Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование полупроводниковых приборов. Курс лекций.pdf
R
. (3.19)
∫
x
ϕ
)(
γ=
t
dtetxF
)()(
p
Тогда
)0(
ϕ
p
xFe
xB
)(
=
э
)0(
ϕ
p
exB
)(
к
−= (3.21)
)(
(3.20)
;
)0(
F
)(
R
ϕ
p
xFe
)(
.
)0(
F
Комбинирование обеих частей дает
ϕϕ
R
)()0(
pp
ee
)( R
x
ϕ
p
e
= (3.22)
−
F
)0(
+
)(
ϕ
p
.)(
exF
Если теперь продифференцировать уравнение (3.22) и
сравнить результаты с выражением (3.17), легко увидеть, что
F(x)
представляет собой плотность тока
)()0(
r
ϕϕ
pp
−
=
J
p
ee
.
F
(3.23)
)0(
Выражение содержит важный хорошо известный результат.
Если теперь перейти к ненормированному виду, то получаем ток:
2
Aqn
I
R
∫
0
i
ϕ
1
xD
p
x
KT
i
)(
qU
⎛
kT
⎜
)(
⎜
⎝
dxen
qU
кбэб
⎞
kT
⎟
ee
−=
, (3.24)
⎟
⎠
где A – площадь транзистора. В данном случае ток I – это ток дырок,
при отсутствии рекомбинации I = I
диффузии дырок D(x) заменить средней величиной
= Iк. Если коэффициент
э
то выражение
,D
(3.24) преобразуется к виду
qU
2
⎛
nDAq
I
R
∫
0
i
ϕ
)(
x
KT
i
KT
⎜
⎜
⎝
dxen
qU
кбэб
⎞
KT
⎟
.
ee
−=
(3.25)
⎟
⎠
41
Основной вклад в интеграл вносит область, где потенциал ϕ велик,
т.е. область базы.
Часть концентрации дырок, управляемая эмиттером, равна
xϕ−
. (3.26) )
=
э
)(
()(
xBexp
э
Часть концентрации дырок, управляемая коллектором, равна
xϕ−
)(
. (3.27) ()(
к
=
xBexp
)
к
Теперь обобщим уравнения (3.22) и (3.23) для условия, когда
имеют место процессы генерации и рекомбинации избыточных
носителей заряда. Чтобы сделать это, к правой части уравнения
(3.22) добавим составляющую
)0(
F
R
)0(
F
− , (3.28)
)()(
xFxF
R
где
R
, (3.29) dtettJxF
J
где – плотность рекомбинационного тока.
r
γ=
p
rR
∫
x
t
)(
ϕ
)()()(
Выражение (3.28) стремится к нулю при х = 0 и х = R, так как,
ϕ
p
согласно граничным условиям, величины e
Теперь могут быть записаны общие соотношения для J
ϕϕ
)()0(
R
pp
)(
xJ
=
p
+−
)0(
F
)0(
Fee
R
остаются неизменными.
ϕ
p
и e
p
);()(
xJJxJ
const
−≡−
rpr
(3.30)
:
)( R
(3.31) .)()(
x
const
+−=
Rp
)(
ϕϕ
pp
exFxFJe
Аналогично (3.31) можем получить соотношение для
квазипотенциала Ферми электронов. После того как ϕ
задан в базе в
р
точке М, должны быть просчитаны две отдельные области:
эмиттерная (0 ≤ x ≤ M) и коллекторная (M ≤ x ≤ R).
Таким образом, показано, как рассчитать квазиуровни Ферми,
если известен потенциал ϕ. Если предположим, что известны
квазипотенциалы Ферми, для определения распределения
потенциала необходимо решить уравнение второго порядка:
42
. (3.32) Nee
′′
ϕ−ϕ
n
ϕ−ϕ
p
−−=ϕ
Отсюда итерационная схема решения системы уравнений
следующая:
1) предполагается начальное распределение потенциала ϕ;
2) модифицированное соотношение Молла-Росса используется для
получения квазипотенциала ϕ
, а отсюда и концентрации дырок;
p
3) из решения уравнение Пуассона определяется уточненное значение
потенциала ϕ.
Шаги 2 и 3 повторяются, пока не будет достигнута требуемая
точность. Точность, в данном случае, определяется как разность
искомых значений между двумя последовательными итерациями.
3.1.3. Ток электронов и ϕ
n
Область транзистора, управляемого эмиттером (0 ≤ х ≤ М),
описывается уравнениями
(3.33) ;)()(
(3.34)
J
J
ϕ
задается уравнением
n
ϕ−
. (3.37) )
n
M
γ=
э
э.
