Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краевые задачи колебания пластин. Монография
.pdf
4
π
π
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎛⎞
Al b a a
11 1 1 2
=−−−−++−−
ramaaLam
94948
−− −−−−−
ma a a ma
−+
a
+− − +
ramLmaA
10 8 1 3 2 1
−−−++−−−
+−+−−−−
21 ;
rA amLma
11 2 1 8 1 3
−−+ −+−−−−;
⎜⎟
π
Ah L L
31
⎝⎠
333
⎤
⎞⎡
πππ
2 2
⎛⎞
1
⎜⎟
9
⎝⎠
⎡⎤ ⎛⎞
1;
⎢⎥
()
⎢⎥
⎣⎦ ⎝⎠
Al b a l b
=−−+−++−−
Ah L Ah
⎤
⎡⎛⎞
aaA
12
⎥
⎢
LL
⎢
⎥
55
⎣⎝⎠
⎦
22
⎤
η
183 49
⎦
1
=−−−+−+−−
Ah L Ah
⎤⎡⎤
aama
12 1
ma a a a a ma a
⎥⎢⎥
LLL
⎥⎢⎥
555
⎦⎣⎦
⎥
⎟
324
⎟
48 48 48
⎥
⎠⎣
⎦
π
++ − −+
2
n
aAlb
1211
LAh
5
42
⎛⎞ ⎛⎞
11 1 1 1 1
⎜⎟ ⎜⎟
ππ
⎝⎠ ⎝⎠
31 31
33
ππππ
ama a L am ma
()
5
48 2 2 48
2
⎧
am a
⎪⎪
21
⎨⎬
LL
⎪
55
⎩
2 2
⎛⎞ ⎛⎞
lb a Alb
11 1 211
⎜⎟ ⎜⎟
ππ
⎝⎠ ⎝⎠
31 31
⎛⎞ ⎛⎞ ⎡ ⎤
22 2
⎜⎟ ⎜⎟
83 1 83 3 9
⎝⎠ ⎝⎠ ⎣ ⎦
4
⎛⎞⎡ ⎤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎣ ⎦
⎫
⎪⎪
⎬⎨
⎪⎪
⎭
⎛⎞⎡ ⎤ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠⎣ ⎦ ⎝⎠
⎛⎞ ⎡ ⎤
⎜⎟
⎝⎠ ⎣ ⎦
⎛⎞ ⎡ ⎤ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎣ ⎦ ⎝⎠
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎛⎞
1
⎜⎟
Ah L L
31
⎝⎠
⎫
⎤
⎪⎪
Lamaa
⎥
⎬⎨
1143
⎥
⎪
⎦
⎭
⎫
π
⎪
a
⎬
7
2
⎪
⎭
42
⎢⎥
()
⎢⎥
2222
49 4 8 3 1
aa ama a
2 2
()
πππ
222
n
11
⎢⎥
()
⎢⎥
2
lb a a
11 1 2
π
Al b a
21 1 2
Ah L
31
2
⎛⎞⎡ ⎤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎣ ⎦
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞ ⎧
⎜⎟
⎜⎟
π
⎝⎠ ⎩
⎛⎞
⎜⎟
π
31
⎝⎠
n n
111
5
⎛⎞
12
⎜⎟
⎝⎠
⎡⎤
ππ
⎢⎥
()
22
⎢⎥
⎣⎦
222
11 1
η
21
η
⎢⎥
() ()
⎢⎥
⎧
⎪
⎨
⎪⎪
⎩⎭
3
⎡
⎢
()
48 2 2
⎢
55
⎣
⎧
⎩
2
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
n
2
n
1
⎢⎥
()
⎢⎥
2
22
2
η
2
⎜⎟
⎜⎟
η
1
ππ
22 2
248
⎢⎥
nn
5
22
5
55
⎡⎤
()
5
⎢⎥
⎣⎦
⎪
5
2
⎜⎟
⎜⎟
()
5
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
ππ
248
()
⎛⎞ ⎛
ππ
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
⎢
()
5
⎢
3
1
⎫
⎤
⎪
⎥
⎬
⎥
⎪
⎦
⎭
⎫
⎪
⎭
3
n
()
⎢⎥
⎡
⎢
η
⎢
⎢
⎣
5
⎧
⎡
()
Ah
η
⎛⎞
lb
21 1
⎜⎟
π
⎝⎠
31
⎨
⎩
2
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
()
⎢
⎣
2
+
⎡
⎢
⎣
⎫
⎪
⎬
⎡⎤
n
rmaa
12 1 8 3
rb
13 6
rbmb b
14 3 6 1
rmbbbmb
15 11 6 3 1
+−
η
22
21 ;
η
=−− −
=
=− + + −
=− − − + − +
44
1
⎢⎥
()
⎢⎥
⎣⎦
1
42
m
η
1
()
1
m
22
5
22 2
⎛⎞
Al b
11 1
⎜⎟
Ah
π
⎝⎠
31
a
1
L
5
⎛⎞
Al b
11 1
⎜⎟
Ah
π
⎝⎠
31
11 1
44 42 2
mmm
ηη
11
()
5
2
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
4
4
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
Alb Alb lb
111 211 11
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
Ah AhAh
πππ
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
31 3131
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
2
bmb
()
422
2
;
422
η
422
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
2
⎛⎞
11
n
⎜⎟
42 2
⎜⎟
mm
1
⎝⎠
2
;
η
2
⎛⎞
n
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Ab b l
