Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование полупроводниковых приборов. Курс лекций.pdf
; (3.81)
[
]
ϕ∇ϕ−μ
∇
[
]
ϕ∇ϕ−μ
∇
ϕ
∂
2
Npn−ϕ−ϕ−ϕϕ=ϕ∇ )exp()exp(
)exp( ; (3.82)
)exp( . (3.83)
Rpp=
Rpp=
На эмиттерном, базовом и коллекторном контактах имеет
место термодинамическое равновесие подвижных носителей заряда и
нейтральность заряда. Если на контакты подается потенциал, то
граничные условия имеют следующий вид:
U
⎞
⎛
упр
⎟
⎜
⎜
⎝
N
конт
n
i
;exp
⎟
U
t
⎠
(3.84)
⎞
⎟
⎟
⎠
.ln
U
+
упр
где U
N
1
−
=ϕ=ϕ
np
⎛
⎜
⋅=ϕ
U
t
⎜
⎝
– управляющее напряжение, которое равно Uэ, 0 или Uк.
упр
= концентрации донорной примеси на контактах.
конт
Принимается, что структура симметрична относительно оси
ML и перенос носителей заряда осуществляется вдоль NK только в
глубь структуры (ось x). Поэтому на ML и NK граничные условия
имеют следующий вид:
ϕ∂
=
∂
∂
ϕ∂
p
n
=
∂
.0=
(3.85)
yyy
На поверхности, покрытой SiO
, нормальная поверхностная
2
компонента тока определяется скоростью поверхностной
рекомбинации v
– эффективная скорость поверхностной рекомбинации.
где r
s
:
s
−
ϕ∂
p
U
eUn
μ
tip
nvr
⋅=
iss
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
μ=
x
∂
U
+ϕ
n
ϕϕ
ϕ∂
U
n
tt
eUn
tin
∂
ϕϕ
−
1
np
⎛
⎞
⎜
⎟
⎟
⎟
⎠
ee
psp
⎜
⎜
⎝
;
r
=
s
x
(3.86)
ϕϕ
U
tt
+ϕ+τ
.
⎞
⎟
11
τ
sn
⎟
⎟
⎠
51
Нормальная компонента электрического поля определяется
плотностью поверхностного заряда
предположить, что электрическое поле в SiO
Q
⎜
S
⎝
отсутствует.
2
x
∂
, если
⎟
Si
⎠
ϕ∂
⎛
⎞
ε=
Задача решается в такой последовательности:
1) вся область моделирования разбивается на малые
интервалы (рис. 3.5). При этом интервалы разбиения не обязательно
должны быть равны между собой;
i, j-1
i, j-1/2
h
i+1, j
Рис. 3.5. Сетка разбиения области моделирования на интервалы
i+1/2, j
h
при расчетах двухмерных эффектов
i, j
i, j + 1/2
i, j+1
i – 1/2, j
i – 1, j
2) после этого система дифференциальных уравнений
преобразуется в систему разностных нелинейных алгебраических
уравнений;
3) система алгебраических нелинейных уравнений
линеаризуется подобно итерационной схеме Гуммеля для
одномерного случая. Решается уравнение Пуассона;
4) так как подвижности μ
зависят от электростатического потенциала, уточняем их для ϕ
, μn и скорость рекомбинации
p
(x, y);
точн
5) используя значения для ϕ, μp, μn, представляем уравнение
непрерывности в разностной форме.
После вычислений ϕ
и ϕn новое значение вектора ϕ
p
определяется в той же последовательности.
52
3.5. Моделирование трехмерной структуры
ϕ
Рассмотренные ранее двухмерные модели обеспечивают
точность расчета, когда эффектом вдоль z можно пренебречь, т.е.
z >> x, y, но, как правило, в интегральных микросхемах x, y ≅ z и
базовые уравнения записываются в трехмерном виде [2]:
2
2
2
∂
2
+
=∇
2
∂
Но решение такой задачи слишком громоздко, поэтому для ее
упрощения делается ряд допущений:
1) глубина p – n-перехода меньше диффузионной области yz;
2) краевыми эффектами у боковых граней p – n-перехода
пренебрегаем;
3) перенос неосновных носителей заряда через базу в
коллектор происходит только в направлении x;
4) токи неосновных носителей заряда в базе и коллекторе в
направлениях y и z пренебрежимо малы, а токи основных носителей
определяются только дрейфовой составляющей;
5) транзистор работает в квазистационарном режиме;
При таких допущениях от трехмерных уравнений можно
перейти к двухмерным.