=
constэ
(x) = J
n
)(
x
n
∫
x
M
rR
∫
x
ϕ−
n
эconst
t
)(
ϕ−
dtetxF
)(
t
ϕ−
γ=
n
)0(
F
э
dtettJxF
;)()()(
++−
)0(1
Fe
R
э.
;
(3.35)
)0(
+ Jr(x) . (3.36)
(1)(
−+−=
xFxFJe
э.эconstэ
R
Область транзистора, управляемая коллектором (M ≤ x ≤ R),
описывается уравнениями
(3.38) )()(
(3.39) )()()(
R
к
к.
γ=
n
∫
x
R
∫
x
)(
t
ϕ−
;
dtetxF
)(
t
ϕ−
γ=
nrR
dtettJxF
;
43
R
IэI
I
)(
ϕ−
n
J
J
задается уравнением
и ϕ
n
−=
constк
(x) = J
n
. (3.42) )()(
+−
MF
c
+ Jr(x). (3.41)
кconst
ϕ−ϕ−
nn
)(1
MFe
R
к.
;
(3.40)
)(
)()(
Rx
xFexFJe
−+−=
.
R
ккconstк
3.1.4. Выходной ток
Ток считается положительным, когда он протекает как в
активно смещенном p – n – p транзисторе (рис. 3.2).
Эмиттер База Коллектор
к
б
Рис. 3.2. Пример транзисторной структуры для моделирования
Плотность тока эмиттера рассчитывается из выражения
J
= Jp(0) + Jэ (0) = Jp
э
const
+ Jэ
. (3.43)
const
Плотность тока коллектора рассчитывается из выражения
J
= Jp(R) + Jк (R) = Jp
к
const
+ Jк
const.
(3.44)
Плотность базового тока определяется как разность
эмиттерного и коллекторного токов
J
= Jэ – Jк = Jэ (M) – Jк (M) = Jэ
б
const
– Jк
const.
(3.45)
3.1.5. Обобщенные граничные условия
Концентрация носителей на границе равна сумме
равновесной концентрации и концентрации подвижных носителей,
пропорциональной плотности тока на границе:
Jnn)0(
n
)0()0(
44
±=
0
, (3.46)
v
n
где n
(
(
)
(0) – равновесная концентрация;
0
– нормализованная скорость.
v
n
Знак дополнительной составляющей такой же, как у
коэффициента v
(т.е. носители добавляются при положительном vn),
n
если поток носителей заряда направлен к поверхности. При низкой
плотности тока n(0) = n
также скорость поверхностной рекомбинации, тогда v
(0). Такие граничные условия описывают
0
равна
n
скорости поверхностной рекомбинации.
Если граница прибора представляет собой контакт к
материалу, имеющему низкую равновесную концентрацию
электронов, то v
равна скорости, ограниченной рассеиванием.
n
Эти граничные условия могут быть использованы
одновременно для коллектора и эмиттера для электронов.
С учетом этого граничные условия могут быть
модифицированы следующим образом:
- для области эмиттера (0 ≤ х ≤ М)
/
kTqU
−
;
*
J
э
const
=
эб
+
J
. (3.49) )(1)(
*
n
)(
x
ϕ−
n
Умножение (3.49) на дает
(x) = J
*
constэ
e
*
эconst
э
)0(ϕ−
Fe
+−−
ϕ−
)0(1
.
R
э
)0(
/)0(
(3.47)
veF
ne
+ Jr(x); (3.48)
−+−=
xFxFJe
.
R
э
n(0) = n0(0) + Jn(0)/vn; (3.50)
- для области коллектора (M ≤ x ≤ R)
R
(3.51)
*
.
к
*
J
к
J
и ϕ
задается уравнениями
n
)(
x
ϕ−
n
e
*
– ϕn(R)
[]
∫
x
−
/
kTU
кб
−=
const
*
constк
(x) = J
n
= e
к
*
к const
–qUэб/kT
+
к
+ Jr(x) – Jr(R) (3.53)
)
R
ϕ−
*
– J
n
γ−=
+−
ϕ−
n
(R)e
)(
t
ϕ−
;)()()()(
nrrR
R
()
R
–ϕ(R)
dtetRJtJxF
*
MFe
)(1
.
к
;
(3.52)
veMF
/)(
n
/
kTqU
−
кб
−++−=
);(/)(
xFevexFJe
.
