5.2. Элементы с сосредоточенными параметрами

x

h

P

k

h

k+1

k–2 k–1k– 2

Рис. 5.1. Пример разбиения области моделирования на элементы

k+1

В уравнении непрерывности (1.2) и (1.3) производную

заменяем разностной формой:

tptp

dp

dx

dp

dx

слева

справа

≈

−

h

+

1

≈

h

)()(

1

−

kk

;

k

)()(

−

tptp

kk

.

1

+

k

Такое преобразование справедливо, когда концентрация

разбиения должны быть достаточно малы, чтобы эта аппроксимация была действительной. Тогда уравнение переноса для подвижных носителей заряда (при условии только диффузионной составляющей) преобразуется к следующему виду:

p

∂

x

∂

p

∂

≈

t

∂

p

∂

−

x

∂

слевасправа

hh

1

+

=

kk

pp

−

1

+

kk

h

−

1

+

k

1

+

pp

−

1

−

kk

h

k

.

hh

kk

2222

Уравнение непрерывности для точки

k транзистора с однородной

базой аппроксимируется следующим соотношением:

81

⎡

∂

−

=

p

H

−

pp

kk

1

+

⎢

∂

p

k

≈

D

∂

t

h

⎣

p

−

k

1

+

hh

1

kk

+

⎤

−

pp

kk

1

−

⎥

h

k

⎦

−

pp

−

nk

.

τ

(5.1)

P

22

5.2. Элементы с сосредоточенными параметрами

Введем понятие элементов с сосредоточенными параметрами. Вспомним определение диффузионного тока:

qADI

−= , (5.2)

p

pP

x

∂

где А – площадь области кристалла. (Для упрощения считаем, что А не зависит от x.) В разностной форме уравнение (5.2) имеет вид

qAD

I −=

pk

Теперь определим элемент с сосредоточенными параметрами (H

p

h

k

−

)(

pp

1 kk

. (5.3)

),

dk

который называется диффузантой, как

qAD

H ≡

dk

p

. (5.4)

h

k

Диффузанту (рис. 5.2) можно считать схемным элементом, ток через который пропорционален разности концентраций на его внешних контактах:

)(

k–1

ppHI

1 kkdkpk

−

dk

. (5.5)

k

82

Рис. 5.2. Пример обозначения диффузанты в схеме

Теперь введем условные обозначения для элементов с сосредоточенными параметрами, которые представляют процессы рекомбинации, генерации и накопления.

В уравнении непрерывности умножаем обе части на qA и получаем

pp

−

11

kk

+−

h

1

k

+

− τ

qApqAp

k

P

n

+

=

τ

P

,

qA

=

dp

dt

pp

−

kk

+

−

qAD

hh

kk

+

p

1

qAD

p

h

k

=

k

22

ppH

−

)(

1

kkdk

−

hh

+

−

1

kk

+

τ

qApqAp

k

P

n

+

τ

P

22

или

qA

dp

dt

II

+

1

k

=

pkpk

−

hh

kk

+

τ

+

1

qApqAp

k

P

n

+

.

τ

P

−

22

Теперь введем следующие определения:

hh

⎛

qAS

⎜ ⎝

qA

⎛

≡

H

ck

⎜

τ

⎝

p

⎞

1

kk

+

+≡

hh

+

−

⎟

22

⎠

⎞

1

kk

+

−

⎟

22

⎠

) 5.3,(ррис сторанса

а

;

).5.3, (ррис комбинанта

б

Отсюда уравнение непрерывности будет выглядеть следующим образом:

dp

k

S

k

dt

−=−+

IIpHpH

. (5.6)

1−

pkpknckkck

Размерность каждого элемента соответсствует размерности тока.

83

dp

I

=

k

pHIpk=

HckHckp

p

HdkpkH

p

k

S

pk

k

dt

ck

а

б

Рис. 5.3. Пример обозначеня сторанса (а) и комбинанты (б) в схеме

Если рассматривать узловую точку, тогда соответствующее уравнение непрерывности является выражением закона Кирхгофа для тока в узле (рис. 5.4).

k+1

n

I

k+1

S

k

I

k

k–1

dk+1

Рис. 5.2. Представление уравнения непрерывности в виде схемы,

включающей элементы с сосредоточенными параметрами

Отдельные элементы этой схемы представляют собой конкретные физические процессы: H

– генерация, S – накопление носителей заряда, а уравнение (5.6)

P

nHc

– диффузия, Hc – рекомбинация,

d

имеет схемотехнический смысл, что позволяет записывать физические процессы в виде эквивалентной электрической схемы (модель Линвилла).

