Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краевые задачи колебания пластин. Монография
.pdf
О.А.Егорычев,О.О.Егорычев
КРАЕВЫЕЗАДАЧИ
КОЛЕБАНИЯПЛАСТИН
Московский
строительный
государственный
университет
Москва2010
УДК 539.3
Р е ц е н з е н т ы
директор ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко, д-р техн. наук, академик
Петровской академии, советник Российской академии архитектуры
и строительных наук РААСН, чл.-корр. московского отделения
Международной академии архитектуры Ю.П. Назаров;
проректор по научной и инновационной работе, зав. кафедрой
железобетонных и каменных конструкций, лауреат премии Правительства
РФ, советник РААСН, проф., д-р техн. наук В.И. Морозов (СПбГАСУ)
Егорычев О.А., Егорычев О.О. Краевые задачи колебания пла-
стин: монография / ГОУ ВПО Моск. гос. строит. ун-т. – М.: МГСУ,
2010. – 167 с.
ISBN 978-5-7264-0504-9
В монографии представлены результаты исследований по теории
колебаний плоских элементов.
Сформулированы постановки краевых задач колебаний плоских
элементов и представлены методы их решения.
В главах 1 – 3 на основе рассмотрения сплошных сред в трехмерной постановке выведены общие и основанные на них приближенные
уравнения продольных и поперечных колебаний ограниченных, однородных, изотропных пластин постоянной толщины. Использованы
пределы применимости приближенных уравнений.
В главах 4, 5 и 6 определены уравнения колебаний трехслойной
пластины, предварительно напряженных пластин и пластин переменной толщины.
Монография предназначена для научных работников, аспирантов
и студентов старших курсов.
Рекомендовано Научно-техническим советом МГСУ
ISBN 978-5-7264-0504-9 © Егорычев О.А.,
Егорычев О.О., 2010
© МГСУ, 2010
ВВЕДЕНИЕ
При рассмотрении задач о колебании пластин и плоских элементов
приходится решать основной вопрос – постановка краевой задачи, т.е. выбор уравнения движения, описывающего динамическое поведение пластин и формулировка граничных условий в любой необходимой точке
среды в любой заданный момент времени. При этом, выбранное уравнение должно иметь решение, быть единственным, обладать устойчивостью,
т.е. малые изменения граничных и начальных данных вносят малые изменения в итоговый результат решения.
Из теории уравнений математической физики известно, что любое
уравнение, описывающее колебания, должно принадлежать к уравнению
гиперболического типа.
Одним из первых уравнений, описывающих поперечные колебания
пластин, было уравнение Кирхгофа, однако это уравнение параболического типа, полученное при использовании геометрических гипотез. Оно
удовлетворяет только медленно протекающим низкочастотным процессам
и определяет лишь одну частоту собственных колебаний.
В дальнейшем многими авторами предлагались новые уравнения колебаний, наиболее известные из них – гиперболические уравнения Тимошенко.
Указанные теории, основанные на ряде гипотез и предположений, не
позволяют получать уравнение колебаний более высокого порядка по
производным от нескольких функций и получать строго обоснованные
краевые условия.
Одним из основных методов построения приближенных уравнений
теории колебаний пластин является метод степенных рядов, впервые используемый еще в работах Пуассона и Коши. С помощью этого метода
трехмерная задача динамической теории упругости приводится к приближенной двухмерной.
Математическое обоснование метода степенных рядов дано на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации Г.И. Петрашень.
В дальнейшем этот метод был расширен и использован для вывода
уравнений колебаний различного вида пластин в работах И.Г. Филиппова
и О.О. Егорычева. Этот подход отличает относительная свобода от предварительных гипотез, что дает возможность получать для уравнений любого порядка однозначные формулировки начальных и граничных условий.