R
к
(3.54)
/vn. (3.55)
45
(R)
x0x1x2x
j
x
j
xбx
M
x
M
xкpME
M
EjΔ
xjE
j
E2Δ
x2p2E
x1p
– ϕ
Умножение на e
n(R) = n
n
дает
(R) + J
0
*
(0)/vn. (3.56)
n
Таким образом, предложенная методика позволяет моделировать
работу биполярного транзистора как в зависимости от его
конструкции и параметров полупроводникового материала, так и при
воздействии различных факторов в процессе наработки.
3.2. Расчет переходных процессов
Расчет работы транзистора на переменном сигнале
проводится на основе базовой системы уравнений (1.1) – (1.5),
учитывающей изменение условий работы и параметров от времени.
Общий подход к решению базовой системы уравнений так же,
как для диода, сводится к переходу к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений с помощью метода конечных
разностей [2]. Значения квазипотенциалов ϕ
определяются для конечного числа точек, на которые разбивается
структура (рис. 3.3).
Интервал 0 – x
разбивается на М подынтервалов:
k
i
∑
0 к
ii
к
1
к
=
, ϕn и потенциала ϕ
p
xxMixxxMix
==Δ===Δ
.),....,1(0)'...1(
M
1
1
-1
-1
Δ
-1
Рис. 3.3. Пример разбиения области моделирования на интервалы
=
-1
=
Пространственные производные в базовых выражениях
(уравнения Пуассона, непрерывности, переноса) записываются в
46
конечно-разностном виде. Тогда для внутренних точек x
[
]
[
]
Δ+Δ
ϕ−ϕ
−
ϕ−ϕ
=ϕ=
ϕ
=ϕ=
ϕ
=ϕ=
уравнения (1.3 – 1.5) преобразуются к виду
xx
ϕ−ϕ∂
)()(
q Δ+−=
−
)(
q
−
i
dt
iip
⋅
dt
x
ϕ−ϕ∂
)(
ixn
()
⋅
()
xxp
Δ∂
)(
ii
xx
ϕ−ϕ∂
)()(
iip
xxn
Δ∂
)(
ii
xx
ϕ−ϕ∂
)()(
iin
−
1
−
1
(i = 1, 2, … M)
i
; (3.57)
xxqRxJxJ
)()()(
iiipip
; (3.58)
xxqRxJxJ
Δ+−=
)()()(
iiinin
xx
ϕ−ϕ
ii
x
Δ
i
+−
+
Δ
xx
11 ii
x
)()()()(
ii
1
i
+
xQ
)(
=
i
xx
1
+
. (3.59)
2
Плотности токов соответственно будут равны
)()(
xx
⎛
⎜
)()()(
xpxqxJ
⋅μ−=
iipip
⎜
⎝
xnxxJ
)()()(
⋅⋅μ=
iinin
ϕ−ϕ
x
Δ
i
x
Δ
i
⎞
ipip
−
1
⎟
⎟
⎠
xx
)()(
iin
xqD
+
ip
xDq
)(
⋅+
ip
−
)(
Δ
Δ
)()(
xpxp
ii
−
1
i
xnxn
ii
−−
; (3.60)
)()(
11
. (3.61)
x
x
i
Получается система из 3М обыкновенных дифферен-
циальных уравнений относительно квазипотенциалов электронов и
дырок ϕ
, ϕp и и потенциала ϕ.
n
Если приложены коллекторное и эмиттерное напряжения U
, то граничные условия записываются следующим образом:
и U
э
Uxx
;)()(
np
0)(
б
00 э
MnMp
xxx ; (3.64)
jpj
(3.62)
Uxx
)()( (3.63)
к
р – n + N = 0. (3.65)
к
Если задана плотность тока через контакт, то граничные
условия имеют вид
⎡
xJxJtJ
npэ
d
ε−+=
)()()(
00
dt
⎢
Δ
⎣
⎤
ϕ−ϕ
)()(
xx
01
. (3.66)
⎥
x
1
⎦
Сформулированная задача характеризуется двумя
особенностями:
47
1. Из-за большой разницы в значениях концентрации дырок и
⋅ξ+ξ=
ξ
ϕ
<<ξ
электронов в диффузионной области прибора система уравнений
отличается нелинейностью и имеет разброс постоянных времени.
2. Система уравнений содержит не только дифференциальные,
но и алгебраические уравнения.
Методы решения и учет нелинейных зависимостей
параметров аналогичны методам, рассмотренным для диода. В этом
разделе мы рассмотрим моделирование работы транзистора при
малом синусоидальном сигнале.
