Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование полупроводниковых приборов. Курс лекций.pdf
⎛
(
[
(
[
ψ+ϕ
=
(
)
[
]
ψ−ϕ
=
(
(
)
⎞
p
⎜
⎟
ln ,
⎜
⎟
n
i
⎝
⎠
– собственный уровень Ферми.
где E
i
+=
kTEE
if
p
Расстояние между квазиуровнями Ферми представляет собой
меру отклонения свободных носителей заряда от теплового
равновесия. При тепловом равновесии это расстояние равно нулю.
Квазиуровням Ферми соответствуют квазипотенциалы:
E
⎛
⎞
f
n
⎜
⎟
−=ϕ
n
⎜
⎟
q
⎝
⎠
E
⎞
⎛
f
p
⎟
⎜
−=ϕ
p
⎟
⎜
q
⎠
⎝
⎛
⎜
−ϕ=
⎜
⎝
⎛
⎜
−ϕ=
⎜
⎝
kT
q
kT
q
⎛
⎞
n
⎜
⎟
ln ;
⎟
⎜
n
⎠
⎝
⎛
⎞
p
⎜
⎟
ln
⎟
⎜
n
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
i
⎠
⎞
⎟
,
⎟
i
⎠
где ϕ – потенциал, соответствующий середине запрещенной зоны
ϕ = – (E
/q).
i
Отсюда концентрации электронов и дырок можно представить в виде
)
]
kTqnnp
/2ϕ−ϕ= ;
pni
)
]
kTqnn
/exp
nie
pie
;
kTqnp
/exp
,
– эффективная концентрация собственных носителей заряда в
где n
ie
полупроводнике, учитывающая эффект сужения запрещенной зоны
при сильном легировании.
Если принять, что ψ – потенциал, соответствующий положению
равновесного уровня Ферми (ψ = – (E
/q)), то концентрация
F
электронов и дырок, представляется в виде
)
ϕ+ψ
где p
q
⎛
exp
=
nn
⎜
0
⎝
q
⎛
=
и n0 – равновесные концентрации дырок и электронов
0
⎜
pp
exp
0
⎜
⎝
kT
kT
⎞
n
;
⎟
⎠
ψ−ϕ
⎞
p
⎟
,
⎟
⎠
соответственно.
21
Исходя из вышеизложенного, уравнение Пуассона представляется в
[
]
(
[
+ϕ=
(
)
[
]
ϕ−ϕ
=
[
]
Δ
=
ϕ
=
ϕ
[
]
+ϕ+Θ−ϕ−Θ−
=
∂ϕ+
Θ∂+−=∇ϕ+Θ
[][
]
∂ϕ−
Θ∂+−=∇ϕ−Θ
[
{
}
Θ
=
виде
ϕ−ϕ
)(
2
За нуль электрического потенциала принимается положение
уровня Ферми в собственном кремнии. Тогда концентрации n, p
(в предположении справедливости статистики Больцмана) связаны с
их квазипотенциалами Ферми ϕ
образом:
– эффективная концентрация электронов.
где n
ie
Для представления систем уравнений, описывающих работу
полупроводниковых приборов, существует несколько базисов
переменных. Представленная выше система (1.1) – (1.5) записана в
базисе (ϕ, n, p). Часто используются также базисы (ϕ, Ф
(ϕ, ϕ
, ϕp), величины Фn, Фp получают следующим образом [3]:
n
ϕ+ϕ
n
, ϕp и потенциалом ϕ следующим
n
)(
p
)
Unn /exp ϕ
tni
Unp /exp
tpi
kTEnn
2/exp
giie
NNenen
−++−=ϕ∇−
.
