Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краевые задачи колебания пластин. Монография
.pdf
Операторы
(
)
λ
)
λ
α
(
)
λ
)
λ
=
x
σ
(
)
f
A
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎡⎤
1
()
λρλμ
=+ −−
⎢⎥
1
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
1
()
=−−
λρμ
⎢⎥
2
⎢⎥
⎣⎦
2;
()
222
∂∂∂
222
∂∂∂
txy
1
1
22 2
∂∂∂
222
txy
∂∂∂
и
1
(
2
;
равны
и получены после обращения величин
Операторы
1
1
и
1
(
описывают распространение продольных и по-
2
перечных волн в плоскости симметрии 0.z
Зная выражения для смещений ,,uvw (1.1.25), из выражений (1.1.3) и
22
,
β
по ,, .kqp
(1.1.4) определим величины для напряжений , , , , , .
σσσσσ
xyyzzxyxz yz
Подставив значения напряжений в граничные условия (1.1.21), получим систему интегродифференциальных уравнений для нахождения
всех неизвестных функций в общем решении.
Полученная система и будет описывать в общем случае колебания
пластины.
§2. Общее уравнение поперечных колебаний пластин
Поперечные колебания относятся к антисимметричным колебаниям
и возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют
условиям
+− +−
zzz
fff ff jxy
=− = =− = =
; ; ,
jz jz jz
. (1.2.1)
Тогда в выражениях (1.1.19) произвольные постоянные
BBB====, и выражения для
11121 31
0
,,uvw из соотношений (1.1.18)
00 0
принимают вид:
ukAshz B qBshz
=−+
0 2 22 32
vqAshz B kBshz
=++
0 2 12 32
αβ β
()
αβ β
()
()
()
⎫
()
()
(1.2.2)
⎬
wAchzqBkBchz
αα β
=+−
02 1232
()
()
()
⎭
Представив в общем решении (1.2.2) гиперболические функции в
виде степенных рядов по координате z, получим:
∞
=−+
ukABqB
∑
022232
n
=
∞
=++
vqABkB
∑
0 2 12 32
=
n
∞
=+−
wAqBkB
∑
021222
=
n
21 21
nn
⎡⎤
⎣⎦
0
⎡⎤
⎣⎦
0
0
++
αβ β
++
21 21
nn
αβ β
+
21 2
nn
⎡⎤
αβ
⎣⎦
()
()
()
()
21
n
+
z
n
21!
()
21
n
z
n
21!
()
2
n
z
.
n
2!
⎫
;
+
+
(1.2.3)
;
⎬
+
⎭
Введем в рассмотрение следующие величины, аналогично (1.1.23):
11
UkA BqB
A
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎫⎪
⎪
⎪
f
(
f
VqA BkB
10 2 12 32
WAqBkB
αβ
=−+
10 2 22 32
αβ
=++
α
=+ −
10 2 12 22
()
()
()
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(1.2.4)
Выразим
,,,
BBB через
212 22 32
,, ,UVW учитывая условие (1.1.20), а
10 10 10
затем подставим полученные выражения в (1.2.3):
∞
⎡⎤
⎛⎞
λμ λμ
ukQUkQqVW
=++−
∑
0,010,01010
0
n
=
∞
=++−
vqQVqQkUW
∑
0,010,01010
0
n
=
∞
=− − + −
wQWkQkUq
∑
0,010,010
0
n
=
++
⎢⎥
⎜⎟
λμ λμ
++
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
λμ λμ
++
⎢⎥
⎜⎟
λμ λμ
++
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
λμ λμ
⎢⎥
⎜⎟
λμ λμ
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
Для определения
22 2
22
22
++
++
nn
22 2
nn
ββ
22
nn
n
ββ
n
ββ
2
n
,,UVW запишем граничные условия (1.1.21) в
10 10 10
()
()
()
V
10
21
n
⎫
+
z
21!
n
()
21
z
21!
n
()
2
n
z
2!
n
()
⎪
;
⎪
+
⎪
n
+
⎪
⎪
;
(1.2.5)
⎬
+
⎪
⎪
⎪
.
⎪
⎪
⎭
виде рядов по полутолщине h:
⎡
∞
⎛⎞⎛
22
λμ λμ
++
()
⎢
⎜⎟⎜
∑
⎢
⎜⎟⎜
=
0
n
⎝⎠⎝
⎣
21
n
αμ
−=
22
λμ λμ
++
⎤
Wf
)
10 ,0
⎥
⎦
22 2
βα β
QkUqV Q
,0 10 10 0 ,0
nn
+
21
n
h
21!