3
ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОДНОРОДНОЙ
}
x
y
x
−
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
∂
∂
x
σ
σ
x
σ
λ
ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ
§1. Математический подход к построению теории колебаний пластин
Рассмотрим бесконечную в плане изотропную однородную упругую
пластину толщиной 2h , прямоугольную декартовую систему координат
OXYZ выберем таким образом, чтобы плоскость XOY совпадала со сре-
динной плоскостью пластины, а тогда область, занимаемая пластиной в
недеформированном состоянии, будет иметь вид (рис. 1.1.1):
,;
{
yhzh−∞ < < +∞ − ≤ < (1.1.1)
z
h
0
h
Рис. 1.1.1
Уравнения движения пластины как трехмерного тела имеют вид [91]:
σσ
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂
σ
∂∂∂
∂
xx xz
xy
++=
xxx
σσ
xy yy yz
++=
xxx
∂
xz
++=
∂
σ
yz
zz
xxx
2
u
2
t
2
v
(1.1.2)
2
t
2
w
2
t
где u, v, w – компоненты вектора перемещений u соответственно на x, y, z,
ρ - плотность материала пластины. Компоненты тензора напряжений
связаны с компонентами тензора деформаций законом Гука:
2; 2;
λθ με σ λθ με
=+ =+
xxxyyyy
2; ;
λθ με θ ε ε ε
=+ =++ (1.1.3)
zz zz xx yy zz
; ; ;
με σ με σ με
===
yxyxzxzyzyz
,
μ
где
4
- константы Ламе.
Компоненты тензора деформаций удовлетворяют соотношениям Коши:
x
x
x
x
}
f
}
f
}
f
ω
ω
uuv
∂∂∂
==+
εε
xx xy
εε
yy xz
εε
xx yz
; ;
∂∂∂
vuw
∂∂∂
==+
; ;
∂∂∂
yzx
wvw
∂∂∂
==+
; .
zzy
∂∂∂
yx
(1.1.4)
Для материала, удовлетворяющего соотношениям (1.1.3) и (1.1.4)
уравнение движения в перемещениях имеет вид:
Δ+ + =
ugraddivu
μλμ ρ
()
2
∂
u
, (1.1.5)
2
∂
t
где Δ - оператор Лапласа.
Рассмотрим метод построения уравнения колебаний пластин, основанный на математическом подходе [143].
Пусть колебания бесконечной в плане изотропной упругой пластины
толщиной 2h вызываются внешними усилиями:
,,, ,,
σ
σ
σ
yzt f xyt
()()
zz z
,,, ,,
yzt f xyt
()()
xz xz
,,, ,,
yzt f xyt
()()
yz yz
=
zh
=±
= ; (1.1.6)
=±
zh
=
=±
zh
±
±
±
;
и пусть функции, описывающие эти усилия, представлены в виде:
∞∞
sin
kx
±±
,, ,,
xyt dk dq f kqpe dp
()
z
±±
xyt dk dq f kqpe dp
()
xz
±±
xyt dk dq f kqpe dp
()
yz
=
,, ,,
=
,, ,,
=
()
∫∫∫
cos
−
kx
()
00
∞∞
cos
kx
⎫
()
sin
kx
()
sin
kx
()
cos
kx
−
()
⎬
⎭
∫∫ ∫
00
∞∞
∫∫∫
00
sin
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭
qy
()
cos
−
sin
qy
()
cos
−
()
cos
()
sin
qy
()
qy
()
qy
qy
L
()
xz
L
()
yz
L
()
pt
()
,0
z
()
,0
()
,0
;
pt
; (1.1.7)
pt
,
при этом, несобственные интегралы, входящие в эти представления для
внешних усилий, существуют при условии, что параметры преобразований Фурье по координатам (х,у) и Лапласу по времени (t) удовлетворяют
неравенствам:
kk qq Jp
где
; ;
≤≤ ≤, (1.1.8)
00 0
,,kq
00 0
- конечные величины.
m
Следовательно, внешние усилия не являются ни высокочастотными, ни
концентрированными, иначе говоря, длины распространяющихся волн как
по времени, так и по координатам превосходят поперечные размеры пластин.
