вещества. Известно, что
через 30 дней распадается 50% этого вещества. Через сколько дней останется 1%
начального количества вещества?
18. Через 12 ч после начала опыта численность некоторой популяции бактерий
увеличилась в 3 раза. Во сколько раз увеличится число бактерий через 3 суток?
19. Ракета пущена вертикально вверх с начальной скоростью 100 м/c.
Сопротивление воздуха замедляет ее движение, сообщая ракете отрицательное
ускорение, пропорциональное квадрату ее скорости
. Определить время
достижения ракетой наивысшего положения.
20. Ветер, проходя через лес и испытывая сопротивление деревьев, теряет
скорость. На бесконечно малом пути эта потеря пропорциональна скорости ветра в
начале этого пути и его длине. Найти скорость ветра, прошедшего в лесу 150 м,
зная, что начальная его скорость была 12 м/c; после прохождения в лесу пути S=1м
скорость уменьшилась до 11,8 м/c.
27
4 Однородные уравнения и приводящиеся к ним
( , )f x y
( , ) ( , )
n
f tx ty t f x y
3 3 2
( , ) 2 7f x y x y xy
3 3 2 3 3 3 2 3
( , ) ( ) 2( ) 7( )( ) ( 2 7 ) ( , )f t ty tx ty tx ty t x y xy t f x y
22
2
5
( , )
2
xy
f x y
x xy
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 5( ) ( 5 ) 5
( , ) ( , )
( ) 2( )( ) ( 2 ) 2
tx ty t x y x y
f tx ty f x y
tx tx ty t x xy x xy
( , )
dy
f x y
dx
( , )f x y
dy y
dx x
y
u
x
()
du
x u u
dx
y ux
Определение 4.1. Функция
называется однородной функцией своих
аргументов измерения n, если справедливо тождество
Например, функция
является однородной функцией
третьего измерения, так как
При n=0 имеем однородную функцию нулевого измерения. Например,
является однородной функцией нулевого измерения, так как
Определение 4.2. Дифференциальное уравнение вида
однородным относительно x и y, если
является однородной функцией своих
.
.
.
называется
аргументов нулевого измерения.
Однородное уравнение всегда можно представить в виде
Вводя новую искомую функцию
, уравнение (4.1) можно привести к
(4.1)
уравнению с разделяющимися переменными:
(4.2)
Замечание 4.1. При решении однородных уравнений не обязательно
приводить их к виду (4.1). Можно сразу делать подстановку
Замечание 4.2. Уравнение вида
.
28
dx x
dy y
(4.3)
x
u
y
1 1 1
dy ax by c
f
dx a x b y c
1 1 1
, , , , ,a b c a b c
()fu
u
1
0cc
1
,cc
11
0
ab
ab
u
xu
yv
1 1 1 1 1
dv au bv a b c
f
du a u b v a b c
1 1 1
0,
0
a b c
a b c
0
11
dv au bv
f
du a u b v
u
x
y
также является однородным дифференциальным уравнением первого порядка,
которое решается заменой
.
Определение 4.3. Дифференциальное уравнения вида
, (4.4)
где
– постоянные, а
– непрерывная функция своего аргумента
, называется дифференциальным уравнением, приводящимся к однородному.
Нахождение решения уравнения (4.4).
1) При
2) Пусть хотя бы одно из чисел
уравнение (4.4) уже является однородным.
отлично от нуля и определитель
.
Вводя новые переменные
и v по формулам
,
пока неопределенные постоянные, приведем уравнение (4.4) к виду
.
Выбирая и как решение системы линейных уравнений
, (4.5)
получаем однородное уравнение
.
Найдя его общий интеграл и заменив в нем
на
, v на
общий интеграл уравнения (4.4).
, где и -
, получаем
29
3) Пусть хотя бы одно из чисел
1
,cc
11
0
ab
ab
11
ab
ab
1
dy ax by c
f
dx ax by c
z ax by
.
отлично от нуля и определитель
Система (4.5) в этом случае не имеет решений, но
следовательно, уравнение (4.4) имеет вид
.
Подстановка
приводит его к уравнению с разделяющимися
переменными.
Задача 10. Найти форму зеркала, собирающего пучок параллельно падающих
на него лучей в одну точку [3].
Решение.
1. Зеркало должно иметь форму поверхности вращения, так как только для
поверхности вращения все нормали к поверхности проходят через ось вращения.
, и,
Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы лучи были
параллельны оси Ox и чтобы точкой, в которой собирались бы отраженные лучи,
явилось бы начало координат.
Рисунок 2 – Рисунок задачи 10
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]