+
n
()
n
++− Δ−
()
−
;
z
()
⎫
∞
⎧
2
λμ
⎪
⎨
∑
λμ λμ
=
n
−+Δ− =
∞
∑
=
n
−+Δ− =
++
0
⎪
⎩
⎡⎤
λμ
+
⎢⎥
2
λμ
+
⎣⎦
⎧
⎡⎤
⎛⎞
λμ λμ
⎪
⎢⎥
⎜⎟
⎨
λμ λμ
⎢⎥
0
⎝⎠
⎪
⎣⎦
⎩
⎡⎤
λμ
+
⎢⎥
λμ
+
2
⎣⎦
kqQ U k q Q V
,0 10 ,0 10
22
βα μ
()
++
22
++
βα μ
()
nn
22 1
010
222 2
βα
+− + + −
kqQ U kqQV
22 1
QkW f
0,0 10 ,0
+
()
⎡⎤
λμ
+−++−
nxz
+
⎢⎥
⎣⎦
n
qW f
,0 10 ,0 10
nn
n
222 2
βα
()
2
n
⎫
h
⎪
⎬
2!
n
()
⎪
⎭
n
⎪
⎬
⎪
⎭
−
,0
z
y
2
n
h
n
2!
()
−
;
n
2
;
где
0, 1.QQ== (1.2.7)
0,0 1,0
Здесь
и Лапласу функции
,, , ,, , ,,
kpq f kpq f kpq - преобразованные по Фурье
()()()
,0 ,0 ,0
zxz yz
,, , ,, , ,,
xyz f xyz f xyz
()()
zxzyz
.
)
Обращая (1.2.6) по
,,,kpq получим:
⎬
⎭
(1.2.6)
12
∞
+
x
⎪
⎪
⎪
⎪⎫⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
x
φ
φ
σ
PW Q f
+++
=− −Δ + +
()
121
∞
μλλ
∑
0
n
=
∑
n
=
⎡⎤
2
()
1
−
⎢⎥
λμ
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
λμ
−
μλλ
0
λμ
+
2
+∂∂
+
1
⎢⎥
2
λμ
+
⎣⎦
1
()
Qf
21
1
()
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
n
()
nz
nz
⎛⎞
f
∂
xz
⎜⎟
⎜⎟
xy
⎝⎠
n
()
f
∂
2
n
h
2!
n
()
21
h
yz
21!
n
()
(1.2.8)
n
+
;
⎛⎞
UV
∂∂
PW Q f
()
112
∞
μλ λ
+++
∑
n
=
0
11
⎜⎟
⎝⎠
−
+= Δ− −Δ +
xx
∂∂ +
⎡⎤
2
λμ
()
1
()
1
⎢⎥
21
λμ
+∂∂
⎢⎥
⎣⎦
∞
∑
n
=
0
+
Qf
2
nz
⎡⎤
n
−
μλ λ
()
1
⎢⎥
⎣⎦
n
()
+
λμ
2
λμ
⎛⎞
f
∂
xz
⎜⎟
⎜⎟
xy
⎝⎠
1
()
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
f
∂
h
yz
n
21!
()
n
+
21
+
nz
;
2
h
n
2!
()
∞
⎡⎤
+
λμ
−+Δ++=+
⎢⎥
∑
=
n
0
+∂∂∂∂
λμ
⎣⎦
2
1
()
⎛⎞
λλ μ
⎜⎟
21
⎝⎠
Q
n
⎛⎞
UV
∂∂
n
()
11
⎜⎟
⎝⎠
xyx
⎛⎞
f
∂
−
1
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
f
∂
xz
yz
где
∞
⎧
λμ
+
PW Q
=−Δ+−Δ+
()
12121
4
λμ
+
()
+Δ
2
λμ
+
−
n
1
==−Δ=−Δ
Q
n
∑
=
m
0
⎪
⎨
∑
==
nm
0
λλ
mn n
() () ()
; ; .
λλ λ
21 2
2
λμ
+
⎪
⎩
1
m
()
()
21 1
QW
11
⎡⎤ ⎡⎤
()
λλλλ
⎢⎥ ⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
⎬⎬
n
⎭
⎡⎤⎡⎤
ρρ
⎢⎥⎢⎥
λμ μ
+
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
2
nnm
()
m
++
nm
21
()
h
21!2!