5
Начальные условия нулевые:
=
}
}
}
)
x
φ
xy
ψ
φ
ψ
ψ
ψ
∂
φ
φ
x
ψ
σ
φ
x
uvw
uvw
== = = = =
∂∂∂
ttt
∂∂∂
0,
при этом 0.t
Исходя из вида возбуждающих усилий (1.1.6), общее решение задачи (1.1.1)- (1.1.5) запишем в виде:
∞∞
sin
kx
,,
u x y t dk dq u e dp
()
v x y t dk dq v e dp
()
w x y t dk dq w e dp
()
,,
,,
=
=
()
∫∫∫
cos
kx
−
()
00
∞∞
cos
kx
⎫
()
sin
kx
()
sin
kx
()
cos
kx
−
()
⎬
⎭
∫∫ ∫
00
∞∞
=
∫∫∫
00
sin
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭
qy
()
cos
−
sin
qy
()
cos
qy
−
()
cos
()
sin
()
qy
()
()
qy
qy
0
L
()
0
L
0
L
()
pt
pt
pt
Так как колебания пластины будем рассматривать в линейном приближении, то удобнее перемещение
,,,
дольных и
()
ugrad rot
=+
ψ
zt
- поперечных волн:
; (1.1.11)
(1.1.9)
;
; (1.1.10)
.
,,,
u
представить в виде
(
yzt
- про-
при этом, векторный потенциал поперечных волн
рять дополнительному условию
0div
=
или 0
ψ
∂
x
++=
xyz
∂∂∂
ψ
∂
y
z
. (1.1.12)
Уравнение движения в потенциал имеет вид:
2
⎫
2
λμφρ
+Δ=
()
2
μψ
Δ=
ψ
∂
2
t
∂
Перемещения u, v, w через потенциалы
ψ
∂
φ
∂
u
=+ −
∂∂ ∂
ψ
∂
φ
∂
=+ −
v
∂∂ ∂
yz x
ψ
∂
φ
∂
=+ −
w
∂∂ ∂
zx y
Аналогично напряжения
,,,.ij xyz=
σλφμ
=Δ+ + −
xx
∂
⎪
2
⎪
t
∂
. (1.1.13)
⎬
⎪
⎪
⎭
,
ψ
выражаются по формулам:
⎫
ψ
∂
z
yz
x
z
y
⎪
⎪
⎪
ψ
∂
⎪
z
. (1.1.14)
⎬
⎪
⎪
∂
y
⎪
⎪
⎭
выражаются через ,
ij
2
⎛⎞
∂
⎜⎟
2;
⎜⎟
∂
x
⎝⎠
2
ψ
∂
φ
2
∂∂ ∂∂
2
ψ
∂
z
y
yxz
должен удовлетво-
ψ
по формулам, где
6
⎛⎞
x
φ
}
x
}
x
x
ψψψ
}
x
ψ
p
λ
p
Δ
σλφμ
=Δ+ + −
yy
σλφμ
=Δ+ + −
zz
⎛⎞
∂
⎜⎟
σμ
xy
σμ
yz
σμ
xz
2;
=+−−+
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎛⎞
∂
⎜⎟
2;
= +++−
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
2.