21 1 1
Ah Ah
31 31
η
22
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
π
⎝⎠
⎤
⎥
;
⎥
⎥
⎦
2
121
A
⎛⎞
A
α
β
π
η
π
η
(
)
⎡
⎢
⎣
=− + − +
rbmb b
()
16 3 11
bmb
−+−
+
()
422 1
r b mb mb
=− + − + −
()
17 4 22 11 1
=− +
rmb
18 11
2
1
5
22
2
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎡⎤
11
⎢⎥
42 2
⎢⎥
mm
η
1
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
222
1;
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
2
1.
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
22
η
1
2
21
n
22 42
ηη
mm
11
2
⎛⎞
n
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ηη
2
n
η
Ah Ah
22
21 1
nn
22 42 2
mmm
11
Al b
11 1
Ah
31
22
⎛⎞ ⎛⎞
bbl
21 1 1
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
31 31
⎝⎠ ⎝⎠
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
m
4
⎛⎞
⎜⎟
π
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
4
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
η
2
;
π
22
⎛⎞ ⎛⎞
bbl
21 1 1
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
Ah Ah
31 31
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
2
π
п.2. Вывод частотного уравнения свободных поперечных колебаний
упругой предварительно напряженной пластины, два края которой жестко
закреплены, а два других свободны от закрепления.
Пусть задано приближенное уравнение колебаний пластины в виде
(5.7.1). При выводе частотного уравнения будем пользоваться приближенным методом декомпозиции.
Тогда граничные условия следует представить в виде
при 0,
22
VvV
∂− ∂
++=
22
∂− ∂
αβ
3
∂
V
=
3
∂
α
при 0,
∂
==
V
2
∂
π
=
32
74
0
=
2
V
2
β
⎛⎞
222
20
ηηξ
⎜⎟
131
v
⎝⎠
V
, (5.7.19)
π
2
0
(5.7.20)
Для данной задачи частотное уравнение имеет вид:
8642
ξξξξ
++++=, (5.7.21)
1234 5
0dd d d d
где
⎛⎞
1
dA
=− +
11
dA Ad d
=− + +−
22 172 8
1;
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
11;
⎜⎟
⎝⎠
44
11
424 96
44
ηη
23
96
η
24 22
πη η π η
33 3
244
111
⎛⎞
η
4
1
⎜⎟
ηη
⎝⎠
22 2
dA ddA d
33 7812 6
122
⎜⎟
πη η η
⎝⎠
21
⎛⎞
=− ++ + −+ −
πη π π
11
3 8
24 2
48 8 6 3 2 2
11 1
⎛⎞
4
η
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
−
74
v
−
()
v
⎤
d
⎥
⎦
2
η
)
σ
)
⎡⎤
3
−+++
⎢⎥
22
ηη
22126
11
⎣⎦
⎛⎞
2
Ad A
η
⎜⎟
22 6 3
ππ π
⎝⎠
;
⎡⎤
dAd Ad Ad dd
22
ηπη
=++++−+−+
432 8 36 371 8 6
⎢⎥
⎣⎦
v
74
−
()
+
32 2
v
−
()
dA d d
=− ++− − +
5316 6
174
=−
d
61
dd
76
dA
82 2 1
2
πη
1
2
πη π π
3
=−−+
22
283326
ηη
11
22
=− + + + − −
ηη
2
ηπ ππ
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
2
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
2
22 2 88
ηπ
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
1
⎤
d
6
;
⎥
2
η
1
⎦
⎧⎫
⎪⎪
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
2
η
21 ;
⎨⎬
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎪⎪
⎩⎭
⎛⎞
−
⎜⎟
−
32 3
⎝⎠
⎡⎤
2
π
⎢⎥
⎣⎦
⎧⎫
⎛⎞ ⎛⎞
⎪⎪
111.