ADii
]
;
;
,
, Фp) и
n
Ф
Ф
Ниже приведены уравнения базовой системы, представленные двумя
другими способами:
1-й способ
ϕΔ ФФ ;
[][
μ∇ /)exp()exp( ФФ ;
μ∇ /)exp()exp( ФФ ;
2
n Ф ;
n
22
;)exp(
nn
ϕ=
.)exp(
pp
:),,(
ФФ
pn
N
)exp()exp(
nnn
ppp
)exp( ϕ+
ADnp
,
]
tGR
tGR
1
−
]
)()()(
+τ++τ++−=
npnnpAnAnR ФФ ;
ienieppniepn
−Θ=
p Ф ;
ϕϕϕ
[
]
+ϕ+
Θ+ϕ−ϕ−Θ+ϕ
∂ϕ+Θ+
ϕ∂+−=ϕ∇ϕ+Θ+
[][
]
∂ϕ−Θ+
Ψ∂+−=ϕ∇ϕ−Θ+
{
}
+Θ+ϕ=
Θ+ϕ
=
J
J
J
J
r
p
)exp( ϕ
2-й способ
:),,(
pn
N
−=ϕΔ ;
)exp()exp(
ADnp
,
[][
2
i,j–1
h
ϕμ∇ /)exp()exp( ;
ϕμ∇ /)exp()exp( ;
nnnn
pppp
[][]
i–1,j
i–1/2,j
i
i+1/2,j
)exp( ϕ
)exp( ϕ−
i,j+1/2
+
h
i+1/2
i–1/2
n ;
p .
i,j–1/2
r
j–1/2
r*
i,j
n
p
h*
j
]
tGR
tGR
1
−
)()(1)exp(
+τ++τ++−ϕ+ϕ=
npnnpAnAnR ;
ienieppnpnie
i,j+1
i+1,j
Рис. 1.1. Пример ячеек разбиения области моделирования
Для решения представленных систем дифференциальных
уравнений используются методы конечных элементов или конечных
разностей. Например, в двумерном представлении пространства
моделирования при введении пятиточечного шаблона используется
сетка разбиения (рис. 1.1), на которой
23
⎡
ϕ
ϕ
)
)
*
r
⎢
j
⎣
*
()()
*
()()
ϕ−ϕ
+
,,1
jiji
−
+
2/1
i
**
()
,2/1,,2/1,
,2/1,,2/1,
ϕ−ϕ
−
,1,
hh
−
2/1
i
;
Nnprh
−−−=
,,,
jdaijijiji
*
*
⎡
⎤
jiji
*
h
+
⎢
⎥
i
⎢
⎦
⎣
ϕ−ϕ
,1,
+
jiji
−
2/1
+
j
=−+−
2/1,,2/1,,
−+−+ jiji
=−+−
2/1,,2/1,,
−+−+ jiji
rr
j
n
∂
⎛
**
⎜
rhJJhJJr
jijinjinijinjinj
⎜
∂
⎝
p
∂
⎛
**
⎜
rhJJhJJr
jijipjipijipjipj
⎜
∂
⎝
⎤
ϕ−ϕ
1,,
−
jiji
=
⎥
⎥
2/1
−
⎦
,
ji
t
,
ji
t
⎞
⎟
;
GR
−+
,,
⎟
⎠
⎞
⎟
,
GR
−+
,,
⎟
⎠
где h, r – шаг по осям x и y соответственно;
J
, Jp – аппроксимированные значения плотностей токов,
n
имеющие различный вид в разных системах
переменных
pn
)Ф,Ф,(),,,(
.
np
В результате дискретизации базовой системы уравнений в
том или ином базисе вместо системы уравнений в частных
производных получаем систему нелинейных уравнений, которые
можем решить численно. Способы решения этих систем будут
рассмотрены на практических занятиях и при выполнении
лабораторных работ.
Задача создания сетки разбиения для дискретизации
дифференциальных уравнений в достаточной степени сложна,
поэтому для генерации сетки создаются специальные алгоритмы.
Простейший вид такой сетки – это прямоугольная сетка (рис. 1.2).
Она может быть равномерной (рис. 1.2, а) и неравномерной (рис. 1.2, б).
Неравномерная сетка позволяет более точно моделировать области с
высоким градиентом физических величин.