=−+−+
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
∂
2;
⎜⎟
⎜⎟
y
∂
⎝⎠
2
⎛⎞
∂
⎜⎟
2;
⎜⎟
z
∂
⎝⎠
∂
φ
xy xz yz
2
∂∂
φ
yz xy xz
2
∂∂
∂
zxy yz
2
ψ
∂
φ
2
yz xy
∂∂ ∂∂
2
ψ
∂
φ
2
xz yz
∂∂ ∂∂
2
ψ
22
ψψ
yz
2
ψ
∂
x
xx
22
22
∂∂
x
∂∂
Согласно (1.1.10) потенциалы
∞∞
sin
kx
,,, ,,,
yzt dk dq kqzpe dp
φφ
()
,,, ,,,
yzt dk dq kqzpe dp
()
x
,,, ,,,
yzt dk dq kqzpe dp
()
y
,,, ,,,
yzt dk dq kqzpe dp
()
z
()
=
∫∫∫
kx
−
cos
()
00
∞∞
sin
kx
=
=
()
∫∫∫
kx
−
cos
()
00
∞∞
cos
kx
=
()
∫∫ ∫
kx
sin
()
00
∞∞
cos
kx
()
∫∫∫
kx
sin
()
00
cos
⎫
⎬
sin
⎭
⎫
⎬
⎭
sin
⎫
⎬
−
⎭
cos
⎫
⎬
sin
⎭
22
ψ
∂
x
y
2
ψ
ψψ
yy
22
xz
qy
()
qy
()
cos
sin
qy
()
cos
qy
()
qy
()
z
2
ψ
∂
x
222
∂∂
ψψ
y
qy
()
qy
()
qy
()
zz
22
xy
∂∂
2
ψ
∂
y
,
ψ
()
0
L
()
L
()
ψ
}
L
()
ψ
z
L
()
∂
∂∂
можно представить в виде:
x
,0
y
,0
,0
(1.1.15)
2
ψ
z
2
ψφ
z
pt
;
()
pt
(1.1.16)
()
()
pt
pt
Условия (1.1.8) позволяют дифференцировать выражения (1.1.10) и
(1.1.16) по координатам и времени. Подставив (1.1.16) в уравнение движе-
ния (1.1.13), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
d
φ
0
−=
αφ
2
dz
ψ
d
,0
x
−=
2
dz
d
ψ
,0
y
−=
2
dz
d
ψ
,0
z
−=
2
dz
где
2
α
2
0
2
βψ
x
2
βψ
y
2
βψ
z
=Δ +
0
⎫
0
⎪
⎪
⎪
0
⎪
,0
⎪
(1.1.17)
⎬
⎪
0
,0
⎪
⎪
⎪
0
,0
⎪
⎭
ρ
2
2
+
μ
2
;
=Δ +
β
0
ρ
μ
2
;
22
=+
0
.kq
7
Преобразованные величины перемещений
σ
x
φ
ψ
φ
ψ
φ
x
φ
ψ
A
φ
B
B
ψ
ψ
B
ψ
B
β
,,uvwи напряжений
00 0
,0ij
через изображения потенциалов
d
,0
=− −
uk q
00 ,0
vq k
=− −
00 ,0
d
wqk
0,0,0
σλ φμφ ψ
xx z
σλ φμφ ψ
yy z
σλ φμ
zz
σμφ ψ
xy z
σμ ψ ψ
yz x y
0
=− −
dz
=−Δ+−++
,0 0 0 0 ,0
=−Δ+−−− (1.1.18)
,0 0 0 0 ,0
=−Δ++−
,0 0 0
=+−−−
,0 0 ,0
=++−+
,0 ,0 ,0
y
dz
d
x
dz
2
⎛⎞
d
φ
0
⎜⎟
2
⎜⎟
dz
⎝⎠
2
⎛⎞
d
φ
⎜⎟
2
⎜⎟
dz
⎝⎠
2
⎛⎞
dd
φφ
00
⎜⎟
2
⎜⎟
dz
⎝⎠
⎡⎤
2
kk q kq
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
d
⎢⎥
2
qq kqk
⎢⎥
⎣⎦
ψ
z
,0
0
d
ψ
ψ
ψ
z
y
⎛⎞
2
⎜⎟
2
2
2
x
,0
kk kq
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
2
qq kq
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
dz dz dz
⎝⎠
d
ψ
,0
y
dz dz
2
dd
φ
2
0
dz dz
ψψ
,0 ,0
xz
2
dz
,,,
ψψψ
0,0,0,0
d
ψ
y
yz
,0
выражаются формулами:
dz
d
ψ
,0
x
dz
dd
ψψ
,0 ,0
yy
qk
22
()
⎡⎤
d
φ
σμ ψ ψ
xz y y
,0 ,0 ,0
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
2
=+−−
0
kkqk q
dz dz
2
d
ψ
,0
y
Согласно теории обыкновенных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами общее решение уравнений
(1.1.17) имеет вид [72]:
ch z A sh z
=+;
01 2
,0 11 12
x
,0 21 22
y
,0 31 32z
αα
() ()
sh z B ch z
=+
ββ
() ()
(1.1.19)
sh z B ch z
=+
=+.