⎨⎬
⎜⎟ ⎜⎟
ηπ η
⎝⎠ ⎝⎠
⎪⎪
⎩⎭
ππ π π
22 8 8 322
η
2
π
2
;
()
2
l
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
v
v
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
11
42 2
11
32
21
⎡⎤
2
()
v
74
−
d
⎢⎥
v
−
⎢⎥
⎣⎦
−
74
v
−
v
;
π
⎛⎞
⎜⎟
4
⎝⎠
()
η
⎡
⎢
⎢
⎣
6
2
1
2
§8. Уравнения колебаний ортотропной пластины
Пусть материал пластинки ортотропен и предварительно напряжен.
ε
В этом случае зависимость напряжений от деформаций
представим в
(
виде (5.1.1).
Рассмотрим случай однородного напряженного состояния, при котором начальные напряжения равны:
00
;uax=
01
;vby=
0201
,.wcabz= (5.8.1)
(
Задачу о колебании ортотропной предварительно напряженной пластины будем решать так же, как решалась задача о колебании трансверсально-изотропной пластинки.
Подставим зависимости (5.1.12) в уравнение (5.2.4) и, полагая
10
0,ab== получим уравнения движения материала пластинки в переме-
щениях:
123
11
x
x
x
∂
A
A
=
()
++ + =
()
11
()
++ + =
()
1
()
++ + =
()
⎢⎥
011 66 112 66
⎢⎥
⎣⎦
cA A
1;
213 1
⎡⎤
bA A A aA A
+++++++
⎢⎥
1 22 66 44 0 12 66
⎢⎥
⎣⎦
1;
cA A
223 44 1
⎡⎤
cA A
++
⎢⎥
233
⎢⎥
⎣⎦
bA A
1
123 44 1
⎡⎤
aA A A bA A
+++++++
222 2
uuu v
∂∂∂ ∂
222
xyz
∂∂∂
22
wu
()
222 2
vvv u
∂∂∂ ∂
222
yxz
∂∂∂
()
22
ww
∂∂
z
∂
()
∂∂
55
xz
∂∂
22
wv
∂∂
yz
∂∂
55
2
∂∂
22
vw
∂∂
yz
∂∂
55
ρ
2
t
∂
ρ
2
t
∂
++++ +
22
xy
∂∂
AaAA
44 0 13
ρ
2
t
∂
()
()( )
22
wu
.
()
∂∂
∂∂
1
()( )
55
y
y
(5.8.2)
z
∂
Граничные условия для данной задачи запишем в виде:
c
2
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
±
()
±
()
±
()
±
∂∂∂
uvw
=+ + + =
σ
1,,;11
aA A A F xyt
()
zz z
⎡∂ ∂⎤
σ
=+ + =
xz xz
()
55 0
⎢⎥
⎣⎦
⎡∂ ∂⎤
σ
=+ + =
yz yz
()
44 0
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞ ⎛⎞
013 23 33
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂ ∂
xy z
⎝⎠ ⎝⎠
uw
1,,;1
1,,;1
⎛⎞ ⎛⎞
aFxyt
⎜⎟ ⎜⎟
zx
∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
vw
⎛⎞ ⎛ ⎞
aFxyt
⎜⎟ ⎜ ⎟
zx
∂∂
⎝⎠ ⎝ ⎠
bc
++
() ()
12
+ (5.8.3)
()
c
+ при .zh
()
Общее решение уравнений (5.8.2) будем искать в виде (5.2.12). Тогда
для определения
2
du
000
11
+−+++−
()
11 0;
−+ + −+ + =
()
11
+−+++−
()
11 0;
−+ + ++ + =
()
11
+−++++
()
110.
