Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Напряженно-деформированное состояние и теории прочности деформируемого твердого тела. Учебное пособие
.pdf
a) Плоское напряжённое состояние, как правило, возникает в тонко-
σ
σ
τ
τ
σ
σ
x
y
z
q
F
стенных элементах металлических конструкций. В условиях плоского
напряжённого состояния, например, находятся стенки стальных двутавровых балок.
y
yz
dV
Рис. 13
В этом случае напряжения на двух параллельных гранях объёма обращаются в ноль (рис. 13) и тензор напряжений приобретает следующий вид:
z
τ
zy
yz
τ
y
000
0
=
0
τσσ
yzyij
στ
zzy
(26)
z
zy
Сдвиг (рис.14) является частным случаем плоского напряжённого со-
стояния.
21
τ
τ
yz
τ
τ
zy
yz
Рис. 14
Тензор напряжений в этом случае приобретает следующий вид:
000
=
00
τσ
yzij
τ
00
zy
(27)
zy
b)
Плоская деформация возникает, как правило, в протяжённых или
имеющих значительную толщину конструкциях, у которых геометрия и способ приложения нагрузки вдоль одной из осей (на рис. 15 это ось х) не меняется.
22
x
y
z
∆
Рис. 15
c)
В качестве примера на рис. 15 изображена плотина, в теле которой лю-
бой фрагмент ∆, выделенный двумя перпендикулярными к оси х плоскостями, не изменяет своей толщины. Следовательно, линейная деформация по
этому направлению будут равна нулю, и тензор деформаций приобретёт следующий вид:
000
0
Нормальные напряжения, возникающие при этом в направлении оси х,
легко находятся из обобщённого закона Гука (8).
Одноосное напряжённо-деформированное состояние
Этот вид НДС возникает при ЦРС (центральное растяжение-сжатие),
при чистом изгибе и при внецентренном растяжении-сжатии (рис. 16).
=
1
0
2
1
2
εγ
23
γεε
yzyij
(28)
zzy
z
σ
σ
Рис. 16
Тензор напряжений в этом случае вырождается к виду
z
000
σ
=
9. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ
Плоское напряжённое состояние встречается очень часто, поскольку
реализуется в тонкостенных элементах металлических конструкций. Этот
важный вид НДС заслуживает отдельного и более внимательного рассмотрения.
Напряжения в наклонных площадках
Рассмотрим бесконечно малый объем, находящийся в условиях плоского напряжённого состояния (рис. 16,а). Поскольку плоское напряжённое состояние имеет место в стенках стальных балок, выберем систему координат
ij
000
(29)
σ
00
z
так, как это делаем при рассмотрении балок, то есть направив ось z – вдоль
оси стержня, а ось y – вниз.
Будем считать, что компоненты тензора напряжений известны. Рассе-
чём объём плоскостью, наклонённой к вертикали под углом α. Напряжения
24
на наклонной грани отсечённой треугольной призмы
τ
σ
α
α
σ
σ
τ
τ
τ
τ
σ
σ
y
z
τ
τ
σ
σ
d
A
α
⋅
α
⋅
σ
τ
n
t
Неизвестные напряжения можно найти из уравнений равновесия призмы.
,
неизвестны.
αα
Если площадь наклонной грани призмы обозначить
других граней будут равны
соответствующие площади, получим силы, действующие на гранях призмы
y
yz
zy
z
yz
y
cosdA
и
z
zy
sindA
.
Умножив напряжения на
zy
z
dA
, то площади
α
dA
cos
sin
dA
y
α
yz
.
Рис
. 17
Чтобы получить уравнения равновесия можно спроецировать силы
действующие на гранях призмы, на направления нормалей
лученных проекций приравнять к нулю. Рекомендуем проделать эти опера
ции самостоятельно
Из уравнений равновесия получим следующие выражения для напря
жений, действующих в наклонной площадке
.
:
25
n, t и
суммы по
,
-
-
-
2
22
α
α
α
=
2
−
σ
σ
τ
(
)
α
σ
σ
σ
−+=
α
yzyz
ατασασσ
)(,2sinsincos
a
τ
=
α
σσ
−
yz
+
yz
ατα
(30)
)(.2cos2sin
b
Главные напряжения и главные площадки
ся главными. Чтобы найти, на какой угол
Площадки, в которых касательные напряжения равны нулю, называют
надо повернуть исходную си
0
стему координат, чтобы получить главные площадки, приравняем к нулю вы
ражение, стоящее в правой части
yz
откуда найдём, что
(30,b )
yz
при
,02cos2sin
=+
ατα
00
(31)
.
Получим уравнение
0
-
-
-
2
yz
tg
Решение
2
α
0
(32)
=
определяет положение двух взаимно перпендикулярных
.