+
nm
()()
22
∂∂
22
∂∂
tt
nn
()
()
;
⎫
+
⎪
(1.2.11)
⎪
⎭
n
(1.2.9)
;
(1.2.10)
Уравнение (1.2.8) является общим уравнением поперечных колебаний
однородной упругой пластины.
Уравнения (1.2.9) и (1.2.10) легко упростить, полагая
∂∂
=+
V
1
∂∂
ψ
, тогда для потенциалов φ и ψ получим раздельные уравне-
yx
=+
1
ния.
Записав выражения для напряжений
перемещений
ij
имеем:
∂∂
∂∂
, , ,UVW
11 1
ψ
;U
y
13
⎧
+
ν
∞
⎡⎤
2
λμ
+
()
⎪
σλ λλ
=+++−
xx n
2
λμ
()
−+
λμ
=+++
σμ λ λ
yy n
2
λμ
()
−+
λμ
=Δ+−++
σμλ λ λλ
zz n n
∂
V
+
∂
y
=−+
σμ λ
xy
22 2 21
∂∂ ∂
+− + −
xy
∂∂
=−++−−
σμ λ λ
xz n n
⎡⎤
λμ
−−Δ−
⎢⎥
λμ
⎣⎦
=+−−− −
σλ λ
yz n n
⎡⎤
λμ
−−Δ−
⎢⎥
λμ
⎣⎦
uQUQW
=− − −
∑
n
=− − −
wQQ
=− − −
∑
n
14
⎢⎥
⎨
∑
n
+
+∂
∑
n
+
+∂
∞
∑
n
⎞
1
⎟
⎟
⎠
∑
n
22
∑
n
+
+∂
∑
n
+
+∂
∞
=
0
∞
∑
n
=
∞
0
=
λμ λμ λμ
++∂+
⎢⎥
0
=
⎪
⎣⎦
⎩
2
∂
Q
2
∞
0
=
2
0
=
⎫
⎪
⎬
()
⎪
⎭
∞
0
=
∞
0
=
2
⎧
∞
⎪
⎨
0
=
⎪
⎩
2
⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
⎜⎟
⎨⎬
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠
⎩⎭
⎧⎫
⎪⎪
⎨⎬
0
⎪⎪
⎩⎭
⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
⎜⎟
⎨⎬
⎝⎠
⎪⎪
⎩⎭
2
∂
x
⎧
⎡⎤
2
⎪
⎢⎥
⎨
λμ λμ λ
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎩
2
∂
Q
2
∂
y
⎧
11
⎪
()
⎨⎜
21121
⎪
⎩
21
n
+
z
+
n
21!
⎧
⎡⎤
λμ
⎪
⎢⎥
⎨
λμ
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎩
⎞
QQW
⎟
⎟
⎠
⎧
⎡⎤
λμ
⎪
⎢⎥
⎨
λμ λμ
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎩
1
⎛⎞
()
λλ
⎜⎟
21
⎝⎠
⎡⎤
+∂∂
λμ
⎢⎥
++∂∂
λμ λμ
⎢⎥
⎣⎦
1
⎛⎞
()
λλ
⎜⎟
21
⎝⎠
n
()
λλ
21 21
⎛⎞
n
()
λλ
⎜⎟
21 21
⎜⎟
⎝⎠
n
()
λλ
22
⎛⎞
11
()
⎜⎟
221
⎜⎟
222
⎝⎠
⎞
⎛⎞
∂
V
n
λμ
()
n
⎛⎞⎡ ⎤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎣ ⎦
1
⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎟
y
⎝⎠
⎠
+
⎛⎞
⎜⎟
++∂+
⎞
⎟
⎟
⎠
22
⎜⎟
22
⎝⎠
⎛⎞
∂
U
1
⎜⎟
x
⎝⎠
++
λμ λμ
()
++∂
λμ λμ
22
;
⎛
+∂∂
+
2
nn
+∂∂
++∂∂
22
22
λμ λμ
+∂ + ∂∂
λμ λμ
++∂∂
λμ λμ
λμ λμ
λμ λμ
λμ λμ
++∂∂
1
()
⎜⎟
2
⎜⎟
⎝
⎤
∂
n
()
⎥
λλ
121
⎥
⎦
⎛⎞
1
()
⎜⎟
211
⎜⎟
⎝⎠
Q
n
⎛⎞
1
()
⎜⎟
211
⎜⎟
⎝⎠
Q
n
22
∂
+∂ + ∂∂
++∂∂
22
++
22
2
∂+ +
2
∂
y
1
()
λ
W
21
2
1
∂+ +
()
22
∂
x
1
()
W
λ
21
QW Q
22
22
∂∂
xy
λμ
2
V
xxy
∂+∂∂
221
2
x
∂
1
()
()
1
λμ
22
22
xy
∂∂
W
∂
n
()
22
22
xy
∂∂
W
∂
n
()
nn
221
QV Q W
nn
2
y
nn
34 23
Q
()
2
()
λμ λμ
21
n
+
z
21!