++ + ++ + =
()
()
aA a Ak Aq pu
0 55 0 11 66 1 1
bA A kqv c A A k
()
112 66 1 213 55
000
()
bA b Aq Ak p v
1 44 1 22 66 1 1
aA Akqu cA Aq
()
012 66 1 2 23 44
000
()
cA c Aq Ak pw
2 33 2 44 55 1 1
aA Ak bA Aq
()
0 13 55 1 23 44
1
2
dz
00 00
() ()
2
dv
1
2
dz
00 00
() ()
2
dw
1
2
dz
00 00
() ()
,,uvw получим уравнения:
11 1
() ()
⎡⎤
()
⎣⎦
()
222
ρ
ρ
dw
dz
1
()
⎡⎤
()
⎣⎦
() ()
()
() ()
()
222
(5.8.4)
ρ
dw
dz
1
()
⎡⎤
()
⎣⎦
() ()
()
() ()
()
222
du dv
11
()
dz dz
() ()
()
Граничные условия (5.8.3) после преобразования примут вид:
00 0
111 ,,;
+++++ =
()
()
aAku bAqv cA f kqp
0131 1231 2 33 ,0
()
()
()
()
dw
dz
±
1
()
z
124
A
⎡⎤
A
)
A
A
z
z
z
α
(
)
)
)
M
)
M
)
M
)()
M
)()
M
)()
M
0
()
55 0 2 1 ,0
+−+ =
11 ,,;
()
⎢⎥
⎣⎦
du
ackwfkqp
1
() ( )
dz
±
xz
(5.8.5)
⎡⎤
0
()
11 ,,.
() () ( )
44 1 2 1 ,0
⎢⎥
⎣⎦
Здесь
dv
+−+ =
1
bcqwfkqp
dz
0
(
- преобразованные по Лапласу операторы
,
ij
±
yz
,ij
.
Общее решение системы (5.8.4) будем искать в виде
uAe
1
α
=
;
vBe
1
α
=
;
wCe
=
1
.
Для определения α из системы (5.8.4) получим алгебраическое уравнение
шестого порядка:
64 2
ααα
−++= (5.8.6)
123
0mm m
где
00 00
⎡
m M b cAA a c AAM
=++ +++ +
1 0 1 2 33 44 0 2 33 55 2
11 111 ;
++ + −+ + + −
()
mM kq a b cMMM aAMM
=+++ ++ +
20 0 1 2546 05523
11 11
++ ++ −+ + −
()
11 1 11 ;
−+ + −+ + +
()()
=−++
30123 0 163
=+ + +
0 0 1 2 33 44 55
=+ + +
1 0 11 66 1
11 1 1
()()
⎣
00 0 0
abAAM bacAMkAMq
()
0 1 44 55 3 1 0 2 44 4 55 5
22
⎡
21 1 1 1
⎣
00
()
bAMM c AMM a cMMk
14413 23312 0 2 42
bcMMq a bcAMkq
1251 012336
⎡⎤
⎣⎦
⎡⎤
111 ;M a b c AAA
()
⎣⎦
1;
aAk Aq p
()
() ()
()
2 2 222
()()
00
() ()
222
(
() ()
()
()
()
()
()
()()
()
11 ;mMMMM a bMMkq
()
()
()()
(
000
() () ()
()
222
ρ
() ()
() ()
()
()
()
0
()
22
⎤
⎦
0
()
22
⎤
⎦
00
() ()
1;
=+ + +
2 1 22 66 1
=+ + +
3244551
413 55
612 66
bAq Ak p
()
1;
()
AA=+
AA=+
(
cAq Ak p
(
00
(
00
(
222
00
() ()
222
;
AA=+
523 44
ρ
ρ
00
(
;
.
