Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Напряженно-деформированное состояние и теории прочности деформируемого твердого тела. Учебное пособие
.pdf
Приравнивая выражения Ф и Ф
[
]
σ
σ
τ
τ
σ
σ
σ
σ
,
которые приведены на рис
ЭКВ
. 43, по-
лучаем
:
I
ЭКВ
=
σσ
. (64)
MAX
Условие прочности будет сформулировано в виде
I
ЭКВ
MAX
Наибольшее нормальное напряжение
σσσ
≤=
. (65)
(
главное напряжение) записать
аналитически для общего случая довольно трудно
τ
yz
z
zy
y
z
τ
yz
zy
ЭКВ
:
.
ЭКВ
y
Рис
Если ограничиться рассмотрением случая плоского напряжённого со
стояния
(
рис
. 44), то
для его определения нужно воспользоваться формулой
(33):
I
ЭКВ
σσ
MAX
==
Опыты показывают, что данная гипотеза является наилучшей при опи
сании прочности хрупких материалов
. 44
-
+
+
−
zyzy
22
2
τ
+
yz
(66)
2
σσσσ
-
.
61
16. ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ ПРОДОЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
σσσ
σσσ
≥
≥
E
===
σσσ
σ
E
σ
(Вторая)
Разрушение произойдёт, когда наибольшая продольная деформация при сложном напряжённом состоянии достигнет того же значения,
при котором происходит разрушение материала в условиях ЦРС
.
Опыты показывают, что данная гипотеза плохо описывает прочность
большинства традиционных материалов
.
Однако, в последнее время было
обнаружено, что её можно использовать при расчёте прочности некоторых
композитных материалов
.
Пусть напряжённое состояние описывается тремя главными напряже
ниями (рис
. 45)
,,
,
321
причём
.
321
Величину наибольшей продольной деформации можно получить из
обобщённого закона Гука
(8):
1
( )( )
σσνσε
+−==Φ
(67)
3211
-
В случае ЦРС (рис
ЭКВ
. 45)
=Φ
ЭКВ
ЭКВ
. (68)
0,0,
, и
321
тогда
62
I
1
σ
3
σ
2
σ
I
I
I
I
I
σ
σ
E
E
(
)
(
)
[
]
ЭКВ
ЭКВ
1
Приравнивая выражения Ф и Ф
II
ЭКВ
Условие прочности будет сформулировано в виде
II
ЭКВ
17. ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
( )( )
σσνσε
+−==Φ
3211
Рис
.45
,
ЭКВ
σσνσσ
+−=
321
ЭКВ
получаем, что по второй гипотезе
. (69)
:
σσσνσσ
≤+−=
321
. (70)
1
σ
=Φ
ЭКВ
(Третья)
Разрушение произойдёт, когда наибольшее касательное напряже-
ние при сложном напряжённом состоянии достигнет того же значения,
при котором происходит разрушение материала в условиях ЦРС
63
.
Известно, что наибольшие касательные напряжения равны половине
2
σ
σ
−
2
σ
2
2
σσσ
σ
−=−
2
2
σ
σ
σ
2
σ
°
σ
σ
σ
°
σ
разности наибольшего и наименьшего главных напряжений, то есть величину
наибольшего касательного напряжения можно получить по формуле
MINMAX
(71)
0,0,
===
ЭКВ
σσσσ
321
, и
тогда
. (72)
,
получаем, что по третьей гипотезе
ЭКВ
σσσ
−=
. (73)
31
ЭКВ
=Φ
ЭКВ
=Φ
В случае ЦРС
Приравнивая выражения Ф и Ф
III
ЭКВ
Условие прочности будет сформулировано в виде
III
.
ЭКВ
σ
3
45
1
τ
MAX
σ
=Φ
3
σσσ
−=
1
31 MINMAX
’“0
31
”
(40)
τ
MAX
ЭКВ
ЭКВ
ЭКВ
:
45
1 ЭКВ
ЭКВ
==Φ
Рис
.46
64
Если ограничиться случаем плоского напряжённого состояния
(
)
[
]
,
наибольшие касательные напряжения можно получить по формуле
2
σσ
−
yz
2
ЭКВ
2
2
4
zyyz
2
τ
+
≤+−=
(74)
zy
получим, что условие прочности
[ ]
στσσσ
(75)
В этом случае, приравнивая Ф и Ф
примет вид
τ
MAX
==Φ
III
ЭКВ
(20):
В случае, когда присутствует только одно нормальное напряжение, как
например, в стенке двутавровой балки, условие прочности ещё упростится
,
:
III
ЭКВ
22
στσσ
≤+=
4
zyz
(76)
В научной и учебной литературе теория наибольших касательных
напряжений часто связывается с именами Треска и Генки
Теория наибольших касательных напряжений очень хорошо описывает
.
прочность материалов, обладающих выраженными пластическими свойства
ми
, (
например, таких как малоуглеродистая сталь
).
18. ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШЕЙ ЭНЕРГИИ ИЗМЕНЕНИЯ ФОРМЫ
(Четвёртая)
Разрушение произойдёт, когда удельная энергия изменения формы
при сложном напряжённом состоянии достигнет того же значения, при
-
котором происходит разрушение материала в условиях ЦРС
.
65
Приходящаяся на единицу объёма энергия деформации (удельная энер
(
)
[
]
6
ν
+
E
===
σσσ
σ
(
)
ν
E
3
+
-
гия деформации) разделяется на две части
где
а
E
E
v
f
Опыты американского учёного Бриджмена, по результатам которых он
получил в
-
часть энергии, расходуемая на изменение объёма
-
часть энергии, расходуемая на изменение формы
1946
году Нобелевскую премию, показали, что изменение объёма
EEE +=
, (77)
fv
практически не влияет на прочность пластичных материалов
Если считать, что удельная энергия формоизменения является основ
:
,
.
.
ным разрушающим фактором, и выразить её через главные напряжения, то
мы получим, что
E
1
==Φ
f
( ) ( ) ( )
2
21
2
32
2
σσσσσσ
−+−+−
(78)
13
-
Поскольку при ЦРС
1
IV
ЭКВ
=Φ
1
Приравнивая выражения Ф и Ф
тической) гипотезе
ЭКВ
,
получаем, что по четвёртой (энерге
ЭКВ
σ
2
ЭКВЭКВ
(79)
( ) ( ) ( )
2
21
2
32
0,0,
321
−+−+−=
, то
σσσσσσσ
. (80)
13
2
В условиях плоского напряжённого состояния (рис
напряжение может быть выражено через компоненты напряжений, и условие
прочности будет выглядеть следующим образом
:
66
. 13)
эквивалентное
-
[
]
IV
σ
τ
τ
σ
σ
τ
[
]
ЭКВ
222
στσσσσσ
≤+−+=
3
zyyzyz
yz
(81)
z
τ
zy
yz
Рис
.47
При наличии только двух компонент напряжений
что очень часто имеет место при проведении практических расчётов, получим
следующее выражение
IV
ЭКВ
:
22
στσσ
≤+=
3
zyz
z
τ
zy
и
z
(82)
zy
(
рис
. 47),
В научной и учебной литературе энергетическая теория часто связыва
ется с именем Мизеса
дится встречать выражение «эквивалентное напряжение по Мизесу
Считается, что теория Мизеса наилучшим образом подходит для метал
лических, в первую очередь стальных, конструкций
.
Даже в программах по расчёту конструкций прихо
.
67
-
-
».
-
19. ПРИМЕРЫ РАСЧЁТОВ НА ПРОЧНОСТЬ С ИСПОЛЬЗОВАНИ-
a
=
F
R
R
=
=
[
]
МПа
=
σ
=
ЕМ ТЕОРИЙ ПРОЧНОСТИ
ПРИМЕР 1
?
q
Определить допускаемую
величину распределённой
нагрузки q.
Расчёт выполнить с
использованием 4-й
(энергетической) теории
a2
прочности.
Поперечное сечение
Дано:
мa 1
160
Рис
.48
РЕШЕНИЕ
•
Определяем геометрические характеристики сечения
<•k/6,+sr/
#
•k
•
a,6sr#
a
кНF 200
смR 8
•
Строим эпюры внутренних сил и находим положение опасного сечения
Опасное сечение находится в заделке, где действуют наибольший изги
бающий момент и наибольшая поперечная сила (рис
68
. 49).
.
-
?
=
F
=
a
F
FR
q
RFM
a2
N
qa2
Q
y
2
2qaFR +
Рис
.49
•
Определяем внутренние силы в опасном сечении (рис
>[6,,ef
E[k6g@/6,,\n6g\+,,/+d,,6,,,,g
B6g@6,,g
•
Вычисляем наибольшие напряжения от каждого из усилий
>
0
>
<
6,,
6,+
c+
ef
sr
/
. 49):
M
x
:
0
E
{
€
"–!!:/!!!!—
|
|
Š!!
= 4 +50q,
69
B
y
x
B
A
2
(
)
(
)
τ
(
)
σ
a
3
5
•
Строим эпюры напряжений по высоте сечения
<
a
5
6,,g
\
6,,
+55g
(
рис
.50)
AN
C
N
σ
z
Рис
•
Вычисляем напряжения и находим решения, исходя из условий прочно
сти, записанных для опасных точек
Точка В (набольшие нормальные напряжения
.50
:
WM
xx
Q
3
y
WM
xx
M
xz
Q
yzy
)
-
00
3,
>
0
E
+am,˜mm,˜
Условие прочности по нормальным напряжениям
0’“0
”
,
xPxmm,g’+d
Откуда из условия прочности в точке В получаем
g’
""
,66
™!
ef
sr
66
ef
r
.
70
,
:
,
:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]