n
Q
z
21!
nn
()
;
+
34 23
λμ λμ
n
21
+
;
+
n
()
⎢⎥
⎢⎥
⎞
Q
⎠
()
++ +
λλ
n
12
+
2
QU Q
n
2
⎫
z
⎪
1
⎬
x
n
2!
()
⎪
⎭
QV Q
2
n
⎫
z
⎪
1
⎬
y
n
2!
()
⎪
⎭
()
;
n
()
.
⎛⎞
UV
∂∂
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∂
n
()
n
()
U
∂
n
x
∂+
1
()
n
2
⎛⎞
Vz
⎜⎟
⎜⎟
xy
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
yx
⎝⎠
11
xy
⎛
U
1
⎜
x
⎝
∂
1
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
2
⎛
V
1
⎜
y
⎝
()
⎡
+
λμ
⎢
λμ
⎣
n
+
z
n
+
21!
()
+
λμ
()
2
2
()
⎛
⎜
⎝
;
μ
⎛
∂
⎝
1
()
2
V
∂
xy
+
λμ
()
2
U
∂
1
xy
1
()
Uz
1
()
2
n
z
;
2!
n
()
n
n
21!
()
n
21!
()
()
1
()
λ
1
U
1
x
1
+
n
+
+
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
(1.2.12)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
;
(1.2.13)
;
§3. Частные виды приближенных уравнений поперечных
f
ρ
μ
λ
(
μ
ρ
+
(
ρ
(
λ
ρ
+
μ
ρ
колебаний пластин
Для решения конкретных задач использование точного уравнения
поперечных колебаний упругих пластин (1.2.8) не представляется возможным, т.к. в них присутствуют производные бесконечно высокого порядка по всем координатам и времени.
Однако из уравнения (1.2.8) можно получить приближенные уравнения любого порядка, ограничиваясь в рядах конечным числом первых членов.
Выпишем два приближенных уравнения:
а) пусть
242
∂∂∂
WWW
111
242
∂∂∂
ttt
()
2
⎛⎞
h
+−Δ+Δ=−++
AA AWf
⎜⎟
12 31
⎜⎟
6
⎝⎠
1nm+=, получим уравнения четвертого порядка:
⎛⎞
2
1
hxy
∂
⎜⎟
z
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∂
f
xz
yz
,
(1.3.1)
где
37
λμ
A
()
=
1
б) пусть
()
+
;
2
+
λμ
()
2nm+=, получим уравнение шестого порядка:
A
=
2
43 4
()
λμ
μ
+
;
2
+
A
8
λμ
=
3
2
+
λμ
()
)
.
(1.3.2)
242 64
WWW WW
∂∂∂ ∂∂
242 64
ttt tt
∂∂∂ ∂∂
AWAW Ф ff f
+Δ − Δ =
61 1
AA
==
4
22
⎛⎞⎛
hh
111 11
+−Δ+Δ+ −Δ+
23
AA AW AA
⎜⎟⎜
12 31 4
⎜⎟⎜
6120
⎝⎠⎝
,, ,
()
7
22 2 2 2
530 41 4939 38
λλμμ ρλλμμ
()
2
μλ μ μλ μ
)
++ ++
22
++
()
zxzyz
22
; ;
2
5
(1.3.3)
)
5
()
(1.3.4)
16 4 19 21
ρλ λμ μ
AA
==
6
Используя соотношение
22
++
()
2
2
+
λμ
()
; .