Корни уравнения (5.8.6), согласно теореме Виета, связаны зависимостями:
222
ααα
++=
1231
22 22 22
;m
αα αα αα
++=
12 13 23 2
222
;m
ααα
123 3
.m
= (5.8.7)
Соотношения (5.8.7) можно обратить по ,,.kqp Поступая аналогично
ранее изложенному в § 1, 2 пятой главы, т.е. подставив общее решение
уравнения (5.8.4) в граничные условия (5.8.5), последние можно выразить
через комбинации (5.8.7) и получить точные уравнения чисто поперечного
и продольного колебания пластинки и их различные приближенные представления.
125
Однако решение уравнения (5.8.4) с граничными условиями (5.8.5)
A
)()()()
α
)()
β
)()()()
α
α
вызывает определенные математические трудности. Поэтому ограничимся
рассмотрением частных случаев колебания предварительно напряженной
ортотропной пластинки. Рассмотрим случай, когда внешние усилия и искомые перемещения не зависят от одной из координат x или .y
Пусть внешние усилия и искомые перемещения не зависят от координаты .y
Уравнения (5.8.4) в этом случае примут вид:
2
du dw
00 00
+−++−++=
11 1 0;
()
+−++=
11 0;
()
+−+++++=
11 1 0.
()
()
aA aAk pu c A A k
055 011 1 1 2 13 55
00
()
bA bAk p v
144 166 1 1
00 00
()
cA cAk pw c A A k
233 255 1 1 2 13 55
Т.к. функция
1 1
⎡⎤
()
2
dz dz
2
dv
dz
2
dw du
dz dz
⎣⎦
1
⎡⎤
()
2
⎣⎦
1 1
⎡⎤
()
2
⎣⎦
v определяется независимо от 1u и 1.w
1
()
22
ρ
()
22
ρ
()
22
ρ
()
() ()
()
(5.8.8)
()
() ()
()
Одновременно и граничные условия (5.8.5) выражаются следующим образом:
00
11 ,;
+++ =
()
0
()
55 0 1 ,0
1,.
+=
()
()
aAku cA f kp
0131 233 ,0
⎡⎤
+− =
1,;1
akwfkp
()
⎢⎥
⎣⎦
0
()
bA f kp
144 ,0
()
du
dv
dz
1
dz
1
+ (5.8.9)
()
±
yz
()
dw
()
dz
c
2
±
1
()
z
±
()
xz
Общее решение уравнений (5.8.8):
=+ ++
111223142
=+ (5.8.10)
11 2
(
(
ααα
;vBchzBshz
β
;uAchzAchzAshzAshz
=+ + +⎡⎤⎡ ⎤
111 31122 422
⎣⎦⎣ ⎦
где
++ −++ + −
11 11
acAA acAAA
()
00 0 0
() ()
−+ + + ++ +
AA k p aA cA
()
13 55 1 0 55 2 33
⎡
++ + + + =
11 0;
()
⎣
+−++=
11 0.
bA bAk p
()
==
ω
j
126
(
,,
αβ
12
0 2 33 55 0 2 55 11 33
aAk p cAk p
144 166 1
11
()
удовлетворяют уравнениям:
00 0 00
()
011 1 2 55 1
00
()
βρ
+−++
aA aAk p
055 011 1
() ()
2
22 2
⎤
⎥
⎦
00
()
22 2 2
222
⎡⎤
()
⎣⎦
00
()
222
αρ
j
++
1
cA Ak
()
αω α αω
4
α
ρα
ρρ
⎡⎤
()
⎣⎦
()
213 55
()
{
⎡⎤
11
()
⎣⎦
⎤
()
⎦
()
00
() ()
()
()
()
()
()
α
j
() () ()
⎡
⎣
()
, 1,2
j
()
}
.w A sh z A ch z A sh z A ch z
(5.8.11)
п.1. Уравнение поперечных колебаний.
z
x
A
)()
α
)
β
)()
ω
(
p
Поперечные колебания пластинки возникают в том случае, когда
внешние усилия удовлетворяют условиям:
+−
FFf
=− =
zz
+−
;
FFf
=− =
,,,
zxzxz
+−
;
FFf
=− =
,,,
yz yz yz
Граничные условия будут выполняться, если постоянные интегриро-
.
