Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование полупроводниковых приборов. Курс лекций.pdf
Постоянные интегрирования K
и Kp легко получить введением
n
уравнений (2.11) и (2.12) в (2.9) и (2.10) при x = 0:
L
⎡
⎛
()
()
()
⎜
()
⎢
n
∫∫
⎜
⎢
O
⎝
⎣
L
⎡
()
⎛
⎜
()
γ−×=
⎢
⎢
⎣
p
∫∫
⎜
O
⎝
Затем выражения для K
x
⎛
()
x
⎜
−γ×=
⎜
O
⎝
x
⎛
()
x
⎜
⎜
O
⎝
и Kp , найденные из уравнений (2.13)
n
′′
() ()
() ()
⎞
⎞
⎟
⎟
+
′′
+
+
n
⎟
⎟
⎠
⎠
⎞
⎞
⎟
⎟
+
p
⎟
⎟
⎠
⎠
ϕ−ϕ−ϕ
eLndxKxdxvexen00
ϕϕϕ−
eLpdxKxdxvexep00
⎤
()
L
⎥
⎥
⎦
⎤
()
L
⎥
⎥
⎦
; (2.13)
. (2.14)
и (2.14), вводятся в (2.11) и (2.12) для получения окончательных
выражений для плотностей тока:
Lx
L
γ+−
n
n
p
x
−=
∫
0
x
=
∫
0
′′
+
xdxvxJ
)()(
L
′′
+
xdxvxJ
)()(
∫∫
00
L
∫
0
L
∫
0
ϕ−
γ
n
γ
p
x
)(
Lx
γ−−
p
∫∫
00
ϕ
x
)(
)(
⎡
ϕ−ϕ−ϕ−
x
)()()0(
⎢
⎣
)(
dxex
⎡
ϕϕϕ
x
)()0()(
⎢
⎣
dxex
⎤
′′
dxxdxvexeLnen
)()()()0(
⎥
; (2.15)
⎦
⎤
′′
dxxdxvexepeLp
)()()0()(
⎥
⎦
. (2.16)
Таким образом, базовые уравнения (2.1) – (2.5) преобразуются
к пониженной системе уравнений ((2.3), (2.9), (2.10) в сочетании с
соотношениями (2.15) и (2.16) и граничными условиями (2.7) и (2.8)).
В этой новой формулировке электрический потенциал ϕ,
плотности электронов n и дырок p выбираются как независимые
параметры и представляют собой неизвестные пониженной системы
уравнений.
Чтобы учесть при решении имеющиеся нелинейные
параметры, Гуммель предложил следующую итеративную процедуру:
1) устанавливается приложенное напряжение и выбирается
пробное распределение потенциала при отсутствии
рекомбинации в начале первого цикла;
2) подвижности рассчитываются как функции от
электрического поля и вводятся в уравнения (2.9), (2.10),
(2.15), (2.16);
31
3) по уравнениям (2.9), (2.10), (2.15), (2.16) рассчитываются
∂
плотности электронов и дырок как функции положения (x),
если заданы граничные условия для электронов и дырок;
4) с учетом новых значений распределения электронов и
дырок решается уравнение Пуассона, и уточняется
распределение потенциала.
Цикл повторяется до тех пор, пока не будет достигнута
требуемая точность. Точность определяется по разности решений
между двумя последовательными итерациями);
5) затем генерационно-рекомбинационная составляющая
рассчитывается в каждой итерации с учетом величин,
рассчитанных в предварительном цикле. Цикл повторяется до
установления заданных граничных условий (2.7).
Достоинства метода очевидны: полная свобода в выборе
распределения примеси, граничных условий для носителей заряда на
внешних контактах, зависимости подвижности от электрического
поля и уровня легирования, закона генерации – рекомбинации и
уровня инжекции.