Проинтегрировав трехмерную систему по х в пределах х
получим, что распределение потенциала ϕ(y, z, t) в диффузионном
слое описывается уравнением вида
∂
∂
+
. (3.87)
2
2
∂
zyx ∂
и х2,
1
где – плотность тока генерации-рекомбинации;
2
x
2
=
),,(
r
qdxqtzyJ
∫
x
1
⎡
r
⎢
⎣
∂
ϕ+ρ=ϕ∇ ),,()(),,(),(),,(
CtzyJzytzy
ϕ
∂
t
⎤
tzy
, (3.88)
⎦
=ϕ dtzydQС /),,()( – удельная емкость слоя;
x
2
=
∫
x
1
),,,(),,(
dxtzyxpqtzyQ или – плотность
x
2
),,,(
∫
x
1
dxtzyxnq
заряда подвижных носителей;
53
1
′
′
x
2
⎡
⎢
p
∫
⎢
x
1
⎣
ρμ=ρ
−
⎤
– поверхностное сопротивление
⎥
),,,(),,(),(
dxtzyxzyxqzy
⎥
⎦
диффузионного слоя р-типа (аналогично для n-типа).
В интегральном транзисторе можно выделить области,
отличающиеся профилями распределения примеси, следовательно, и
величиной удельного сопротивления диффузионных слоев:
I – активная область под эмиттером;
II – пассивная область вне площади эмиттера;
III – периферийная область вне области базы.
Учитывая, что сумма зарядов в правой части уравнения
Пуассона равна общему току инжекции в диффузионной области
p – n-перехода, уравнения, описывающие распределение потенциала
в базе и коллекторе, можно привести к виду (эмиттер объединен с
подложкой):
- для активной области транзистора
2
⎡
⎢
⎣
2
⎡
−ρ′=ϕ′∇
⎢
⎣
- для пассивной области вне площади эмиттера
2
=ϕ′′∇
2
- для пассивной области вне площади базы и коллектора
где ϕ
(y, z, t), ϕбк(y, z, t) – потенциалы базы относительно эмиттерного и
бэ
∇
коллекторного контактов.
′
α′−ρ′=ϕ′∇
−+
′α′
+
CJJ
IN
+
экэббэ
dt
′
ϕ
d
бэ
′
′
ϕ
d
⎤
бк
′
C
к
dt
,)1()1(
⎥
⎦
(3.89)
′
′α′
+
⎛
′′ρ′′
+
СJ
⎜
⎝
−
+
′′
ккббэ
CCJJ
кэккбк
d
ϕ
⎞
бк
,
⎟
dt
⎠
+
dt
′
ϕ
d
′
′
′
ϕ
d
⎤
бэбк
′
C
nnN
dt
;)(
⎥
⎦
(3.90)
′′
d
⎡
−ρ′′=ϕ′′∇
⎢
⎣
2
′′′
′′
′′
=ϕ
−
+
кккбк
d
C
п
dt
ϕ
′′
CCJ
+
dt
′′′
′′′′′′ρ′′′
ϕ
−ϕ
бкбэкбк
′′
d
ϕ
⎤
бэ
dt
;)(
⎥
⎦
C
nn
),(
(3.91)
54
⎡
=∂ϕ
∂
⎛
ϕ
бэ
JtzyJ
=
⎜
⎢
э0э
⎜
m
⎢
⎣
ϕ
⎝
⎤
⎞
⎟
;1exp),,(
−
⎥
⎟
⎥
T
⎠
⎦
(3.92)
⎡
⎛
ϕ
бк
JtzyJ
=
ρ
и ρ
б
– поверхностное сопротивление диффузионных слоев
к
⎜
⎢
к0к
⎜
m
⎢
⎣
ϕ
к
⎝
⎤
⎞
⎟
;1exp),,(
−
⎥
⎟
⎥
T
⎠
⎦
базы и коллектора;
Cэ(ϕбэ), Cк(ϕбк), Cп(ϕкп) – удельные емкости эмиттера, коллектора
подложки, включая барьерную и диффузионную;
′α′
α
– нормальный и инверсный коэффициенты переноса через
IN
активную область базы.
Удельные параметры находятся из расчета одномерной
(вдоль х) полупроводниковой структуры.
Граничные и реальные условия записываются в следующем виде:
- на границе между внутренними i и (i + 1) областями прибора
)(
i
1
ϕ∂
i
)(
ρ
tzy
i
n
∂
−=
ρ
)1(
i
+
)1(
i
+
ϕ∂
∂
tzy
),,(1),,(
;
. (3.93)
1
+
i
n
- на внешней границе диффузионной области
,0/),,(
ntzy (3.94)
где n – нормаль к граничной диффузионной области;
- в пределах площади омических контактов потенциал не
зависит от координаты и является функцией времени:
ϕ(y, z, t) = U
(t). (3.95)
упр
Токи через выводы транзистора Ij рассчитывают через
определенный интеграл:
где Ω
– периметр омического контакта (j = э, б, к, п – подложка).
j
=
)( ds
tI
j
ϕ∂
∫
ρ
Ω
j
dn
),,(1
tzy
(3.96)
,
Для расчета потенциала используется метод конечных
разностей:
55
2
1,1,
Δρ=Δρ−
zyCjzy
ijijijij
5123
+−+−
,1,1
ϕ
d
⎞
⎛
ij
2222
⎟
⎜
⎜
⎝
dt
.