32
μλ μ
+
()
7
ρλ μ
μν
λμ
+
2
+
()
12
−
==
21
ν
−
()
2
b
получим коэффициенты в
,
2
a
уравнениях (1.3.1) и (1.3.2) в виде:
78 42
ρν ν
−−
()
AAAA
====
1234
AA A
57
2
21 1 1
b
()
22
16 37 19 16
νν
== =
2
b
; ; ; ;
ννν
−−−
−+
22
11
νν
−−
()
()
; 4 ; ;
)
2
24 46 21
νν
()
6
()
здесь ν- коэффициент Пуассона;
22
4 64 104 41
b
()
−+
2
a
=
νν
−+
4
41
b
ν
−
()
b
1
ν
−
()
μ
- скорость продольной волны;
2
(1.3.5)
2
b
=
- скорость поперечной волны.
15
В том случае, если однородная пластина вязкоупругая, то зависимо-
σ
σ
M
ζ
ζ
f
f
φ
ψ
f
сти напряжений
02 ;
LM M
=+ =
()
ij ij ij ij
; , , ,
ijijxyz
≠=
()
εσ ε
() ()
от деформаций принимают вид:
ij
(1.3.6)
где операторы L и M типа
⎡⎤
Ltftd
()
где
N
λζ ξζξ ξ
=−−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
=−−
μζ ξζξ ξ
()
Δ=
φρ
()
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
t и
()
1
ψρ
Δ=
M
()
t
()
tft d
()
2
2
∂
2
∂
t
2
∂
∂
t
()()
1
∫
0
t
()()
2
∫
0
t - ядра вязкоупругих операторов.
()
⎫
⎪
⎪
(1.3.8)
⎬
⎪
2
⎪
⎭
;
(1.3.7)
.
В этом случае приближенное уравнение колебаний (1.3.1) имеет вид:
22 4 2
Wh
∂∂∂
ρρ ρ
242
ttt
∂∂∂
81
MMN W f
+− Δ=−++
()
⎡
21 1 1
−− −
++−−Δ+
6
NM MN
⎢
()()
⎢
⎣
12
−
3432
⎛⎞
f
⎤
⎥
⎦
1
1
hxy
∂
⎜⎟
z
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
f
∂
xz
yz
(1.3.9)
Приближенное уравнение (1.3.3), исключая левую часть уравнения
(1.3.9), имеет вид:
264
⎡
h
120
+− − Δ− − Δ+ +
++−−Δ+−Δ=
=Φ
32 11 2 2 1 1 2
−−−− −− −
NNMM NMMN
++−+− Δ+
ρρ
⎢
()()
⎢
⎣
ρρ
16 4 2 32 1
()()
242
⎡
h
21 2 1 12
ρρ
⎢
6
()() ()
⎢
⎣
ff f
,, .
()
zxzyz
10 5 4 3 9 4
122 2 13
−−− −
MN M N M MN W
∂∂
∂∂
−− − −
NM MN MMN W
3432 81
∂∂
42
tt
∂∂
∂∂
64
tt
∂∂
22
22
tt
⎤
⎥
1
⎥
⎦
W
(1.3.10)
⎤
1
⎥
⎦
§4. Продольные колебания пластин
Продольные колебания возникают в случае, если функции внешних
усилий удовлетворяют условиям:
+− + −
fff ff jxy
== =−= =
zzz
; ; , ;
jz jz jz
()
(1.4.1)
16
тогда в выражениях (1.1.19) произвольные постоянные
A
B
B
B
φαψβψβψ
+
f
BBB====, и общее решение задачи имеет вид:
21222 32
Ach z
=
01
,0 11
x
()
=
sh z
()
0
(1.4.2)
=
sh z
,0 21
y
=
,0 31
z
()
ch z
β
()
Для этого случая главные части приращения (1.1.23) запишем в виде:
=− +
0 1 21 21
=+ + (1.4.3)
0 1 11 31
=+ −
0 1 11 21
β
()
β
()
β
()
Тогда выражения для
;UkA BqB
;VqA B kB
.WkA qBkB
,,uvw, используя соотношения (1.1.18),
00 0
(1.1.24), (1.4.2) и (1.4.3) и представляя гиперболические функции в виде
рядов, примут вид:
∞
u k lQ U klQ qV W
=− − −
∑
0 0 ,0 0 0 ,0 0 0
n
=
∞
vqlQVqlQkUW
=− − −
∑
00,000,000
=
n
∞
wlQWlQkUqV
=− − +
∑
0 0 ,0 0 0 ,0 0 0
n
22
n
⎡⎤
β
()
⎢⎥
⎣⎦
0
22
n
⎡⎤
β
()
⎢⎥
⎣⎦
0
22 2
n
⎡⎤
βα α
()
⎢⎥
⎣⎦
0
=
nn
nn
nn
()
()
()
2
n
z
;
n
2!
