Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краевые задачи колебания пластин. Монография
.pdf
21
λ
)
λ
)
λ
α
(
)
λ
)
λ
=
n
⎧
⎡⎤
∞
S S
() ()
wCQ CQW
∞
+− + +−
∑
=
n
0
⎪⎪
=+++ +
⎧⎫
⎪⎪
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
⎢⎥
⎨⎬
∑
=
n
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
SSn S S SSn S
⎢⎥
0
⎪⎪
⎢⎥
⎣⎦
⎩
DQ DQ W
SSn S SSn S
1
λλλ
121
SS
⎛⎞
() ()
UV
∂∂
11
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
SS
()
⎛⎞
UV
∂∂
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
()
n
()
()
n
⎛⎞
()
λλ
⎜⎟
221
⎝⎠
1
() ( )
zz
−
()
()
21!
n
()
2
S
2!
n
n
zz
−
()
S
()
+
⎫
S
+
⎭
.
1
n
−
nm
−−
1
−−
1;1; ,
CNMDMNQ
=− =− =
SSSS SSSn SS
11
()
∑
12
m
=
0
m
()
λ
1
где операторы
⎡⎤
1
()
=−−
λρ
λρ
⎢⎥
1
SSS
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
1
()
=−−
⎢⎥
2
SSS
⎢⎥
⎣⎦
1
−
N
∂∂∂
1
−
M
(
1S
222
∂∂∂
222
txy
222
∂∂∂
222
∂∂∂
txy
и
1
(
равны
2S
;
.
и получены после обращения величин
22
,
β
по ,, .kqp
SS
Операторы
1
1S
перечных волн в плоскостях
и
1
(
описывают распространение продольных и по-
2S
zz const
= .
S
Зная выражения для смещений (4.1.20), получим аналогичное выра-
жение для напряжений:
⎧
∞
S
( ) () ()
σλλ λ
+−+−−+ + +
++++
+− + + +
MCQ C
=−+−+−+
xx s sn s
⎡⎤
⎢⎥
CQ C W
ssn s
⎢⎥
⎣⎦
⎧
∞
MDQ D
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎪
⎨
∑
SS S
=
n
0
⎪
⎩
DQ D W
21 ;
ssn s
⎡⎤
⎪
⎢⎥
⎨
∑
SSS S
⎢⎥
n
=
0
⎪
⎣⎦
⎩
⎛⎞
11
() ()
λλ λ
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎡
⎢
⎢
⎣
21
SS S
21 2
212
ssn s
2
∂
2
x
∂
⎛⎞
11
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∂∂
⎛⎞
1
()
λλ
⎜⎟
22
⎜⎟
⎝⎠
()
21
21 2
22
∂∂ ∂
22
xy
2
∂
2
y
∂
⎛⎞
ns
()
⎜⎟
λλ
SS
12
⎜⎟
⎝⎠
22
∂∂ ∂
22
xy
∂∂
()
()
S
()
V
∂
1
y
∂
1
()
()
⎛⎞
V
ns
()
⎜⎟
⎜⎟
∂
⎝⎠
S
()
⎤
U
∂
n
()
1
⎥
x
∂
⎥
⎦
⎫
zz
()
⎪
()
⎬
()
⎪
⎭
()
s
()
y
+
21
−
S
n
+
21!
n
n
()
+
s
()
U
x
∂
n
⎫
zz
()
⎪
⎬
⎪
⎭
2
−
S
2!
n
()
61
⎧
+
x
∞
S
( ) () ()
σλλ λ
+−−+−+ + +
+++++
+− + + +
MCQ C
=−+++−+
yy s sn s
⎡⎤
⎢⎥
CQ C W
ssn s
⎢⎥
⎣⎦
⎧
∞
MDQ D
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎪
⎨
∑
SS S
=
n
0
⎪
⎩
21
DQ D W
ssn s
⎡⎤
⎪
⎢⎥
⎨
∑
SSS S
⎢⎥
n
=
0
⎪
⎣⎦
⎩
⎛⎞
11
() ()
λλ λ
⎜⎟
21 2
SS S
⎜⎟
⎝⎠
⎡⎤
⎢⎥
212
ssn s
⎢⎥
⎣⎦
2
∂
2
y
∂
⎛⎞
11
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∂∂ ∂
xy
∂∂
⎛⎞
1
()
λλ
⎜⎟
22
⎜⎟
⎝⎠
()
21
21 2
22
22
2
∂
2
x
∂
⎛⎞
ns
()
⎜⎟
λλ
SS
12
⎜⎟
⎝⎠
22
∂∂ ∂
22
xy
∂∂
1
()
()
S
()
U
∂
1
x
∂
1
()
()
()
⎛⎞
U
ns
()
⎜⎟
⎜⎟
x
∂
⎝⎠
S
()
V
∂
n
()
1
y
∂
⎫
zz
()
⎪
()
⎬
⎪
⎭
()
s
−
S
n
+
21!