84

5.3. Модель Линвилла для участка кристалла

I

p

j

I

j

p

I

p

j

Исходя из введенных обозначений, можно построить модель

участка кристалла (рис. 5.5).

F

n

na

a

i

S

n

i

S

Рис. 5.5. Модель Линвилла для участка кристалла

Элементы модели, представленной на рис. 5.5, описываются

следующими уравнениями:

2

qAD

j

=

H

d

j

i

Δ

x

ii

=

qAH

c

=

i

2

τ

n

i

x

Δ

ii

qAS

2

Δ+Δ

j

n

i

H

S

c

dn

ii

SI

dt

nb

i+1

H

c

b

Hd

H

i+

S

n

C

i+1

i

S

c

Hd

j

n

ii

xx

;

ii

i

j

H

+

1

;;

d

F

j

IEqAF

F

2

c

==

()

d

j

()

+=μ=

++

11 +++

ii

==

qAHnHI

++

ii

11

qAS

+

1

iij

;;

−=

nnHI

+

1

ii

;

nn

+

1

i

Δ

x

+

i

2

τ

+

i

x

Δ

2

i

=

H

1

cc

+

1

SI

=

S

111

ii

;;

nHI

c

dn

ii

+

1

i

.;

dt

Так как во всех областях изменение концентрации носителей заряда одного знака сопровождается изменением концентрации носителей заряда противоположенного знака, то S квазинейтральной области их можно записать S

i

и S

i

= S

, поэтому в

n

p

i+1

и исключить

85

Cj, которая в полной модели отражает токи смещения, свойственные

InbIpbI

I

p

j

I

j

I

j

I

j

p

I

R

I

p

j

I

p

j

p

I

p

j

I

p

j

р – n-переходам.

В результате получаем упрощённую модель Линвилла для

участка кристалла (рис. 5.6).

na

i

S

a

H

i+1

c

S

H

d

i+1

H

c

F

Рис. 5.6. Упрощенная модель Линвилла для участка кристалла

Эту модель можно легко преобразовать в модель, состоящую из элементов электрической цепи (рис. 5.7).

-1

n

i

C

n

i

ϕ

C

-1

i-1

Ф

n

i

Ф

n

C

n

C

b

+1

C

i+1

Ф

i+1

n

i+1

Рис. 5.7. Электрическая модель, эквивалентная модели Линвилла

+1

n

i+1

+1

86

Плотности токов, описывающих работу модели, представ-

τ

()(

(

ленной на рис. 5.7, находим из выражений

j

μ=

qI

n

1

i

=

R

i

2

τ

Емкости C

i

и C

n

nn

Δ+Δ

xx

ii

i

моделируют накопление электронов и дырок в i-м

p

i

() ()

n

1

+

ii

1

+

i

,

R

1

+

i n

1

=Δ

+

i

2

j

qI

p

++

ii

Δ

1

nxqInxqI

1

+

ii

+

элементе объёма

ii

1

+

μ=−

p

11

.

pp

ii

1

+

Δ+Δ

xx

i

p

1

+

−

,ФФ,ФФ

p

1

⎛

i

=

n

⎞

⎜

⎟

t

2

⎝

⎠

ii

,

Аналогично записываются выражения для C

1

⎛

i

=Δ

p

⎞

⎜

⎟

t

2

⎝

⎠

i+1

и C

n

ii

.

pxqUСnxqUС Δ

i+1

.

p

Плотность токов через эти емкости

d

i

CI

C

ii

n

dt

i

C

n

pn

d

i

CI

p

dt

ii

)

ϕ−=−ϕ= Ф,Ф .

p

Аналогично можно записать выражения для i+1 элемента объема.

Барьерная ёмкость

d

j

CJ

b

dt

1

nn

exp;

=

i

1

+

np

=

i

ii

++1

)

ϕ−ϕ=

.