вания
,,
AB в (5.8.10) положить равными нулю.
121
Тогда общее решение примет вид:
;u A sh z A sh z
=+
13 1 4 2
= (5.8.12)
12
=+
113 1 24 2
(
;vBshz
(
αω α
(
α
.w A ch z A ch z
Разлагая (5.8.12) в степенные ряды по z и вводя главные части смещений,
получим:
UAA
VB
WAA
Для
uQ QU
αα
=+
10 1 3 2 4
;
β
=
10 2
ωω
=+
10 1 3 2 4
,,uvw получим выражения:
11 1
∞
⎧
⎡⎤
⎪
=− +
∑
11 10
n
=
() ()
kA A c Ak p
()
13 55 2 55 1
()
⎢⎥
⎨
nn
0
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎩
00 0
++ +
+
∞
21
n
vV
=
∑
110
n
=
wkacAAAQU
=−+ + + +
∑
10233135510
n
0
()
⎡⎤
TaA
+++
n
⎣⎦
+
β
0
∞
⎡⎤
{
⎣⎦
0
=
⎡⎤
1
()
⎣⎦
;
⎫
⎪
(5.8.13)
⎬
⎪
.
⎭
0
()
00
+
⎡⎤
⎣⎦
1
+
()
()
11
()
0
255 1
+
1
()
1
()
00
() ()
aAA
03355
21
n
+
z
n
21!
+
()
000
()
22 1
kp cAQW
55 1 2 33 10
++
1
cAk p
()
22
ρ
0
()
cA
233
()
22
ρ
()
0
()
QW
n
;
00 00
() () ()
()
−
1
++
ρ
1.
()
() ()
⎫
21
n
+
z
⎪
⎬
10
n
21!
()
⎪
⎭
()
n
−
n
;
+
z
}
2!
(5.8.14)
2
n
n
)
Используя соотношения (5.8.14) и граничные условия (5.8.9), а затем
совершив обратные преобразования по
k и
, получим уравнения попе-
речных колебаний ортотропной пластины в виде системы трех уравнений
сходящихся рядов.
Ограничиваясь в полученных рядах первыми двумя слагаемыми, получим конкретное приближенное уравнение четвертого порядка относительно поперечного смещения
.W
1
127
22 4
x
x
∂
z
A
x
z
x
=
)()
α
)
β
)()
ω
α
A
Wh a W
∂+∂
1321
aAAc
++ +−+−⎡
()
−+−+ − +
21 31
++ + − = −
21 1
ρρ ρ
01 1 33 55 1 2
1112
−−−
AA a a A A A AA
13 33 0 0 33 55 13 11 33
acAAAA AFA
()
0 2 33 11 33 13 55 55
10 1
24
∂+ ∂
tct
61
()()
()
⎡⎤
1
211
{
⎢⎥
⎣⎦
−−−
12 11
()
−−
2
∂
()
xt
∂∂
4
⎫
WF
∂∂
4
1
1
⎬
⎭
()
hx
()
⎣
4
W
1
22
z
(5.8.15)
z
∂
Если материал свободен от предварительного напряжения, то
22 4
Wh W
∂∂
ρρ ρ
+−+−=
11
++−−+
24
tt
∂∂
−− −
11 2 1 2
AAA A AAA A F
32 .
()
33 55 11 33 13 33 11 33 13
21 1 1
−− −
⎡⎤
AA AA
{ ()
6
⎣⎦
321
33 55 13 33
44
WW
∂∂
11
22 4
txh
∂∂ ∂
⎡
⎣
(5.8.16)
⎫
1
()
⎬
⎭
п.2. Уравнение продольных колебаний.