а
Рис. 1.2. Прямоугольные равномерные (а) и неравномерные (б) сетки
для дискретизации дифференциальных уравнений
24
б
В то же время при таком задании шагов сетки появляется
большое количество ненужных узлов, значительно снижается
скорость расчета и не повышается точность. Поэтому следующий
при создании сетки шаг – это выборочное введение дополнительных
ячеек в процессе расчета в зависимости от имеющегося профиля
(рис. 1.3). Такое построение сетки позволяет учитывать непрямоугольные границы областей.
Рис. 1.3. Прямоугольная кусочно-неравномерная сетка для
дискретизации дифференциальных уравнений
Наиболее общий вид дискретизации основан на треугольном
разбиении области моделирования (рис. 1.4). Может быть использовано
как равномерное, так и неравномерное разбиение. Причем такое
разбиение может быть использовано как в методе конечных
элементов, так и в методе конечных разностей. При таком способе
задания сетки лучше учитывается геометрия областей прибора.
Рис. 1.4. Треугольная сетка для дискретизации
дифференциальных уравнений
25
В сложных задачах моделирования как технологических
процессов, так и полупроводниковых приборов наиболее эффективно
использование динамических сеток, при котором новые узлы
добавляются и убираются в зависимости от изменения геометрии
или режима работы приборов.
Итак, нами рассмотрены основные уравнения, описывающие
работу полупроводниковых приборов, граничные условия и методы
дискретизации уравнений для их решения. Теперь перейдем к
моделированию работы конкретных приборов.
26
2. ФИЗИКО-ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ДИОДА
2.1. Общие замечания
Основная концепция теории р – n-перехода была разработана
Шокли с приближенным решением в случае низкого уровня
инжекции [14]. В модели Шокли для одномерного случая приняты
следующие приближения и допущения:
- структура прибора разделяется на области с резкими
границами (полностью обедненная область пространственного
заряда и электронейтральные области);
- установлены точные граничные условия внутри прибора (на
границах между нейтральными и обедненной областями). Это
приводит к ограниченному выбору граничных условий на внешних
контактах;
- выбор легирующего профиля ограничен до специальных
случаев (резкий переход и линейное распределение) и частных
значений (полностью симметричный переход и резко несимметричное распределение примеси);
- используются упрощенные зависимости подвижности от
электрического поля, степени легирования и механизма рассеяния;
- выбран линейный закон рекомбинации подвижных носителей
заряда.
Позже многие авторы предлагали различные усовершенствования теории Шокли для общего случая. Но, вследствие
серьезных трудностей в аналитическом решении уравнений,
описывающих даже простейшую физическую модель, было
достигнуто лишь частичное совпадение с экспериментом. Для более
точного расчета требуется численное решение системы
дифференциальных уравнений (1.1) – (1.5).
Система дифференциальных уравнений, описывающих
работу полупроводниковых приборов, может быть решена
непосредственно. Для этого проводится дискретизация системы
дифференциальных уравнений и решается полученная таким образом
система нелинейных уравнений. Часто вводится дополнительный
итерационный цикл линеаризации, позволяющий перейти к решению
27
системы из 3М линейных уравнений (М – число узлов сетки). Такой
N
N
способ многократно увеличивает объем вычислений даже при
модификациях метода (блочно-контактный метод, блочно-контактный
метод с последовательной верхней релаксацией и др. [15,16]). Для
снижения объема проводимых вычислений Гуммель предложил
численный метод решения фундаментальных стационарных
одномерных транспортных уравнений применительно к транзистору
[17]. Этот метод может быть успешно использован и для других
приборов (диод, полевой транзистор и др.).
2.2. Моделирование статического режима работы диода
Одномерная структура диода для расчета его характеристик
показана на рис. 2.1 [9].
n
(x)
0
Рис. 2.1. Одномерная структура диода для расчета: О и L – внешние
контакты; М – металлургическая граница между n и p материалом
М
p
(x)
L X
Распределение примеси задается разностью N(x) = ND(x) – NA(x).