ββ
() ()
ch z B sh z
ββ
() ()
При этом, постоянные интегрирования
в силу условия (1.1.12)
ij
удовлетворяют следующему уравнению:
kB qB B j
++ == (1.1.20)
12 3
jj j
0; 1, 2
Граничные условия (1.1.6) после подстановки в них (1.1.16) приобретут следующий вид:
8
22
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
A
=
A
⎛⎞
dd
φφ
λφμ
μψψ
μψ ψ
00
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−Δ + + − =
00 ,0
22
dz dz
d
φ
2
0
kkqk q f
+−− − =
dz dz
d
φ
qq kqk f
2
2
0
+− −+ =
dz dz
⎛⎞
⎜⎟
2
⎜⎟
⎝⎠
2
,0 ,0 ,0
xy xz
2
dd
ψψ
xz
,0 ,0 ,0
xyyz
dz
2
d
ψ
x
qk f
,0
dz dz
2
d
ψ
,0
y
2
dz
,0 ,0
d
ψ
,0
y
d
ψ
,0
z
⎫
±
z
±
(1.1.21)
⎬
±
⎭
В общем решении (1.1.19) гиперболические функции представим в
виде степенных рядов и, используя соотношения (1.1.18) для преобразования перемещений
∞
⎧
⎪
2221
nnn
ukABqB kAB
=−+ +−+
0 1 21 31 2 22
qB
+
vqABkB qAB
=++ +++
0 1 11 31 2 12
kB
+
wAqBkB AqB
0 1 11 21 2 12
kB
−
⎡⎤
αβ β α β
⎨
∑
⎣⎦
0
n
=
⎪
⎩
21
n
+
⎤
β
)
32
∞
∑
0
n
=
)
32
∞
=+− ++−
∑
n
=
)
22
⎦
⎧
⎪
2221
⎡⎤
αβ β α β
⎨
⎣⎦
⎪
⎩
21
n
+
⎤
β
⎦
⎧
⎪
22121
nnn
⎡⎤⎡
αβα
⎨
⎣⎦⎣
0
⎪
⎩
2
n
⎤
β
⎦
()
()
21
n
+
z
21!
n
+
()
nnn
()
21
n
+
z
n
21!
+
()
()
2
n
⎫
z
⎪
.
⎬
n
2!
⎪
⎭
,,uvw точек пластины, получим выражения:
00 0
2
n
z
2!
()
⎫
⎪
;
⎬
⎪
⎭
z
2!
()
⎡
⎣
n
2
n
n
+
⎡
⎣
(
+
(
(1.1.22)
⎫
⎪
;
⎬
⎪
⎭
21
n
+
z
++
n
+
21!
()
(
Вместо постоянных интегрирования
и (1,2; 1,2,3)
Bi j
iij
= введем но-
вые и назовем их как главные части приращения напряжений и деформаций:
=− + = − +
0 1 21 31 10 2 22 32
=+ + = + + (1.1.23)
0 1 11 31 10 2 12 32
αβ α
=+ − =+−
0 1 11 21 10 2 21 22
здесь
плоскости
βαββ
()()
βαββ
()()
2
()()
,,UVW являются преобразованиями смещения точек в средней
00 0
0,z =
()
; ;UkA BqB U kA B qB
; ;V qA B kB V q A B kB
; ;W A qB kB W A qB kB
а
,,UVW
10 10 10
- преобразованные величины деформаций
также в средней плоскости.