⎟
⎠
222
)(2)()(
yzyz
−ϕΔ+Δ−Δϕ+ϕ+Δϕ+ϕ
jijijijiji
,
(3.97)
4
Рис. 3.6. Пример транзисторной структуры для моделирования
трехмерных эффектов: 1 – область эмиттера; 2 – область базы;
3 – контакт базы; 4 – область коллектора; 5 – контакт коллектора
Пример структуры для расчета показан на рис. 3.6.
Моделирование осуществляется в два этапа:
1) решаются одномерные уравнения для определенных
электрических характеристик полупроводниковой структуры;
2) решается двухмерная система, описывающая распределение
потенциалов в диффузионной области базы и коллектора, и на
основе полученных результатов рассчитываются выходные
параметры.
56
4. УНИПОЛЯРНЫЕ ТРАНЗИСТОРЫ
(
(МДП-ТРАНЗИСТОРЫ)
4.1. Основные уравнения МДП-компонентов
Уравнения для моделирования работы МДП-транзисторов
получаются из общих уравнений (1.1) – (1.5) с учетом эффекта поля
и при введении следующих корректных допущений [2]:
1) заряд переносится его основными носителями;
2) генерация и рекомбинация практически не влияют на
перенос заряда;
3) подложка не вырождена;
4) поверхностные состояния характеризуются плотностью N
5) поперечная составляющая электрического поля в
инверсном слое много больше продольной, и значит выполняется
условие плавной аппроксимации канала, предложенной Шокли, т.е. в
большинстве случаев полевой эффект в МДП-структурах может быть
описан одномерным уравнением Пуассона, а процесс переноса –
одномерным уравнением непрерывности:
2
ϕ∂
s
2
x
∂
⎞
⎛
q
⎟
⎜
−=
(
⎟
⎜
εε
0
⎠
⎝
)
(4.1)
;
NNnp
−+−
AD
;
ss
⎛
∂
n
∂
ϕ
– поверхностный потенциал.
s
⎞
1
⎜
⎟
qt
⎟
⎠
()
(4.2)
,div
j
n
−=
⎜
⎝
В случаях, когда рассматривается только поверхность, и
поверхностный потенциал обозначается через ϕ:
U
⎛
=
⎜
nn
i
⎜
⎝
=
np
i
⎞
ϕ−ϕ
n
⎟
=
⎟
U
t
⎠
⎛
p
⎜
⎜
U
t
⎝
⎛
⎜
n
i
⎜
U
⎝
ϕ−ϕ
⎞
⎟
=
⎟
⎠
⎛
⎜
n
i
⎜
⎝
⎞
⎟
=
n
0
⎟
⎠
⎞
ϕ−ϕ
F
⎟
=
p
0
⎟
U
⎠
)
ϕ−−ϕ
−ϕ
U
⎛
⎜
⎜
⎝
⎛
ϕ
⎜
⎜
U
⎝
⎞
ξξttF
⎟
;expexpexp
(4.3)
⎟
U
⎠
⎞
⎟
,expexpexp
(4.4)
⎟
tt
⎠
57
где U
[
(
ϕ
−
= ϕn – ϕp – разность между квазиуровнями Ферми для
ξ
электронов и дырок.
Представим плотность тока в следующем виде:
ϕ
.
d
μ−= (4.5)
qnJ
dy
dD
dn
dy
Интегрируя уравнение (4.2) по глубине канала х
удельный заряд электронов и через μnе поверхностную
Q
n
qn
dU
ξ
μ−=+
nnnn
dy
и обозначая через
кан
эффективную подвижность:
x
кан
n
ϕ
F
n
==
qndxqQ
∫∫
ϕ
;0ϕ
d
ϕ
d
dx
x
кан
q
nе
∫
Q
n
,0dxn
μ=μ
n
получаем
∂
U
⎛
.
dQ
∂
n
⎜
=
μ
Q
⎜
∂
ydt
⎝
⎞
ξ
⎟
nеn
(4.6)
⎟
∂
y
⎠
Заряд электронов Qn можно выразить через потенциал ϕ и
квазиуровни Ферми и нормализованную величину электрического поля:
1
U
()
{
−
ξ−
]
U
U
−
[]
U
FF
2
}
;11
eUeeUeeF +−+−−=
где U, U
U
F
−=
LnQ
Din
∫
U
S
=
L
D
, US, ξ – нормализованные к величине Ut значения ϕ, ϕF, ϕS, Uξ.