()
2
n
z
;
(1.4.4)
n
2!
()
21
n
+
z
n
21!
()
.
После обращения на ,,kqp и после подстановок в граничные усло-
вия (1.1.6) получаем систему уравнений:
⎛⎞
UV h
∂∂
HCQCf
+−Δ+−+
∑
n
HW C Q C
+− Δ−−
∑
n
∞
∑
0
n
=
+= Δ ++ +
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
∞
⎧⎫
⎡⎤
1
⎪⎪
⎛⎞
CQC
⎨⎬
⎜⎟
⎢⎥
μ
0
=
()
∞
1
μ
=
0
⎧⎫
⎪⎪
⎡⎤
()
⎨⎬
⎢⎥
⎣⎦
⎪⎪
⎩⎭
⎝⎠
⎣⎦
⎪⎪
⎩⎭
∞
=− −Δ − + + +
∑
=
n
⎧⎫
⎡⎤
21 ;
λλλ
⎨⎬
⎢⎥
⎣⎦
⎩⎭
1;
CC
−−Δ − =− −
λλ
∞
⎧⎫
1
⎨⎬
∑
μ
0
=
n
⎩⎭
1
()
λλ
12
⎧⎫
1
⎪⎪
⎨⎬
μ
0
⎪⎪
⎩⎭
112
()
CQ C f
112
1
()
12
n
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
1
⎛⎞
()
λλ
⎜⎟
22
⎝⎠
()
nz
()
1
()
⎡⎤
21
λλ
12
⎢⎥
⎣⎦
1;
()
n
()
nz
⎛⎞
f
∂
n
()
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
1
()
() ( )
⎛⎞
UV h
∂∂
n
⎜⎟
⎜⎟
yx y x
∂∂ ∂ ∂
⎝⎠
21!
()
n
()
f
∂
xz
n
yz
⎛⎞
f
∂
n
()
h
21!
()
21
n
+
xz
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
+
21
n
n
+
+
21
n
+
n
+
21!
()
2
n
h
n
2!
()
2
f
∂
yz
n
h
n
2!
()
(1.4.5)
⎛⎞
∂
1
⎜⎟
⎜⎟
μ
⎝⎠
∂
f
xz
yz
где
17
∞∞
⎢
(
)
x
λ
λμμ
+
⎡
⎢
⎢⎥⎣
x
ϕ
ϕ
f
x
∂
ρ
HQCCQCC
=−Δ −−Δ −+Δ+−+
∑∑
nm
nm
+
()
λλ
+−+Δ−−
21
∂∂
Δ= +
∂∂
nn
()
λρ λ
=−Δ=−Δ
12
⎧
⎨
00
==
⎩
⎡⎤
11 ;
()()
⎢⎥
⎣⎦
22
22
⎡⎤
⎢⎥
λμ
⎢⎥
()
⎣⎦
11 1
()
411
λλ λ λ λ
12 2 2 1
22
CC
;
Q
=
y
n
1
+
∂∂
∂∂
2
nm
()
mn
1
n
−
nq q
()()
∑
12
1
q
=
22
22
tt
n
⎛⎞⎡ ⎤
()
⎜⎟
⎝⎠⎣ ⎦
⎫
1
()
⎬
⎭
1
−−
λ
()
; .
21
h
nm
2!2 1!
()( )
;
=−
ρ
μ
nm
+−
()
()()
+
(1.4.6)
;C
n
⎤
⎥
⎦
()
⎥
Упростим уравнение (1.4.5), положив
∂∂ ∂∂
=+ =−
∂∂ ∂∂
ψϕψ
; .UV
(1.4.7)
yyx
Тогда вместо системы (1.4.5) получаем общую систему уравнений, описывающую продольные колебания пластины:
HFxyt
Δ=
()
∞
⎧⎫
⎡⎤
1,,,
CC Fxyt
−−ΔΔ =
()
⎨⎬
∑
⎢⎥
⎣⎦
n
0
=
⎩⎭
,, ,
()
1
21
n
1
()
λλψ
12 2
n
()
+
h
()
21!
n
+
()
(1.4.8)
где
F и2F - правые части первого и третьего уравнений в системе (1.4.5).