При продольных колебаниях пластинки внешние усилия удовлетворяют условиям:
+−
FF
= ;
z
+−
;
FF
=− .
zxz
+−
FF
=−
yz yz
Поскольку величины
плоскости, а
w - антисимметрична, то постоянные
1
симметричны относительно срединной
, uv
11
234
==
0.BAA
Общее решение (5.8.10) примет вид:
;u A ch z A ch z
=+
11 1 2 2
= (5.8.17)
11
=+
111 1 22 2
(
;vBchz
(
αω α
(
Разложим
∞
uAA
=+
∑
11122
=
0
n
∞
vB
=
∑
11
=
0
n
∞
wA A
=+
∑
1111222
0
n
=
22
nn
αα
()
2
n
z
2
n
β
n
2!
()
21 21
nn
ωα ω α
()
++
Введем главные части смещений
α
.w A sh z A sh z
, , uvw в степенные ряды по z :
11 1
2
n
z
;
n
2!
()
;
(5.8.18)
21
n
+
z
n
21!
()
.
+
, , ,uvw которые являются коэф-
11 1
фициентами при первых членах рядов (5.8.18):
012
Заменим в общих уравнениях (5.8.18) постоянные
ные части
128
;UAA=+
01
, , , UVW
00 0
;VB=
ωαω
=+ (5.8.19)
0111222
получим
.WAA
, ,
AB на глав-
121
0
)
)
)
(
)()(
)
⎡⎤⎣
()
∞
⎧
⎡⎤
⎪
00
=+ +
uT QU
∑
10
n
=
++
1
kcAA
()
()
⎢⎥
⎨
nn
0
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎩
()
213 55
+
1
aA
+
()
055
∞
vV
=
∑
10
=
n
∞
w
= ×
∑
1
n
=
00 0
() ()
×+−
QU Q Q W
nn n
2
n
β
0
11 11
+−++ +−++
⎧
⎡⎤
(
⎣⎦
⎨
0
⎩
⎡⎤
⎢⎥
01 0
⎢⎥
⎣⎦
++
1
aAk p
()
00
() ()
()
2
z
n
2!
()
aA aAk p aA aAk p
0551 011 1 0552 011 1
+
011 1
+
1
()
0
n
QW
;
(5.8.20)
02 02 2 02 02 2
()
αραρ
++
1
aAk p
()
011 1
1
()
22
ρ
0
()
aA
055
⎫
z
⎪
0
()
⎬
n
0
2!
()
⎪
⎭
(
(
kcAA aA
11
()
0
()
22
0
+
()
aA
055
()
n
2
;
n
()
() ()
+++
ρ
00 0
()
213 55 055
()
()
n
21
⎫
z
⎪
⎬
+
21!
n
()
⎪
⎭
()
+
;
()
⎦
гд
е
0
n
=
nm
021
() ( )
Q
=
∑
n
m
=
αα αα
00
() ()
==−
TQ
nn
Для нахождения главных частей величин
−−
αα
12
0
22 22
nn
−
22 1 2
22
αα
−
21
m
2
;
αα
22
12 1
.
−
, , , UVWиспользуем
00 0
граничные условия (5.8.9), приходим к системе, обращая которую по , ,kp
получим общие уравнения продольного колебания предварительно на-
пряженной ортотропной пластинки:
∞
∑
=
n
0
⎡⎤
++ + + ++ −
⎢⎥
⎣⎦
−+ + −+ − + +
()
+−
{
+− =
aA Q W F
∞
∑
0
n
=
222
⎡
⎧
∂∂∂
⎪
⎢
⎨
∂∂∂
⎢⎪
⎩
⎣
111
()( ) ()
+++ −+ +
11 1
aAT a A aA Q
() () ()
222
xtx
aA AA A a cA
013 5555 55 0 2331
⎡⎤
11 1
aA cAA a AA A A QU
0 11 2 33 55 0 11 33 13 55
()
⎢⎥
⎣⎦
1 1
− −
QA A
n
13 55
)
011 1
∂∂ ∂ ∂
bV AF
1;
+=
()
11 44
1111
()
22 2
∂∂ ∂ ∂
ρ
22
tt xnx
21
n
+
()
λ
⎡⎤
⎢⎥
0 13 0 55 1 0 11
nn
−
⎣⎦
−
1
⎡⎤
∂∂
∂∂
⎢⎥
xt
⎣⎦
() ( )
+ + ++ ++ +
cA A cAQ a A
()
213 55 233 1 0 55
⎫
⎤
⎬
nz
⎥
⎦
⎭
21
n
+
h
n
21!