(32)
σσ
−
zy
нормалей к главным площадкам. Можно убедиться в том, что если исследо
вать на экстремум функцию
α
(30, а),
приравняв к нулю её первую про
изводную, то мы получим такой же результат. Это говорит о том, нормальные
напряжения в главных площадках достигают экстремальных значений. В од
ной площадке нормальное напряжение оказывается наибольшим (по сравне
нию со всеми другими площадками, проходящими через данную точку
). В
другой площадке при этом нормальное напряжение будет наименьшим. Со
ответственно будем обозначать их
,
(
рис
MINMAX
. 18).
-
-
-
-
-
Найти их можно по следующим формулам
:
26
σ
(
)
α
τ
α
τ
σ
σ
τ
τ
σ
y
z
σ
σ
MAX
σ
MAX
σ
I
II
σ
MAX
σ
°
°
45
σ
MAX
τ
−=⋅
α
α
σ
MAX
MIN
=
=
=
+
±
−
zyzy
22
2
τ
+
(33)
yz
2
σσσσ
Аналогичным образом можно исследовать на экстремум функцию
(30,
b
).
α
Выяснится, что касательные напряжения экстремальны в
площадках, положение которых
2
z
zy
MIN
tg
α
2
σ
=
τ
y
τ
yz
y
yz
−
yz
σσ
yz
MIN
τ
zy
определяется из уравнения
τ
. (34)
z
45
45
MIN
Рис
. 18
Легко заметить, что
tgtg
0
122
τ
.
Рис
. 19
Это говорит о взаимной перпендикулярности направлений, то есть
αααα
00
ττ
°=−°=− 45,9022
.
27
:
Сделаем следующий вывод: площадки, в которых касательные напря
°
τ
τ
−
=
σσσ
σσσ
≥
≥
===
σσσσσ
<
>
σ
σ
<
<
σ
σ
σσσσσ
===
-
жения достигают экстремальных значений
площадкам под углом
.
45
Касательные напряжения в этих площадках находятся по формулам
2
σσ
τ
τ
MAX
MIN
=
=
Очевидно, что
±=
−
zy
2
.
MINMAX
+
(
рис
.19),
2
τ
yz
(35)
наклонены к главным
:
В тех случаях, когда надо сформировать тензор напряжений, следует
помнить, что существуют еще две грани, в которых все напряжения равны
нулю. То есть, есть еще третье главное напряжение, которое равно нулю
Поскольку три главных напряжения
.
, то
321
возможны следующие варианты компоновки тензора напря
,,
упорядочены, то есть
321
.
-
жений
а
)
б
)
в
)
:
Тогда
Тогда
Тогда
σσ
MINMAX
MINMAX
MINMAX
.0,0 >>
σ
0,,
MINMAX
.0,0
321
σ
σσσσσ
,0,
,,0
===
321
.0,0
321
MINMAX
MINMAX
σ
MAX
=
ij
σ
MIN
00
00
000
σ
MAX
=
ij
00
σ
00
000
MIN
000
σ
00
MIN
=
σσ
MAXij
00
28
10. НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЯ
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Рассмотрим стержень, загруженный произвольной совокупностью
внешних сил (рис
. 20).
Для определения сил, возникающих при этом внутри
стержня, используем следующий приём: мысленно разделим стержень на две
части, которые условно назовем ЛЕВОЙ и ПРАВОЙ (рис
.21).
Рис
. 20
Левая часть
F
2
F
1
Правая часть
F
4
F
3
Рис
. 21
29
Распределённые по всему поперечному сечению силы взаимодействия
частей стержня, как известно, равны по величине и противоположны по
направлению (рис
стен
.
Выберем в поперечном сечении бесконечно малую площадку
ординатами
и (
следовательно, полное напряжение на площадке будет иметь обозначение
. 21).
рис
Закон распределения этих сил в общем случае неизве
< с ко-
. 22).
Нормаль к площадке будет параллельна оси
, и,
=
Спроецируем полное напряжение на нормаль, а затем на плоскость попереч
ного сечения. Получим нормальное напряжение
3
.
Далее касательное напряжение
.
Получим две компоненты касательного напряжения
В
результате в каждой точке поперечного сечения будем иметь одно
нормальное напряжение
0
и
3
разложим по координатным осям
два касательных напряжения
0
и касательное напряжение
3
и
3
.
3
и
3
.
и
-
.
-
Очевидно, что
Обратим внимание на индексы. Индекс нормального напряжения
/
3
/
0
3
3
/
/
3
0
/
(35)
/
3
/
3
/
/
=
(36)
0
показывает как направление нормали к площадке, так и направление самого
напряжения. Касательные напряжения
вый индекс показывает направление нормали к площадке, а второй индекс
направление самого напряжения
.
3
и
3
имеют по два индекса. Пер
–
-
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]