2.3. Расчеты работы диода на переменном сигнале
2.3.1. Система уравнений для расчета
Для расчета работы диода на переменном сигнале
используются фундаментальные уравнения Пуассона, непрерывности
и переноса (1.1) – (1.5), но теперь при нестационарных условиях [18]:
32
1
),(
−=
txJ
n
txJ
p
γ
),(
−=
γ
p
E
∂
x
∂
∂
t
∂
⎡
⎢
),(
tx
⎣
n
1
⎡
⎢
),(
tx
⎣
),(
txn
),(
txv
),(),(
+
txEtxn
),(),(
+−
txEtxp
+−=
txJ
n
−−=
x
∂
),(
∂
txn
⎤
;
(2.17)
⎥
∂
x
⎦
),(
∂
txp
⎤
;
(2.18)
⎥
∂
x
⎦
);(),(),( xNtxntxp
(2.19)
),(
;
(2.20)
),(
∂
−≡ρ
[
]
=
[
]
=
[
]
=
[
]
=
),(
txp
∂
t
∂
),(
txv
−−=
),(),()(
txJtxJtJ
pn
txJ
p
;
(2.21)
x
∂
∂
),(
−+=
txE
;
(2.22)
∂
t
).(),(),(),( xNtxntxptx +
Граничные условия задаются с учетом изменяющихся
условий на внешних контактах:
В качестве начальных условий используются результаты
расчетов распределения концентраций электронов и дырок, а также
электрического поля в статическом режиме. Условия моделирования
различны при разных способах внешнего возбуждения:
1) общий ток через прибор точно определен J(t) в любой
момент времени t > 0 (переход, управляемый током). Выходное
напряжение может быть рассчитано из вспомогательного
соотношения
, (2.27)
tJ
;0)(=
∂∂x
),(
txE
0
0
L
∫
0
(2.23)
),(
tx
ϕ∂
;
−≡
(2.24)
x
∂
(2.25)
;),0(),,0(),0(
tJtJgtn
pnn
pnp
pnnL
pnpL
+−=
UdxtxEtU
),()(
;),0(),,0(),0(
tJtJgtр
(2.26)
;),(),,(0),( tLJtLJgtLn
;),(),,(0),( tLJtLJgtLp
da
где U
– диффузионный, или контактный, потенциал;
d
2) напряжение на контактах диода задается внешним
источником и может быть точно определено в любой момент
времени (управляемый напряжением переход);
33
3) имеется определенное соотношение между напряжением и
общим током. В этом случае и напряжение U
и ток J
a
рассчитываются как неизвестные.
2.3.2. Управляемый током переход
Система уравнений (2.17) – (2.22) может быть переопределена в
эквивалентной форме, удобной для расчетов. Если уравнение (2.17) и
(2.18) вставить в уравнение (2.22), измененное выражение может
быть представлено в виде:
⎡
txE
∂
∂
−=
t
1
−
γ
∂
tx
),(
txn
),(),(
⎢
γ
⎢
⎣
∂
+
tx
),(
γ
txn
1),(
+
γ
pn
⎤
txp
),(
tx
),(
pn
∂
txx
),(
txE
),(
⎥
⎥
⎦
x
∂
−
(2.28)
txp
),(
tJ
).(
−
Если (2.17) и (2.18) вставить в уравнения (2.20) и (2.21) и использовать
уравнение Пуассона, получим:
2
⎧
∂
⎪
∂
∂
∂
∂
1),(
txn
=
γ
n
txp
=
γ
p
∂
⎪
⎨
),(
txt
⎡
⎪
⎢
⎪
⎣
⎩
⎧
∂
⎪
⎪
1),(
⎨
),(
txt
⎡
⎪
⎢
⎪
⎢
⎣
⎩
⎡
),(
txn
⎢
2
x
⎣
),(),(
txntxp
2
x
∂
⎡
),(
txp
⎢
2
⎢
⎣
1
−+
),(
txE
γ
),(
tx
n
γ∂
−−
),(),(
txntxp
n
∂γ
),(
xtx
n
1
),(
txE
−+
γ
p
−−
p
⎤
γ∂
),(
tx
∂
n
⎥
∂
x
⎦
),(),(
txtxE
+
γ∂
p
),(
x
tx
∂
),(),(
txtxE
γ∂
p
+
),(
xtx
∂γ
⎫
),(
txn
+
⎪
∂
x
⎪
−
⎬
⎤
⎪
),()(
txnxN
⎥
⎪
⎦
⎭
⎤
),(
tx
∂
⎥
x
∂
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎦
(2.29)
);,(
txv
⎫
),(
txp
+
⎪
⎪
⎬
⎪
),()(
txpxN
⎪
).,(
txv
−
⎭
Нелинейные уравнения (2.28) и (2.39) с граничными условиями (2.26),
начальным приближением p(x, t), n(x, t), E(x, t) при t = 0 и
установленным внешним возбуждением J(t), t ≥ 0 представляют
собой математическую модель, эквивалентную исходной. В этой
форме E, n, p выбираются как независимые величины и представляются
неизвестными в уравнениях пониженного порядка.
