Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование полупроводниковых приборов. Курс лекций.pdf
2 ϕ=ϕεε= ВСqNQ
′
Е
ϕ
F
E
р
–
E
ϕ
– контактная разность потенциалов
где
к
Qa = Q
для р – п-перехода.
д
Наличие под затвором
легированной
р-области конечной глубины определяет целый ряд
D
р-канального транзистора ионно-
,
косдк0д
отсутствие в ряде случаев порога, различную подвижность носителей
в разных частях канала.
Рассмотрим
ИЛ слой глубиной
р-канальную структуру, у которой сформирован
x
с дозой D. Усредненное значение концентрации
j
примеси в таком слое определяется после упрощения как
D
′
N
≈
,
A
x
j
где
x
– глубина ИЛ слоя, отсчитываемая от поверхности
j
полупроводника.
В ионно-легированном МДП-транзисторе можно выделить
тонкую приповерхностную область, проводимость которой
модулируется внешним полем, и следующую за ней область ИЛ
канала
р-типа. В зависимости от глубины и дозы легирования при
напряжении на затворе, равном нулю, возможны два случая. В
первом случае обедненная приповерхностная область (обеднение
N
из-за
) смыкается с обедненной областью р – п-перехода (рис. 4.3)
ss
и полная проводимость канала в исходном состоянии равна нулю.
С
i
Обедненный слой
Рис. 4.3. Зонная диаграмма ионно-легированного МДП-транзистора
п
-переход
V
71
Для притока подвижных носителей и образования
(
)
′
р
з
+ϕ=
()(
)
E
V
проводящего канала необходимо повышать напряжение на затворе.
Приповерхностный слой сужается, и вплоть до режима плоских зон
проводимость МДП-транзистора определяется проводимостью
объемной части ИЛ канала.
U
При больших напряжениях
приповерхностный слой
з
обогащается дырками и проводимость прибора все в большей
степени определяется проводимостью этого сильно обогащенного
слоя.
Ионное легирование используется для снижения порогового
напряжения.
В режиме плоских зон таких приборов существует
проводящий слой
р-типа с удельной концентрацией подвижных
носителей заряда, равной
где
′
=
В
– коэффициент влияния п-подложки;
ос.п
U
– напряжение, приложенное к диэлектрику, равное
Д
Ap
U
= .
д
C
Dq
д
Режим плоских зон в такой структуре при
Q
пов
U
МДПп
.
С
д
+ϕ−=−
кос.пдд0
Uз = U
,
UВUCQDqQ
+ U
пз.р
Дальнейшее увеличение напряжения на затворе приводит к
образованию у поверхностного слоя, обогащенного дырками
(рис. 4.4.) с удельным зарядом
.
UUUСUUCQ
−−≈ϕΔ−−=Δ
ррp
.пззд.пззд
E
C
E
i
Рис. 4.4. Зонная диаграмма ионно-легированного МДП-транзистора
в режиме обогащения поверхностного слоя
72
В слоях обогащения
(
)
(
(
)
(
(
−
=
Δϕ не более нескольких U
Суммарная удельная плотность носителей в канале
где
′
[]
−−=
U
′
– условное пороговое напряжение ИЛ МДП-транзистора,
0
()
которое определяется выражением
.
t
=−−++ϕ−=Δ+=
UUUCUВUCQQQ
)
рppp
пзздкос.пдд0
,
ϕ−+ϕ−−
UBUUUC
ккoc.п0зд
При
Uз < (U
′
+ U) у поверхностного р-слоя образуется
пз.р
рз
обедненная область, в которой удельный заряд
падением напряжения
ΔU
в этой области соотношением
ос
Uεε=Δ
oc
∂
Q
()
2
0
р
ВUUU
2
oc
qN
ϕ+−=
.
кос.пд.п0
Q
, связан с
ос
;
A
.
UUUUCQ
Δ−−−=
ocпззoc
Величина сдвига порогового напряжения в результате ионного
легирования
2
BU
UU
+≈Δ
д0
⎡
В
⎛
oc.п
′
−=
⎢
BUUU
⎜
oc.п0зотс
⎢
⎝
⎣
oc.пд
2
В
ос.
2
⎞
ϕ+−
⎟
⎠
)
ϕ−
к
;
p
В
⎛
()
UU
0з
oc.п
⎜
22
⎝
⎤
⎞
⎥
.
ϕ+−−−
⎟
⎥
⎠
⎦
Уравнения ВАХ имеют вид
⎡
C
⎞
⎛
д
2
⎟
⎜
=
Q
oc
B
oc
⎟
⎜
2
⎠
⎝
4
⎢
+
1
⎢
⎣
−−
р
.пзз
2
B
p
oc.
⎤
)
UUU
⎥
−
;1
⎥
⎦
QQQ
.
oc0
pp
Уравнения ВАХ ИЛ МДП-транзистора при общепринятой плавной
аппроксимации канала могут быть записаны в общем виде:
U
c
z
()
I
L
μ=
эc
∫
U
и
() ()
dUUQU
pp
.