3.3. Расчет частотных характеристик
Формулировка задачи для расчета частотных характеристик
транзистора может быть получена, если переменные в базовой
системе уравнений будут представлены в виде [2]
ω
)exp( tj
где – постоянная составляющая;
ξ
s
ξ
– амплитуда переменной составляющей.
t
ts
В режиме малого сигнала
составляющей базовая система уравнений преобразуется к виду
, (3.67)
(tt)
для переменной
⎡
ϕ
d
⎛
pt
⎜
μ−=
pqJ
⎢
sppt
⎜
dx
⎝
⎣
⎡
ϕ
d
⎛
μ−=
⎢
⎣
dJ
nt
nqJ
⎜
snnt
dx
⎝
pt
dx
dJ
nt
ω= (3.71)
dx
2
d
ϕ
dx
q
⎞
⎛
pt
=
⎟
⎜
2
ε
⎠
⎝
⎛
⎞
⎜
⎟
p
+
t
⎜
⎟
⎝
⎠
⎞
⎛
n
+
⎟
⎜
t
⎠
⎝
;
qpj
ω−= (3.70)
t
;
qnj
t
(
pn
−
tt
)
⎤
d
ϕ
⎞
ps
⎟
;
(3.68)
⎥
⎟
dx
⎠
⎦
⎤
d
ϕ
⎞
ns
;
(3.69)
⎟
⎥
dx
⎠
⎦
.
(3.72)
Ток смещения определяется по формуле:
48
⎡
ϕ−ϕ
ϕ−ϕ
=
ϕ
d
ϕ
⎛
pt
см
⎜
pjJ
ωε−=
⎢
s
⎜
dx
⎢
⎝
⎣
⎛
⎞
⎜
⎟
+
p
t
⎜
⎟
⎝
⎠
⎤
ϕ
d
⎞
ps
⎟
;
(3.73)
⎥
⎟
dx
⎥
⎠
⎦
Постоянные составляющие ϕ
, ϕ
ps, ns определяются из
ps
ns,
решения статической задачи, а переменные составляющие связаны
следующими соотношениями:
tpt
= ,
t
pp
ϕ
s
T
= . (3.74)
t
ntt
nn
s
ϕ
T
Граничные условия для режима малого сигнала могут быть
получены, если в граничных условиях используются только
переменные значения:
tj
;)0()0(
(3.75)
(3.76)
;0)(
x (3.77)
бpt
2
ϕ
d
t
=кxx
2
dx
eUω=ϕ=ϕ
tntpt
tj
ω
;)()(
eUxx
=ϕ=ϕ
ккк
tntpt
(3.78)
.0
=
,0
Заменив систему дифференциальных уравнений (3.68) – (3.73)
алгебраическими уравнениями в виде конечных разностей, получим
систему 3М линейных уравнений с комплексными коэффициентами
относительно переменных ϕ
и ϕt в М точках разбиения структуры.
p, ϕn
3.4. Моделирование двухмерных эффектов
Потребность в рассмотрении двухмерной структуры
возникает тогда, когда боковые размеры полупроводниковой
структуры становятся сравнимыми с глубиной залегания
p – n-перехода. При моделировании работы полупроводниковых
структур в рамках одномерной модели невозможно учесть ряд
эффектов, возникающих в реальных полупроводниковых приборах.
Например, к таким эффектам относятся эффект вытеснения тока,
боковая инжекция, влияние пассивных областей базы и коллектора,
реальные физические условия поверхности структуры.
49
Для учета этих эффектов базовая система уравнений
N
pnM
L
x
,
[
−=ϕ
обобщается для постановки двухмерной задачи. При этом численная
процедура решения более сложна, чем в одномерном случае.
Рассмотрим двумерную транзисторную структуру (рис. 3.4) [2].
10 8 3 0
9 мкм
1
2
n
K
5
мк м
Рис. 3.4. Пример транзисторной структуры
для моделирования двухмерных эффектов
где
2
pp
np
RJ
−=∇
p
,
RJ
=∇
n
∂
⎛
=∇
⎜
x
∂
⎝
∂
⎞
⎛
⎞
i
+
⎟
⎠
j
– оператор дифференцирования.
⎟
⎜
x
∂
⎠
⎝
;
Npn
−−=ϕ∇
);(
ppJ
∇+ϕ∇μ−=
(3.79)
);(
nnJ
∇+ϕ∇μ−=
;
Все величины, входящие в систему дифференциальных уравнений
(3.79), зависят от x и y.
Введем две переменные ϕ
n
p
и ϕp , рассмотренные нами ранее.
n
]
;)ln(exppn
ϕ
(3.80)
[
−ϕ=ϕ
]
.)ln(exp
Подставим эти величины в уравнения Пуассона и переноса.
Величины J
и Jn заменим выражениями, в которые входят новые
p
переменные:
50