Первый шаг численного решения такой системы уравнений
требует разбиения параметров дифференциальных уравнений на
конечное число точек по x и t. Затем дифференциальные уравнения
заменяются системой нелинейных алгебраических уравнений в
конечных разностях, как это показано в разд. 1. Дискретизация
34
уравнений параболического типа в частных производных выдвигает
проблему сходимости и устойчивости численных решений [12, 13].
Эти вопросы, а также методы решения таких систем уравнений
будут подробно рассмотрены на практических занятиях.
Пространственные распределения поля и плотности
подвижных носителей в исходный момент времени могут быть
определены из решения уравнений для статического распределения.
Устанавливается зависимость общего тока как функция времени, и
E, n, p определяются с помощью итеративной схемы расчета.
Пространственные распределения электрического поля,
плотностей электронов и дырок определенны в момент t
. Уравнение
0
(2.28) дает пространственное распределение E, которое затем
вводится в уравнения (2.29) для определения пространственного
распределения плотности электронов и дырок в момент t
.
1
Выходное напряжение может быть получено
интегрированием электрического поля (2.27). Затем итеративный
цикл с уже изученными распределениями плотностей подвижных
носителей заряда и электрического поля повторяется до тех пор, пока
не будет достигнуто конечное состояние для момента времени t
, т.е.
1
до получения заданной точности. Точность определяется по разнице
между исходными величинами поля для двух последовательных
итераций. После этого индекс времени увеличивается на единицу (t
).
2
Процедура повторяется до достижения конечного значения тока.
Предположенная итеративная схема является неявной и
сходится практически во всех рассмотренных случаях.
2.3.3. Переход, управляемый напряжением
В каждый момент времени известно значение напряжения, а
общий ток через прибор неизвестен и должен быть определен из
решения.
Для численного решения может быть использован тот же
итерационный алгоритм, что и для перехода, управляемого током. С
целью успешной интерполяции ток на вольт-амперной характеристике
«закрепляется» в определенной точке. Это позволяет рассчитать
выходное напряжение. Затем значение тока уточняется для
получения требуемого напряжения. В качестве начальных условий
используется решение для стационарного случая.
35
2.3.4. Взаимодействие полупроводникового прибора с пассивными элементами схемы
В случаях, рассмотренных в разд. 2.2.2 и 2.2.3, предполагалось,
что p – n-переход управляется идеальным источником напряжения
или тока. Более реальные условия требуют помещения во внешнюю
схему пассивных элементов для описания схемных паразитных
эффектов. Эта задача может легко решаться, если использовать
полученную систему уравнений в задаче управляемого током
перехода, к которой добавляются уравнения, описывающие
взаимодействие диода с внешними пассивными элементами. (Эти
вопросы рассматриваются в курсах электротехники и радиотехники.)