+
()
⎤
⎥
()
⎥
⎦
1
−
⎛⎞
1
−
1
ρ
⎜⎟
⎝⎠
2
()
⎡⎤
⎣⎦
()
n
h
⎡
+
n
⎣
ρ
2
2
∂
2
∂
x
1
−
()
⎫
⎬
n
2
⎭
(
;
2!
(5.8.21)
yz
129
x
∞
x
)
λ
λ
)
(
)
⎡
⎧
⎡⎤
⎪
11 1
⎢
() ()
⎨
∑
++ + + ++ +
++ + −+ − + +
++ + −+ −+ −
−+ −+ =
⎢⎥
=
n
0
⎢⎪
⎣⎦
⎩
⎣
⎡⎤
111
aAA A A A cA aA
() ( )
⎣⎦
11 1
()
{
11 ;
() ()
05533 13 55 55 233 0551
aA cAA a AA A A QU
0 11 2 33 55 0 11 33 13 55
1 1
− −
111
AcAAQ c Q aA
()
55 2 13 55 1 2 1 0 55 1
aA aA QW AF
0551 011 55
−
+−+−++
aA aA Q Q a
0551 011 112 0
()
(
()
1
−
1 1
− −
⎛⎞
1
−
1
⎜⎟
⎝⎠
−
1
⎛⎞
∂∂
ρ
⎜⎟
∂∂ +
⎝⎠
22
∂∂
ρλ
22
∂∂
tx
⎡
⎢
⎣
() ( )
22
∂∂
−
1
∂∂
()
22
()
∂∂ ∂
()
nn
++
∂∂ ∂
2221
22
txn
⎤
⎥
⎦
+
nn
⎡
⎣
xt
⎫
⎪
⎬
nxz
⎪
⎭
1
()
()
()
()
2
)
−
ρ
2
⎤
∂
⎥
2
∂
x
⎦
⎛
1
⎜
⎝
n
+
h
21!
()
ρ
t
⎫
⎬
n
⎭
2
2
где
1
(
12 1 2
22
αα
÷
22
;
1
nn
;
β
÷
QQ÷
0
(
;
n
0
TT÷
nn
.
Основными характеристиками продольного колебания пластинки
являются перемещения , uv точек срединной плоскости пластинки, огра-
ничиваясь первыми слагаемыми в рядах (5.8.21), получаем приближенные
уравнения продольных колебаний:
22
VVAF
∂∂∂
ρ
1 0 33 11 33 13 33 13
ρ
1166
−+ − = −
22
txhx
∂∂∂
22
VV
∂∂
−+ =
22
txh
∂∂
aA AA A A F A
1;
()
bA F
1.
()
121
−−
()
1
yz
⎛⎞
33
⎜⎟
xz
⎝⎠
z
(5.8.22)
Если пластинка свободна от предварительного напряжения
22
VVAF
∂∂∂
ρ
22
txhx
∂∂ ∂
22
VV
∂∂
ρ
22
txh
∂∂
121
−−
AAA A A F A
−−= −
−=
()
33 11 33 13 33 13
AAAF
1
66 44 66
−
1
.
yz
⎛⎞
33
⎜⎟
xz
⎝⎠
z
;
(5.8.23)
§9. Примеры
Уравнение собственных поперечных колебаний предварительно напряженной ортотропной пластины запишем в виде:
24 4 4
WW W W
∂∂ ∂ ∂
11 1 1
AA A
+− +=
24224
ttxtx
∂∂∂∂∂
12 3
0
(5.9.1)
где
2
ρ
h
=+ ++
AcAaA
1233055
130
⎡⎤
131;
()
⎣⎦
G
1
−
11
−−
()
1
−
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]