Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Напряженно-деформированное состояние и теории прочности деформируемого твердого тела. Учебное пособие
.pdf
Напряжения в точке поперечного сечения стержня
x
y
y
x
z
σ
τ
x
y
y
x
z
σ
τ
лом
C
dA
zx
τ
z
Знаки напряжений выбираются в соответствии со следующим прави
:
ПРАВИЛО ЗНАКОВ для напряжений
Напряжение считается положительным, если направление напряжения
τ
zy
p
z
z
Рис
. 22
dA
zx
τ
C
z
zy
-
и направление нормали к площадке одновременно совпадают, или одновре-
менно не совпадают с положительными направлениями соответствующих
осей. Если один из векторов направлен в положительном направлении оси, а
другой в отрицательном направлении оси, то в этом случае напряжение будет
отрицательным
.
31
11. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖ-
НЯ
Напряжения, распределённые по поперечному сечению, как и любую
другую систему сил, можно с помощью основной теоремы статики привести
к заданному центру, заменив её одной силой и одной парой. Приведём
напряжения к центру тяжести поперечного сечения
.
Спроецировав напряжения на координатные оси и просуммировав про
екции, получим три компоненты главного вектора (рис
. 23 и 24).
>?0<@
B?3<C
B?3<D
A
A
A
(37)
Суммируя моменты напряжений относительно осей, проходящих через
-
центр тяжести поперечного сечения, получим три компоненты главного мо
мента (рис
. 23 и 24).
E?0FF<@
E?0FF<C
E
A
A
3F.3F%F<D
$
?
A
(38)
Интегралы
EEE
–
>BB
называют внутренними силами, а интегралы
внутренними моментами. Все шесть величин принято
(не со-
всем корректно) называть внутренними силами. Используется также термин
усилие
.
32
-
Обозначение Название
>
B
B
E
E
E
G
>B
B
E
E
E
Единица
измерения
Усилия
Внутренние
силы
Внутренние
моменты
ПРАВИЛО ЗНАКОВ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ СИЛ
Продольная сила
кН
у
Поперечная сила
Поперечная сила
Изгибающий момент
Изгибающий момент
Крутящий момент
или
кН
кН
кН·м
кН·м
кН·м
ПРАВИЛО ЗНАКОВ для внут
ренних сил
Правило полностью совпадает с
правилом знаков для напряжений
.
Продольная сила и поперечные силы
считаются положительными, если
направление силы и направление
нормали к площадке одновременно
совпадают, или одновременно не сов
падают с положительными направле
ниями соответствующих осей.
-
ПРАВИЛО ЗНАКОВ для внут
ренних моментов
Изгибающие моменты считаются
положительными, если вызывают
растяжение в первой четверти попе
речного сечения. Крутящий момент
считается положительным, если дей
ствует против часовой стрелки при
-
взгляде на сечение со стороны внеш
-
ней нормали, что соответствует «пра
вилу правого винта
».
-
-
-
-
-
33
x
y
z
x
y
Левая часть
z
x
y
z
x
y
z
F
2
M
x
M
С
С
y
N
Q
N
x
Q
y
Q
M
x
С
M
z
Правая часть
F
4
y
M
Q
y
x
С
F
1
M
z
F
3
Рис
. 23
Левая часть
F
2
Главный
момент
С
F
1
Главный
вектор
Главный
момент
Главный
вектор
С
Правая часть
F
4
F
3
Рис
. 24
34
Виды сопротивления (виды деформаций стержня)
>
B
B
E
E
E
В общем случае в поперечном сечении стержня может возникать шесть
внутренних силовых факторов (внутренних сил
).
Одновременное их появле
ние в поперечном сечении наблюдается достаточно редко. Гораздо чаще в
поперечных сечениях присутствует одно или два усилия, в то время как
остальные внутренние силы равны нулю
.
Деформации стержня под действием того или иного набора внутренних
сил называются видом сопротивления. Виды сопротивления разделяют на
две группы. В первую группу входят виды сопротивления, при которых в се
чениях присутствует только одно усилие. Такие виды сопротивления назы
ваются простыми. Виды сопротивления, при которых в сечении присутству
ют два или более двух усилий называются сложными
Простых видов сопротивления четыре
:
.
-
-
-
-
Простые виды сопротивления Внутренняя сила (усилие)
№
1
Центральное растяжение-сжатие
2
3
Чистый изгиб
4
(
ЦРС
)
Сдвиг
Кручение
или
или
35
Все остальные следует отнести к сложным видам сопротивления
HI
J
K
HK
J
I
LJK
J
I
LJ
K
LJ
I
HIJKHKJ
I
LJ
M
L
JKJIHKHIJ
M
Внутренние силы
№ Сложные виды сопротивления
(усилия)
:
5
6
7
8
…
Прямой поперечный изгиб
Внецентренное растяжение-сжатие
(
ВЦРС
Косой или сложный изгиб
ЦРС с кручением
Другие сочетания
)
Общий вид сложного сопротивления
Усилия при нагружении стержня в одной плоскости
или
или
…
или
Расчётные схемы для большинства строительных конструкций могут
быть представлены на плоскости
.