для
Переходя от ,
,,UVWполучим:
00 0
B к
iij
,, ,UVW
00 0
,,UVW, с учетом условия (1.1.12),
10 10 10
9
∞
⎪
⎪
⎪
⎪
λ
μ
λ
α
λ
μ
λ
λ
⎧
⎪
22
n
u kCQ U kCQ qV W
=− − − +
0 0 ,0 0 0 ,0 0 0
⎡⎤
ββ
()()
⎢⎥
⎣⎦
=− − −+
vqCQVqCQkUW
00,000,000
⎡
ββ
()()
⎢
⎣
=− − + +
wCQWCQkUqV
00,000,000
⎡
+− + +
()
⎢
⎣
где
⎡⎤
∑
⎢⎥
⎣⎦
n
=
0
⎪
⎩
n
22 2
kDQ U kDQ qV W
++−
∞
⎧
⎪
⎡⎤
⎨
∑
⎢⎥
⎣⎦
0
n
=
⎪
⎩
22 2
n
++ −
qDQ V qDQ kU W
∞
⎧
⎪
⎨
∑
0
n
=
⎪
⎩
22
n
ββ
=−
0
nn
0 ,0 10 0 ,0 10 10
22
n
β
()
0,010 0,0 10 10
nn
22 2
n
⎡⎤
βα α
()
⎢⎥
⎣⎦
DQ W DQ kU qV
0,0 10 0,0 10 10
nn
2
+
1;C
μ
nn
nn
nn
()
μ
1;
D
=−
0
2
+
β
⎨
()
()
()
()
⎤
⎥
⎦
()
()
⎤
⎥
⎦
()
1
n
−
.
Q
=
∑
,0
μ
n
0
=
m
2
n
z
n
2!
()
n
+
21
z
21!
n
⎫
;
⎬
+
⎭
2
n
z
2!
n
()
(1.1.24)
21
n
+
z
21!
n
2
z
2!
n
⎫
;
⎬
+
⎭
21
n
+
z
21!
+
n
()
n
⎫
⎪
;
⎬
⎪
⎭
21
−−
nm
()
β
m
2
Обращая выражение (1.1.24) по ,, ,kqp т.е. совершая обратные пре-
образования по Фурье и Лапласу, определим истинные смещения ,,uvw
точек пластин [5].
⎧
∞
⎡⎤⎡
⎛⎞ ⎛ ⎞
nn
⎪
()
u CQUCQ W DQU
=+ + ++− −
DQ W
−+
vCQVCQW
=+ + ++−
DQ V DQ W
−− +
wCQ CQW
⎢⎥⎢
λλ
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎨
∑
n
=
0
n
∞
∑
n
=
0
nn
∞
=+++ +
∑
n
=
221
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎢⎥⎢
⎪
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎣⎦⎣
⎩
⎛⎞
V
∂
∂
xy
∂∂
⎧
⎡⎤
⎪
⎢⎥
⎨
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎩
∂∂
y
∂
⎧
⎪
⎨
0
⎪
⎩
1
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
λλ
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
221
⎞
⎟
2
⎟
⎠
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
λ
nn
()
22
121
⎛⎞
1
()
λλλ
⎜⎟
nn
121
⎜⎟
⎝⎠
222
∂∂∂ ∂
nn n
22
xx
∂∂
⎛⎞
Vz
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
n
n
2!
()
()
1
()
21
nn
∂
z
⎥
n
21!
()
⎥
⎦
22
∂∂∂
2
y
⎪
;
⎬
+
⎪
⎭
⎛⎞
Uz
⎜⎟
xx
∂∂
⎝⎠
n
⎡
(
⎢
n
2!
()
⎣
()
⎫
n
+
21
⎤
(1.1.25)
n
+
⎛⎞
U
∂
1
⎜⎟⎬
yx
∂∂
⎝⎠
UV z
∂∂
xy
∂∂
λ
()
1
()
n
()
⎤
z
⎥
n
21!
()
⎥
⎦
⎫
⎪
;
+
⎪
⎭
21
n
+
n
+
21!
()
⎧
∞
⎡⎤
⎪⎪
+− + +−
где
⎢⎥
⎨⎬
∑
⎢⎥
n
=
0
⎪⎪
⎣⎦
⎩
=−
⎛⎞
UV
∂∂
DQ DQ W
nn
1;C
11
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
2
μ
+
1;
D
=−
μ
n
⎛⎞
()
λλ
⎜⎟
221
⎝⎠
2
+
μ
1
()
1
n
−
Q
=
∑
n
,0 1 2
0
m
=
⎫
2
n
z
2!
()
;
n
⎭
1
nm
−−
()
m
()
λ
.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]