73
4.4.2. МДП-транзистор, полученный методом
p
двойной диффузии
Обычными технологическими методами из-за ограниченных
возможностей фотолитографии удается получить минимальную
длину канала около 3-4 мкм. Для стандартных МДП-транзисторов,
изготовленных на высокоомных подложках, минимальная длина
канала ограничивается также эффектом смыкания областей истока и
стока, вызывающим сквозное обеднение канала.
Если же использовать технологию двойной диффузии, то
удается получить МДП-транзисторы с хорошо контролируемой и
малой длиной канала
Структура интегрального
изготовленного методом двойной диффузии, представлена на рис. 4.5.
L = 0,5…2 мкм.
п-канального МДП-транзистора,
Исток
Рис. 4.5. Пример структуры МДП-транзистора,
В окно под область истока проводится диффузия примесей
р-типа (с низкой концентрацией) и п-типа. В сотовую область
проводят диффузию только примеси
прибор с длиной канала около 1 мкм, имеющий неравномерное
распределение примеси по длине канала (рис. 4.6). Концентрация
примесей возрастает от стока к истоку, что препятствует сквозному
обеднению канала.
Затвор
+
n
изготовленного методом двойной диффузии
nn
Сток
+
п-типа. В результате получается
74
N
A
(y)
N
A
x
j
L
N
A
x
j
и
1
с
2
Рис. 4.6. Распределение примеси в канале МДП-транзистора,
изготовленного методом двойной диффузии
Распределение примеси в канале можно аппроксимировать степенной
функцией:
y
x
⎞
⎛
N
⎜
NyN
=
и.
АA
⎜
N
⎝
где
()
N
– концентрация примеси у истока;
Aи
N
– концентрация примеси в подложке из стока;
Aс
xj2 – глубина второго р – п-перехода.
Ток отсека транзистора
2
j
с.
А
⎟
,
⎟
и.
А
⎠
()()
μ−=
μ
, Qn – зависят не только от напряжения, но и от координаты (из-за
пэ
N
распределения примеси
Вид функции
(y)).
A
Q
(y)) определяется концентрационной
n(NA
nn,,эс
dU
.
yUQyUI
dy
зависимостью коэффициентов модели
()
2
B
oc
εε
=
yNq
A
0
C
д
,
75
(
(
=
=
(
=
=
(
)
(
)
[
]
(
Перепишем выражение для
dU
dy
где
()
,,
IyUf
с
При заданных значениях
⎛
⎜
=ϕ
U ln
tF
⎜
⎝
()
= ,
= .
,, IyUf
с
I
с
Q
μ
()
nn
э
⎞
)
yN
A
⎟
.
⎟
n
i
⎠
I
в виде
с
)
0 UyU
,
и
U
и Uи величина напряжения
з
)
ULyU
,
с
канала у стока является функцией тока стока, определяемой из
дифференциального уравнения
краевой задачи будет удовлетворять такое значение
dU/dy, т.е. U(y = L) = U(L,I
I
, при котором
с
). Решению
с
U(L, I
) = Uс.
с
Используя итерационный метод Ньютона для численного
решения уравнения, получаем формулу для очередного приближения:
n
,
UILU
() ()
+
1
nn
II
−=
c
c
∂
Задаваясь начальным приближением
интегрируем уравнение
dU/dy с начальным условием U(0) = U
результате которого находим значение
применить последнюю формулу, вычисляем
нахождения этой производной продифференцируем уравнение
I
и сделаем эквивалентные преобразования
по
с
⎛
⎞
⎛
∂
⎜
⎝
∂
U
⎜
⎟
∂
I
⎝
⎠
⎛
⎞
=
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
−
cc
()
,
ILU
I
∂
c
.
c
()
n
I
c
(0)
Iс = I
с
U(y = L). Перед тем, как
⎛
⎞
∂
∂
⎟
⎜
∂
yy
⎠
⎝
⎞
U
,
⎟
∂
I
cc
⎠
, численно
, в
и
)
,
ILU∂∂
c
. Для
I
c
dU/dy
после чего получим вспомогательное дифференциальное уравнение
относительно
∂
:
IU∂
c
⎞
⎛
∂
∂
⎜
⎜
y ∂
∂
∂
⎝
76
∂
U
I
f
⎟
=
⎟
⎠
+
∂
I
U
f
∂
∂
U
∂
I
ccc
с начальным условием
LzI
p
p
yzx
()
y
∂
I
c
00
==
.
∂
U
Итерационный процесс повторяется до тех пор, пока не будет
достигнута требуемая точность.
Переход прибора из крутой области в пологую происходит
при
Uс = U
(L), а в области отсечки при U
отс
= U
и
4.4.3. Униполярный транзистор
с управляющим р – n-переходом
Весь прибор условно разделен на две области: внутреннюю
(активную) и внешнюю (паразитную) (рис. 4.7).
З
n 2a
U
с
отс
(0).
с
U
з
Рис. 4.7. Пример полевого транзистора с затвором
в виде p – n-перехода
Полная модель прибора представляет собой модель
внутренней области, к которой подключены паразитные
сопротивления и емкости, отражающие внешнюю область.