11

i

++

Ф

−ϕ

n

U

p

U

;

t

11

ii

++

ϕ−ϕ

.exp;exp

t

где Ф

=

exp

2

i

U

p

;

C

1

ii

xx

Δ+Δ

i

Ф

−ϕ

n

t

ii

ϕ−ϕ

U

t

b

i

+

i

j

C

b

i

nn

=

i

np

=

i

– потенциал квазиуровня Ферми для электронов в р-области.

n

ε

ϕ – потенциал уровня Ферми собственного полупроводника.

Таким образом, мы можем моделировать физические процессы, протекающие в полупроводниках, с помощью анализа электронных схем.

87

5.4. Пример построения одномерной распределённой

Н

I

H

I

х

модели транзистора

Теперь, используя модель Линвилла для отдельных элементов кристалла, можно из отдельных элементов построить распределенную одномерную модель транзистора (рис. 5.8).

i-1

э

Э

С

бэ

n

б(0 )

i

d

i

с

i+1

d

i

S

с

nб(W )

К

i

C

бк

б

Рис. 5.8. Пример одномерной распределенной модели транзистора

Для простоты распределённой схемой представлена только база. Области эмиттера, коллектора и р – n-переходов отражены сосредоточенными параметрами. Ввиду сложности распределённые модели применимы для анализа лишь отдельного диода, транзистора и т.д. Поэтому для анализа работы интегральных микросхем целесообразно перейти к моделям с сосредоточенными параметрами.

5.5. Модели диода с сосредоточенными параметрами

Рассмотрим n+p произвольный слой базы толщиной Δx, параллельный p – n-переходу диода на расстоянии Δх Распределение плотности избыточных неосновных носителей заряда в данном слое базы в момент времени t

n

p

Δn

p

и t2 = t1+Δt приведено на рис. 5.9.

1

np(x,t2)

np(x, t1)

от перехода.

1

Рис. 5.9. Распределение избыточных неосновных носителей заряда

в базе диода в разные моменты времени

88

Прямое напряжение на p – n-переходе возрастает за время Δt.

−=Δ

p

x1x

х

p

x

p

x

Δ

x

Разность подвижных носителей заряда, поступающих в рассматриваемый объём базы и исходящих из него, определяется из соотношения

⎛

⎞

Δ

t

⎜

Δ=−Δ

nxqAIIt ΔΔ+

⎟

pпвыхпвх

⎜

⎟

τ

n

⎝

⎠

(5.7)

.)(

nxqA

p

Первый член правой части (5.7) – это заряд рекомбинации в

этом объёме, второй – заряд, накапливаемый в нём за время Δt,

п –

р

средняя плотность неосновных носителей заряда на расстоянии х от границы перехода,

)()(

tntnn

– разность средних плотностей

12

ppp

неосновных носителей.

Рассмотрим перенос электронов из области Δх

в облать Δх

1

(рис. 5.10).

t = t

n

1

n

(

)

1

n

(

)

2

1

Δ

2

Рис. 5.10. Схема модели диффузионного переноса

носителей заряда в базе диода

Если предположить, что на участке Δх

распределение

2…1

подвижных носителей заряда приблизительно подчиняется линейному закону, то ток, поступающий из области Δх

в область Δх2

1

является диффузионным и описывается уравнением

89

∂

[

]

(

[

−=−

I

H

p

I

qADI

вых

−=

nn

txn

p

x

∂

≅

qAD

n

Δ

xnxn

−

x

21

)()(),(

21

pp

.

(5.8)

Из (5.7) с учётом (5.8) получаем

xnd

)(

iipCi

dt

p

SxnHI

[]

−++=

)()(

xnxnH

, (5.9)

1вх +

ipipdi

/

xqAH

−τΔ=

niiiCi

сторанса;

xqAS

−Δ=

iii

/

xDqAH

−Δ=

+1

iniidi

n

(x) – избыточная плотность электронов, инжектированных в

p

;комбинантагде

,диффузанта

р-базу в точке на расстоянии х от p – n-перехода в момент t.

Концентрация носителей заряда в базе и на границе базы

соответственно равны

)

]

=

0

UUntnLxtntxn

.1/exp),0(;)/exp(),0(),(

tppnpp

На основе (5.9) можно получить распределённую физическую модель диода (модель Линвилла), согласно которой база диода представлена секторами, каждый из которых описывается уравнением вида (5.9).

Модель с сосредоточенными параметрами является упрощённым вариантом распределённой физической модели (рис. 5.11).

n

(0,t)

c

S

90

Рис. 5.11. Модель диода с сосредоточенными параметрами