В этом случае плотность тока J(t) и напряжение U
зависят как от от свойств самого полупроводникового прибора, так и
от системы подключаемых пассивных элементов.
С увеличением числа подключаемых элементов время
получения решения увеличивается.
Таким образом, показано как на основе базовой системы
дифференциальных уравнений (1.1) – (1.5) моделируется работа
полупроводникового диода в стационарном и динамическом
режимах. Такой подход позволяет рассчитывать характеристики
диодных структур для произвольно заданных профилей
распределения примесей и граничных условий, а также дает
возможность проводить моделирование работы прибора в условиях
эксплуатации и внешних воздействий, при которых меняются
параметры самого полупроводникового материала.
(t) численно
a
36
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ
БИПОЛЯРНОГО ТРАНЗИСТОРА
3.1. Математическая модель одномерного транзистора
3.1.1. Система уравнений для расчета транзистора
При анализе работы биполярного транзистора необходимо и
достаточно знать распределения концентрации электронов и дырок и
электрического поля. Эквивалентная информация обеспечивается,
если известны электростатический потенциал ϕ и квазиуровни
Ферми электронов (ϕ
рассчитываются из системы дифференциальных уравнений (1.1) – (1.5).
Подход к решению задачи [17] моделирования работы
биполярного транзистора основан на том факте, что для транзистора
с узкой базой (например, p – n – p) ϕ и ϕ
рекомбинации, пока она не становится высокой. Если рекомбинация
пренебрежимо мала – ток дырок в транзисторе постоянен и ϕ
быть выражен интегралом, содержащим ϕ.
Для моделирования работы полупроводникового транзистора
используются следующие исходные данные:
1) профиль распределения легирующих примесей во всех
областях транзистора;
2) зависимости подвижности электронов и дырок от уровня
легирования и электрического поля (см. разд. 1);
3) закон рекомбинации избыточных носителей заряда, в
простейшем случае – рекомбинация Шокли – Холла – Рида;
4) напряжения, приложенные к эмиттеру и коллектору,
известны.
Пусть p и n нормированы к собственной концентрации (n
Концентрации n и p зависят от потенциалов ϕ (потенциал нормирован к
величине kT/q), ϕ
n
величине kT/q) следующим образом:
(3.1)
) и дырок (ϕp). Все эти величины
n
почти не изменяются при
p
может
p
).
i
и ϕp (квазипотенциалы также нормированы к
ϕ−ϕ
=pep
;
37
ϕ−ϕ
′
n
en
. (3.2)
=
Эти уравнения представляют аппроксимацию статистики Больцмана,
имеющей место, пока величины ϕ
половины ширины запрещенной зоны E
ϕ и ϕ – ϕр не превышают
n –
/2. Эта аппроксимация
g
является ограничением применимости модели.
Плотность тока задается суперпозицией диффузионной и
дрейфовой составляющих:
−= pn
′
kT
qpnqDJ
μ−
q
ϕ
p
, (3.3б)
′
где = ∂p/∂x, ϕp
= ∂ϕ/∂x соответственно.