Когда все действующие на стержень силы лежат в одной плоскости, ряд
усилий тождественно обращается в ноль. При действии сил в вертикальной
плоскости не равны нулю только три усилия
:
>BE
Положительные
направления этих усилий для левой и правой частей стержня показаны на рис
25.
36
.
Левая часть
y
x
zyz
x
Правая часть
Q
F
2
M
x
M
x
y
N
F
1
Q
y
Рис
Правило знаков здесь можно сформулировать менее строго, но более
понятно
.
Усилие N > 0, если вызывает растяжение в поперечном сечении стерж
ня (направлено «от сечения
Усилие HI> 0
,
если
»).
(
совместно с внешней нагрузкой) стремится по
вернуть отсеченную часть стержня по ходу часовой стрелки
N
. 25
F
4
F
3
-
-
.
Усилие JK> 0
изгибая стержень выпуклостью вниз
,
если вызывает растяжение в нижних волокнах стержня
.
Определение внутренних сил методом сечений
Для определения усилий применяют МЕТОД СЕЧЕНИЙ, суть которо
го заключается в последовательном выполнении четырёх операций
1.
Надо мысленно рассечь стержень на две части (правую и левую
2.
Отбросить либо левую, либо правую часть
3.
Заменить действие отброшенной части стержня на оставшуюся часть
неизвестными внутренними силами
4.
Составить для оставшейся части стержня необходимые уравнения рав
.
новесия и, решив их, найти неизвестные внутренние силы
.
.
,
-
:
).
-
37
Уравнения равновесия позволяют выразить внутренние силы через располо
-
женные по одну сторону от рассматриваемого сечения внешние силы
Из уравнения ∑
ет, что продольная сила
на ось
на ось
z
всех сил, приложенных к левой части стержня, или сумме проекций
z
всех сил, приложенных к правой части стержня
Обозначая проекции внешних сил как
>.O
PQRN
Из уравнения ∑у
что продольная сила
O
= 0,
B
Z
= 0,
записанного для одной из частей стержня, следу
N
равна взятой с обратным знаком сумме проекций
.
N
,
STURN
запишем
(39)
записанного для одной из частей стержня, следует
равна взятой с обратным знаком сумме проекций на
.
ось у всех сил, приложенных к левой части стержня, или сумме проекций на
ось
z
всех сил, приложенных к правой части стержня
.
-
,
Обозначая проекции внешних сил как
B.O
PQRN
Из уравнения
O
OV,
STURN
(40)
,
записанного для одной из частей стержня, следу
N
,
запишем
ет, что изгибающий момент равен, взятой с обратным знаком, сумме момен
тов относительно оси х (проходящей через центр тяжести рассматриваемого
сечения) всех сил, приложенных к левой части стержня или сумме моментов
относительно оси х всех сил, приложенных к правой части стержня
Обозначая моменты нагрузок как
E.O
VWVNO
PQR
VWVN
STUR
momx (P)
,
запишем
. (41)
.
-
-
38
Пример применения метода сечений.
°
Брус, закреплённый на шарнирных опорах, загружен внешними силами
изображенными на рис
середине пролета
H
A
R
.
A
q = 10 кН/м
Решение.
. 26.
4 м
Определить усилия в сечении, расположенном в
1 м
2 м
F = 40 кН
30
3 м
M = 30 кНм
R
B
Рис
. 26
,
Определяем опорные реакции
5
OX,YZA.[\]^_5,`,YZAa,
b
c5adef
6
`
OVA,Y.g\a\6.[\_hi5,
\j.Ekl\+,,
+
kl
+,\a\6a,\,m\j5,6mef
+,
`
OVl,Y.kA+,g\a\n[\_hi5,
\5.E,
+
ko
+,\a\na,\,m\5.5,5mef
+,
Проверяем правильность определения
реакцийk
И
k
o
:
l
Opkokl.g\a.[\_hi5,q5m6m.+,\a.a,\,md,.d,
,
39
Левая часть Правая часть
y
x
z
y
z
x
°
а б
10 кН/м
34.6 кН
M
x
N
N
M
Q
y
x
40 кН
30 кНм
30
35 кН
4 м 1 м
Определим внутренние силы N, H
Q
Рис
y
2 м 3 м
. 27
, Мх, используя для этого метод се-
I
чений.
• Рассечем стержень в середине пролета
• Отбросим правую часть стержня (рис
.
. 27, а).
• Действие правой части стержня на левую заменим неизвестными внут
ренними силами, считая их положительными
.
• Для левой части стержня составим три уравнения равновесия, из кото
25 кН
-
-
рых найдем три неизвестных усилия
OX,Y>5ad,Y
Op,YB+,\a.5m,YB.mef
OV,Y+,\a\5.5m\mE,Y
E.+6,+jmmmefr
.
N
= – 34,6 кН (
сжатие
TUstuvQwxQRwxvwxyR`P`ewUy
).
Покажем, что результат не зависит от того, для какой части стержня со
ставляются уравнения равновесия. Для этого рассмотрим равновесие правой
части (рис
. 27, б),
40
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]