1
Величина W определяется из второго уравнения системы (1.4.5).
Общие уравнения (1.4.8) сложны при решении практических задач
колебаний. Однако из этих общих уравнений можно получить приближенные уравнения любого конечного порядка по производным. Например, если в общем уравнении (1.4.8) ограничимся первыми слагаемыми,
то получим уравнения второго порядка:
2
ϕ
∂
22222221
ρρ ϕ
ababbafa
∂
2
ψ
∂
−Δ=− Δ −
2
t
∂
42
−−Δ=−+Δ+
2
t
21
ψ
b
()( )
⎛⎞
f
1
ρ
hyx
∂
−
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
f
∂
xz
yz
z
⎛⎞
∂
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∂
f
xz
yz
y
∂
(1.4.9)
Если ограничимся первыми двумя слагаемыми, то получим прибли-
женные уравнения четвертого порядка:
2224442
ϕϕ
∂∂−∂
2222
abab
∂∂∂
8;
ba b a
+−Δ=Δ+
ρϕ
434
− − Δ+ − − Δ+
ρϕρ ρ ϕ
22422
tbtat
22 2 2 21
()
()
1
⎤
⎥
⎦
hxy
⎡
ha ab
−
⎛⎞
⎢
⎜⎟
⎜⎟
6
⎢
⎝⎠
⎣
⎛⎞
f
∂
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
f
∂
xz
yz
2
(1.4.10)
222
⎛⎞ ⎛ ⎞
∂∂
−Δ + −Δ = −
⎜⎟ ⎜ ⎟
22
⎜⎟ ⎜ ⎟
tt
∂∂
⎝⎠ ⎝ ⎠
18
⎡⎤
22 2 1
⎢⎥
bb b a
⎢⎥
⎣⎦
h
ψψ
ψ
6
1
ρ
⎛⎞
∂
−
⎜⎟
⎜⎟
hyx
∂∂
⎝⎠
f
xz
yz
.
f
∂
где а и b – соответственно продольная и поперечная скорость распростра-
f
x
f
⎞
B
λμλ
=
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣
=
нения волны.
Приближенные уравнения (1.4.9) соответствуют классическим волновым уравнениям относительно потенциалов ϕ и ψ продольных и попе-
речных волн.
В том случае, если однородная пластина вязкоупругая, то приближенные уравнения (1.4.9) и (1.4.10) имеют вид:
2
ϕ
∂
1111
−−−−
NM N M NM f NM
ρϕ
∂
2
ψ
∂
111
−−−
ρψ
MM
t
∂
⎡⎤
ρϕρ
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
42 8 2
−−Δ+−Δ=−+
−−−
1211
NM N M M NM
NM MN N M NM f
ρϕϕ
()
42 ;
−−Δ= −+ Δ +
()
2
t
−Δ =− Δ −
2
22 4
ϕϕ
∂∂
−−Δ+ + −
24
tt
∂∂
−− −
11 2 1
1
hyx
43
()
2
∂
2
t
∂
()
⎛⎞
f
∂
xz
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
h
⎡
⎣
6
()
z
f
∂
yz
.
()
⎤
⎥
()
⎥
⎦
⎛⎞
∂
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∂
f
xz
yz
y
(1.4.11)
z
(1.4.12)
⎛⎞
f
1
−−
11
MN
+Δ+
hxy
⎛⎞⎛ ⎞
MMM
ρψρψ
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
222
∂∂
−−−−
1111
tt
∂∂
∂
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎡⎤
⎢⎥
−Δ + −Δ = Δ −
22
⎢⎥
⎣⎦
f
∂
xz
yz
;
⎛
h
ψ
6
1
hyx
∂
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∂
f
xz
yz
.
§5. Исследование пределов применимости приближенных
уравнений колебания пластин
Общее уравнение поперечных колебаний (1.2.8) представим в виде
[36]:
∞∞
⎧
⎪
∑∑
nm
+Δ =− −Δ +
++ ++
где
⎨
00
==
⎪
⎩
λλ μ λ
4,,
nn
()
⎤
λμλλ
121
⎥
⎦
=
B
11
()
⎛⎞ ⎛⎞
BQ
λλλλ
⎜⎟ ⎜⎟
21 21
⎝⎠ ⎝⎠
11
m
()
()
21 1 2
221
nn
hh
fBQ
zn
nn
2! 2 1!