−= eenqDJ
′
)(
ipp
′
ϕ
, (3.3а)
ipipp
ϕ−
При переходе от (3.3а) к (3.3б) используются соотношения
Эйнштейна и (3.1) и (3.2). Если дебаевскую длину экранирования L
D
используем, как единичную длину и qD0ni/LD как единичный ток
(см. табл. 1.1), получаем нормализованную плотность тока
D
ϕ
J
p
p
−= ee
D
0
ϕ−
p
′
)(
. (3.4)
Соответственно для электронного тока
D
ϕ
J
n
n
−= ee
D
0
ϕ−
n
′
)(
. (3.5)
Если рекомбинация неосновных носителей отсутствует, то
плотности J
который задается скоростью рекомбинации v(n, p) в 1/(с⋅см
и Jn будут постоянны. Рекомбинационный процесс,
p
2
),
приводит к изменению плотности тока электронов и дырок:
v
′
−
2
LJJ
Dnp
v
≡==
. (3.6)
nD
i
0
Если рекомбинация проходит через одиночный уровень Шокли –
Холла – Рида, то
ϕ−ϕ
np
nv
=
i
e
ϕϕ−ϕ
tn
1
−
ϕ−ϕ
p
np
+τ++τ
. (3.7)
ϕ−
t
)()(
eeee
Потенциал определяется из решения уравнения Пуассона:
38
, (3.8) Nee
M
R
′′
ϕ−ϕ
n
ϕ−ϕ
p
−−=ϕ
где N – концентрация легирующей примеси, нормированная к n
–
i
положительная для доноров и отрицательная для акцепторов.
Уравнение (3.1) при использовании уравнения (3.8) вместе с
граничными условиями полностью определяет решение.
Рассмотрим p – n – p структуру, которая приведена на рис. 3.1.
Эмиттер
0
Рис. 3.1. Пример структуры транзистора для моделирования
База
Коллектор
Принимается, что в точке М квазипотенциал ϕn(М) равен
нулю. Обычно ϕ
точки М в базе не критичен. Если ϕ
постоянен в базе и поэтому выбор положения
n
не является величиной
n
постоянной в базе транзистора (например, при больших токах), то и
одномерный расчет, который рассматривается в данном случае, не
является корректным. Принимаем, что в крайних точках О и R
подвижные носители заряда находятся в состоянии
термодинамического равновесия (ϕ
= ϕn), (при бесконечной скорости
p
рекомбинации). Это допущение позволяет установить потенциал ϕ,
если известны квазипотенциалы ϕ
и ϕn.
p
Исходя из вышесказанного, граничные условия
устанавливаются следующим образом:
ϕ
ϕ
ϕ
(0) = ϕn(0) = qUэб/kT; (3.9)
p
(R) = ϕn(R) = qUкб/kT; (3.10)
p
(М) = 0; (3.11)
n
⎛
⎛
⎜
−ϕ=ϕ
ln)0()0(
p
⎜
⎜
⎜
⎝
⎝
2
)0(
⎞
−+
1
⎟
2
⎠
⎞
NN
)0(
⎟
; (3.12)
⎟
2
⎟
⎠
39
⎛
(
′
⎛
⎜
ln)()(
−ϕ=ϕ
RR
p
⎜
⎜
⎜
⎝
⎝
2
)(
⎞
−+
1
⎟
2
⎠
⎞
)(
RNRN
⎟
. (3.13)
⎟
2
⎟
⎠
Уравнения (3.12) и (3.13) получаются, если правую часть уравнения
(3.8) приравнять нулю.
3.1.2. Обобщенное соотношение Mолла – Росса
Введем обозначения:
D
Плотность рекомбинационного тока определяется как
(3.16)
n
Уравнение (3.4) может быть переписано в виде
0
=γ , (3.14)
p
D
p
D
0
=γ
n
. (3.15)
D
n
x
=
dttvxJ
∫
0
.)()(
ϕ
p
)
ϕ
γ−=
eJe
. (3.17)
pp
Интегрирование уравнения (3.17) дает следующий результат:
x
x
ϕ
)(
. (3.18)
p
p
∫
0
Теперь задача найти плотность тока
интегрирования
С так, чтобы ϕ
имело величину, согласованную с
р
t
)(
ϕ
)()(
СdtetxJe
+γ−=
J
и постоянную
p
граничными условиями.
Для начала примем, что рекомбинация отсутствует и
)(
x
ϕ
const. Введем обозначение ) и разделим
B
(x), которая управляется эмиттером, и Bк(x) – которая управляется
э
p
(
xBe
=
B(x) на 2 части –
J
=
p
коллектором.
Введем вспомогательную функцию
40