Ширина обедненной области
р – п-перехода у стока больше,
чем у истока. Границы обеднения затвора и канала обозначаются
х
, хп1, хр2 и хп2. Эти координаты зависят от у. Ширина канала 2а.
р1
Допущения:
p – п-переходы смещены в обратном направлении и их
1)
токами можно пренебречь;
77
2) координаты границ плавно изменяются по длине канала
(условие плавной аппроксимации канала).
Из допущений следует, что ток протекает в области,
х
ограниченной координатами
аппроксимации следует, что в области канала потенциал
и хп2. Из условия плавной
п1
ϕ(х, у) ≈ ϕ(у).
С учетом этого выражение для плотности тока канала можно
записать в следующей форме:
⎞
⎛
ϕ
d
⎟
() ()
μ−=σ=
⎜
xNqEyJ
nyn
.
⎟
⎜
dy
⎠
⎝
Наибольшее влияние на плотность тока оказывает
зависимость
μ
п(Еу
).
Из условия плавной аппроксимации следует, что продольное
поле практически не зависит от
Е
сечения канала поле
постоянно.
у
х, т.е. в любой точке поперечного
С учетом этого
x
n
2
c
x
n
1
−==
n
x
n
2
d
ϕ
xdxjzI
dy
()
μ
∫∫
x
n
1
dxxNq
n
.
Так как в статическом режиме через любые сечения
протекает одинаковый ток, при интегрировании получим
x
n
2
μ=ϕ
∫
x
n
1
dxxNqLzg
n
,
,
где
ϕ
– потенциал стока.
с
Для вычисления
ϕ
c
()
ϕϕ−=
c
dgI
∫
0
() ()
g(ϕ) необходимо определить ширину канала
как функцию от напряжения. Для этого определяем ширину
x
обедненной области
n
U
– xp:
x
n
q
−=ϕ+
к
εε
0
()
dxxxN
∫
x
p
, (4.30)
ϕ
– контактная разность потенциалов.
где
к
Проводимость канала g(ϕ) фактически зависит от
напряжений затвора, поэтому в выражении
переменной:
78
U + ϕ
перейдем к другой
к
U1 = Uз1 – ϕ + ϕ
к1
или
U2 = Uз2 – ϕ + ϕ
U
1зс
(4.31)
где
ϕ
и ϕк2 – контактные разности потенциалов p – n-переходов с
к1
() ()
U
1зи
U
2зс
−=−=
∫∫
U
2зи
.
к2
,
dUUgdUUgI
2211с
двухсторон канала;
U
U
= Uз1 + ϕк1; U
зи1
= Uз1 –Uс + ϕк1; U
зс1
= Uз2 + ϕ
зи2
= Uз2 –Uс + ϕк2.
Зс2
к2
По второму закону Кирхгофа
U
+ ϕк1 – (Uз2 + ϕк2) – U1(y) + U2(y) = 0. (4.32)
з1
Уравнения (4.30) – (4.32) описывают работу транзистора.
х
Сначала по выражению (4.30) определяется зависимость
U
и U2; затем с использованием (4.32) U2 выражают через U1; затем
1
g(U
определяется
) и подставляется в (4.31). Получаем статический
1
и хп2 от
п1
ток транзистора.
79
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ БАЗОВОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
5.1. Достоинства дифференциально-разностных
методов
Несомненным достоинством рассмотренных выше методов
моделирования работы полупроводниковых приборов является их
универсальность. Однако такой подход к моделированию требует
большого объема памяти и значительных затрат машинного времени.
Поэтому переход к системе дифференциально-разностных уравнений
является альтернативным методом решения базовой системы
уравнений (1.1) – (1.5).
Уравнения в частных производных заменяются системой
обыкновенных дифференциальных уравнений, которые получаются
заменой пространственных производных разностными формулами [19].
Такие модели называются распределёнными математическими
моделями. Весь прибор разбивается на элементарные области,
каждая из которых заменяется эквивалентной схемой. Например, для
решения уравнения непрерывности базы для области внутри нее
выбирается ряд точек, и уравнения для каждой точки
аппроксимируются путем записи пространственной производной в
виде разности концентраций между соседними точками, производная
по времени записывается в дифференциальной форме. Полное
описание состояния подвижных носителей заряда в базовой области
можно теперь посчитать, решая систему из конечного числа
обыкновенных дифференциальных уравнений стандартными
методами. Полезным дополнением является разработка эквивалентной
схемы, состоящей из линейных элементов с сосредоточенными
параметрами, аналогичными элементами схем, которые представляют
физические процессы внутри прибора. Модель транзистора с
однозарядной базой отличается от модели дрейфового транзистора (с
неравномерным распределением примеси в базе) тем, что последний
имеет дополнительный элемент, который отражает внешнее поле.
Для преобразования уравнения непрерывности к дифференциальноразностной форме выбираем число точек разбиения с известными
значениями концентрации дырок
р(x, t) (рис. 5.1).
80