()
+
+
2
2
nnm
−Δ + −Δ +
QWxytBQ
nn
;
μ
()
m
21
nm
+−
()
h
⎫⎛⎞
⎬
2!2 1!
nm
⎭⎝⎠
()( )
∞
∑
n
=
λ
⎡⎤
1
−
2;
⎢⎥
⎣⎦
0
⎡⎤
1
()
1
1
⎢⎥
at
⎢⎥
⎣⎦
()
+
1
()
2
∂
−Δ
22
∂
()
+
()
∞
∑
n
=
⎛⎞
∂
()
λ
;
f
xz
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
xy
⎝⎠
1
()
2
1
22
bt
⎡
1
−
⎢
0
⎣
∂
f
yz
()
2
∂
−Δ
∂
()
⎜⎟
+
+
2
.
⎦
(1.5.1)
19
Общее уравнение колебания пластин (1.5.1) содержит производные
λ
)
λ
)
λ
λ
⎡
⎢
⎢⎥⎢
⎢
⎢
⎣
λ
)
(
)
бесконечно высокого порядка по координатам и времени, поэтому их
нельзя, например, использовать при решении конкретных прикладных задач, для ограниченной пластины при формулировке граничных условий.
Отсюда возникает необходимость ограничивать количество членов ряда,
т.е. пользоваться приближенным уравнением. Для правомерности таких
усечений следует проверить сходимость рядов, входящих в уравнение, и
определить их интервалы сходимости, меньший из них и есть интервал
сходимости всех рядов.
Рассмотрим сначала двойной ряд левой части уравнения (1.5.1), пре-
образуем его и определим интервал сходимости. Заметим, что
1
ab> , и заменив
∞∞
∑∑
nm
00
==
4,,
+Δ = −Δ++
14 .
++ Δ =
()
nm
() () ()
λλλλ
2222
Bn W x y t Bm
λλλλ
Bn
⎡
11 1
+−
⎢
Bm
⎢
⎣
1111
()
21222
h
⎤⎛⎞
⎥
2!2 1!
nm
⎦⎝⎠
()( )
1
()
λφ
21,,
(
на
1
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
nm
21
+−
()
+
nm
21
()
h
⎤
⎥
nm
2!2 1!
⎦
()( )
1
(
, получим:
2
2
−Δ + +Δ +
∞∞
()
+−
+
∑∑
nm
∞∞
∑∑
nm
00
==
00
==
nm
( ) () ()
⎢
⎜⎟
⎢
⎣
⎡
nm
+−
2
(1.5.2)
Используя принцип Даламбера, определим интервал сходимости ря-
да (1.5.2)
2
−Δ + Δ
2
4
λλ
14
()
()
2
()
φ
nm
++
lim lim 1
nm nm
1, 1, 1
→→
,0 ,0
φ
1, ,
=+
nm
++
232 2
nm
()( )
λ
2
h
2
11
() ()
⎛⎞
BB
λλ
⎜⎟
22
⎝⎠
11 1
⎛⎞
Bm n B
() ()
−Δ + + + Δ
⎜⎟
22 2
⎝⎠
Заметим, что выражение, стоящее в квадратных скобках,
11
() ()
⎛⎞
BB
λλ
⎜⎟
22
1
+
Bm n B
⎝⎠
11 1
() ()
⎛⎞
−Δ + + + Δ
⎜⎟
22 2
⎝⎠
2
−Δ + Δ
2
4
λλ
14
()
()
,
λ
> т.к.
21
⎤
⎥
.
⎥
⎥
⎥
⎦
есть величина более высокого порядка малости, чем единица:
22
(
φ
1, 1, 1
nm
lim lim 1.
,0 ,0
nm nm
→→
++
φ
1, ,
nm
==<
232 2 232 2
++ ++
nm nm
()( )
22
hh
λλ
22
(1.5.3)
()( )
Пусть
⎡⎤
⎛⎞
ω
WA i
exp ,
=++ (1.5.4)
bt kx qy
⎢⎥
⎜⎟
hee
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
тогда выражение (1.5.3) принимает вид
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]