При расчетах вводятся следующие допущения:
- полупроводник невырожденный (при расчетах концентрации
подвижных носителей заряда используется статистика Больцмана);
- в процессе работы прибора температура остается постоянной;
- распределение примеси не зависит от времени;
- примесь полностью ионизирована.
Базовая система уравнений (1.1) – (1.5), приведенная к
нормализованному виду для стационарного случая, выглядит следующим образом:
28
1
−ϕ=
ϕ
+−ρ=ρ
−=ϕ−ϕ
)(
=
xJ
n
⎡
⎢
)(
γ
x
⎣
n
ϕ
xd
)(
xn
−
dx
)()(
xdn
⎤
;
(2.1)
⎥
dx
⎦
xJ
p
);()()(
1
)(
=
γ
x
p
2
d
ϕ
2
dx
dJ
ϕ
⎡
⎢
)(
⎣
xd
)(
xp
−
dx
−−=
n
);(xv
−= (2.4)
)()(
xdp
⎤
;
(2.2)
⎥
dx
⎦
xNxpxn
(2.3)
dx
xdJ
p
),()(xv
= (2.5)
dx
где v(x) – скорость рекомбинации;
γ
= 1/μn, γp = 1/μр соответственно.
n
Вместе с этим используются дополнительные соотношения:
- для плотности тока 0=
dJ
, где J = Jn(x) + Jp(x);
dx
- для квазиуровней Ферми электронов и дырок
,
n
−ϕ=ϕ )(ln)()( xpxx
- для электрического поля
)(ln)()( xnxx
p
)(
;
)(
xdxEϕ
−= (2.6);
;
dx
- для плотности заряда )()()()( xNxnxx
.
Величины плотностей заряда на внешних контактах
выбираются как граничные условия:
n(0) = f
p(0) = f
n(L) = f
p(L) = f
(0), Jp(0));
n0(Jn
(0), Jp(0)); (2.7)
p(Jn
(L), Jp(L));
nL(Jn
(L), Jp(L)).
nL(Jn
Исходя из заданных значений потенциала на границах
структуры, можно точно установить значения разности контактного
потенциала и приложенного напряжения:
)()0(
, (2.8)
UUL
ad
29
– контактный потенциал;
[][][
]
[][][
]
где U
d
U
– приложенное напряжение.
а
Для решения уравнений (2.1) и (2.2) их удобно переписать в
другой форме с учетом дополнительных условий:
)(
dx
dx
xdn
)(
xdp
γ−=+
γ−=− .
);()()()(
xJxxnxE
np
)()()()(
xJxxpxE
pp
Эти уравнения могут быть решены как два независимых
линейных дифференциальных уравнения первого порядка с
неизвестными n(x) и p(x), и если другие величины рассчитываются
как непостоянные коэффициенты, решение является прямым:
;)(exp)()()(exp)(
CdxdxxExJxdxxExn +γ−×−=
∫∫∫
∫∫∫
nnn
,)(exp)()()(exp)(
CdxdxxExJxdxxExp +−γ×=
ppp
где C
и Cp – постоянные интегрирования, определяемые из
n
граничных условий.
Более определенная форма уравнений получается, если x и L
принять за границы интегрирования, а C
и Cp выразить с учетом
n
граничных условий:
L
⎡
; (2.9)
. (2.10)
x
γ×=
⎢
∫
x
⎣
L
⎡
x
⎢
∫
x
⎣
nn
γ−×=
pp
′
ϕ−ϕ
′′′
+
′
ϕ−ϕ
′′′
+
⎤
ϕ−
)()()(
Lx
eLnxdexJxexn
)()()()(
⎥
⎦
⎤
ϕ−
)()()(
Lx
eLpxdexJxexp
)()()()(
⎥
⎦
Плотности тока Jn и Jp могут быть выражены в значениях U(x) и ϕ(x).
Интегрирование уравнений (2.4) и (2.5) дает значение плотностей
тока:
x
; (2.11)
. (2.12) )()()(
30
−=
∫
0
x
−=
∫
0
′′
+
KxdxvxJ
)()(
nn
′′
xKxdxvxJ
+
pp