F
−ξ−
UU
F
e
ξ
UUF
⎛
εε
kT
0
⎜
2
⎜
()
2
nq
⎝
i
;
dU
(4.7)
),,(
F
1
2
⎞
⎟
,
⎟
⎠
Уравнение выражает закон Кирхгофа для потенциала
)
58
+
д
S
0
П
xU
−εε
εε
0
d
U
QUUF
SSFS
=
МДПз
,
ϕ
(4.8)
т
– толщина диэлектрика;
(
)
ϕ
−
где x
Д
ε
– диэлектрическая проницаемость полупроводника;
П
Q
U
= qNSS – заряд поверхностных состояний;
SS
– напряжение на затворе;
з
ϕ
= ΦМ – [χ + (EC – EV)/2 + ϕF] – контактная разность
МДП
потенциалов МДП-структуры;
χ – сродство к электрону.
Совместное решение уравнений (4.6) – (4.8) определяет
характеристики МДП компонент.
Для МДП-транзистора граничными условиями являются
значения напряжения истока и стока.
U
(0, t) = Uи, Uξ.(L,t) = Uс.
ξ
Порядок расчета характеристик МДП-транзистора следующий:
1) из уравнения (4.6) для данного ξ определяют значения U
2) подставив U
(ξ) в (4.7) вычисляют Qn (ξ);
S
S
(ξ);
3) затем осуществляют один шаг интегрирования по времени
уравнения (4.6).
Таким образом, рассчитывают U
(y, t), Qn(y, t) и полный ток в
ξ
канале:
dU
⎞
⎛
ξ
⎟
()
, . (4.9)
⎜
zQtyI
μ−=
nn э
⎟
⎜
dy
⎠
⎝
Такой подход позволяет полностью вычислить
характеристики, но связан с большими вычислительными затратами.
Поэтому целесообразно ввести упрощения, не снижающие точности.
Так как проводящий канал тонкий (≅ 100 А) и сильно
обогащен носителями, можно считать заряд локализованным у
поверхности полупроводника, т.е. можно пренебречь изменением
потенциала по глубине канала (от 0 до х
связь Q
и поверхностного потенциала ϕ может быть установлена из
n
). Отсюда следует, что
кан
условий электронейтральности (теорема Гаусса), которая в
соответствии c допущением 5 (см. с. 57) должна соблюдаться для
каждого сечения МДП-структуры:
Q
где Q
– заряд, определяемый напряжением на затворе;
з
ϕ−=
Q
пов
UСQ . (4.11)
– заряд, определяемый поверхностными состояниями;
МДПздз
+ Qn + Q
з
+ Qoc = 0, (4.10)
пов
59
– заряд обедненного слоя.
+++
(
Q
oc
Для n-канального прибора
Q
= СдВосϕ ,
ос
2
Nq
εε
A
где
В
=
ос
– концентрация примеси в подложке p-типа;
N
A
– емкость диэлектрика.
C
Д
0П
С
д
Уравнение (4.6) перепишем, выделив дрейфовую и диффузионную
составляющие токов, и заменим интеграл, который получается при
интегрировании уравнения (4.2) по глубине канала:
x
n
∂
q μ
y
∂
x
канкан
∂
qdx
=
n
∫∫
y
∂
00
ndx
=μ
∂
∂
(
Q
y
)
. (4.12)
э
nn
В результате получим уравнение непрерывности для
удельного заряда канала:
Q
∂
∂
⎡
∂
n
Q
=
⎢
yt
∂
⎣
ϕ∂
μ
∂
ϕ−
∂
(
yy
∂
μ
⎤
)
Q
. (4.13)
nnTnn
ээ
⎥
⎦
Для р-канала уравнения перепишутся в виде
=
Q
∂
p
=
∂
p
⎡
∂
Q
μ
⎢
yt
∂
⎣
QQQQ
ϕ∂
ϕ+
∂
; (4.14)
0
ocповз
∂
(
μ
yy
∂
⎤
)
Q
. (4.15)
pppp
этэ
⎥
⎦
Другое упрощение связано с аппроксимацией зависимости
заряда обедненного слоя подложки от потенциала канала.
Для р-канального прибора
,
где
В
2
=
ос
Nq
εε
0п
D
С
– коэффициент, учитывающий обедненный
д
ϕ−= ВCQ (4.16)
осдoc
слой подложки.
N
Подставим (4.11), (4.15) в (4.14) и выразим Q
60
– концентрация примеси в подложке n-типа.
D
:
p
p
)
осдповМДПзд
.
ϕ−−−ϕ−ϕ−−= ВСQUCQ
(4.17)