()
n
()
21
n
s
()
V
∂
⎫
()
⎪
⎬
⎪
⎭
+
y
2
S
2!
n
n
zz
−
()
;
⎧
∞
S
() ()
MCQ C
=−Δ++++
σλλ
zz s sn s
⎡⎤
CQ C W
+−Δ+− +
ssn s
⎢⎥
⎣⎦
⎧
∞
MDQ DQW
+− + ++ Δ+
S
()
σλλ
xy s sn s sn
2
CQ M DQ
++−+++
⎡⎤
⎢⎥
++−+
⎢⎥
⎣⎦
S
()
σλλ λλλ
xz s sn s sn s
CUCQ C
−+++
⎪
⎨⎬
∑
SSS SS
=
n
0
⎪
⎩
MCQ CQ
=++++
ssn ssn
DQ
ssn
MC Q CQ C
=+++−−
2
⎞
∂∂
⎟
sssns
2
⎟
y
∂
⎠
⎡⎤
⎪
⎨
⎢⎥
∑
SS S
0
n
=
⎣⎦
⎪
⎩
1
⎛⎞
()
λλ
⎜⎟
SS
22
⎝⎠
⎡⎤
22;
ssn ssn
⎢⎥
⎣⎦
∞
⎧
⎡⎤⎡⎤
⎪
⎢⎥⎢⎥
⎨
∑
SS S
⎢⎥⎢⎥
=
n
0
⎪
⎣⎦⎣⎦
⎩
s
()
222
⎫
zz
W
∂∂∂
∂∂ ∂
⎛⎞
()
λλ
⎜⎟
21
⎜⎟
⎝⎠
∞
∑
SSS SSS
=
n
⎤
⎥
⎥
⎦
()
⎪⎪
⎬⎨
yx
⎪⎪
⎭
1
0
22
∂∂
SS
() ( )
22
xy
∂∂
⎧
⎪
⎡⎤
221
⎨
⎢⎥
⎣⎦
⎪
⎩
snn
⎡⎤
21
⎢⎥
⎣⎦
1
⎛⎞
⎜⎟
22
⎝⎠
1
()
11
()
λλ λ λ
22 2 1
−
2!
()
() ()
12 1 1 1
nns
()
22
∂∂ ∂∂
22
xy
∂∂
n
2
S
n
nn n n
λλ
SS
12
1
()
ns
() ()
SS
() ()
⎛⎞
UV
∂∂
11
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
ss
()
UV
nn
()
22
xy
∂∂
⎧
∞
∑
SS S
n
=
0
⎩
V
∂
n
()
1
yxy
∂∂∂
22
V
∂∂
xy
∂∂
()
n
()
zz
−
⎫
()
⎪
⎬
⎪
⎭
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
S
()
s
()
S
n
2!
()
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
2;
DQ
−
ssn
⎡
⎢
⎢
⎣
W
()
∂
ss
()
⎛⎞
UV
∂∂
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
2
n
()
21
zz
−
()
U
∂
1
21
n
+
⎫
21!
⎭
()
S
()
1
()
()
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
()
1
()
λλ
21
s
()
x
22
xy
∂∂
s
()
2
1
W
∂
()
λ
S
2
() ()
2
x
∂
n
⎫
zz
()
⎪
⎬
()
⎪
⎭
21
−
S
n
+
21!
() ()
()
n
()
⎫
zz
−
()
⎪
⎬
⎪
⎭
S
n
+
21!
()
()
+
+
n
S
n
+
(4.1.21)
62
S
()()()()(
)()
⎧
∞
MDQ DQU
+− +−+ + −
⎡⎤
−−Δ−
⎣⎦
S
()
σλλ λλλ
yz s sn s sn s
CVCQ C
−+++ +
MDQ DQV
+− ++− + −
⎡⎤
−−Δ−
⎢⎥
⎣⎦
⎪
2
⎨
∑
SSS
n
=
0
⎪
⎩
DQ
ssn
MC Q CQ C
=+++−
2
⎞
∂∂
⎟
sssns
2
⎟
x
∂
⎠
⎧
∞
⎪
⎨
∑
SSS
=
n
0
⎪
⎩
DQ
ssn
ssn ssn
1
()
⎛⎞
λλ
⎜⎟⎢⎥
SS
21
⎝⎠
∞
⎧
⎪
⎨
∑
SSS SSS
n
=
0
⎪
⎩
⎤
snn
() ()
⎥
⎥
⎦
2
⎛⎞
λλ
⎜⎟
⎝⎠
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
ssn ssn
1
()
SS
21
()
2
V
∂
xy
∂∂
() ()
⎡⎤
221
12 1 1 1
⎢⎥
⎣⎦
21
2
U
∂
xy
∂∂
⎡⎤
⎛⎞
1
1
n
()
nn n n
λλ
S
()
1
n
()
()
⎢⎥
λλ
⎜⎟
211
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
S
()
W
∂
1
x
∂
()
12
SS
⎡⎤
⎛⎞
()
⎢⎥
λλ
⎜⎟
211
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
S
()
W
∂
1
y
∂
22
∂∂
22
xy
∂∂
n
⎫
zz
()
⎪
⎬
⎪
⎭
22
∂∂
∂∂
1
∂∂
⎫
zz
()
⎪
⎬
⎪
⎭
2
−
S
;
n
2!
()
s
()
U
xy
∂∂
xy
−
2!
()
⎡
⎢
⎢
⎣
W
()
y
∂
22
22
2
n
S
.
n
s
⎫
()
⎪
⎬
⎪
⎭
()
() ()
x
∂
zz
−
()
S
n
+
21!
()
()
n
2
21
n
n
S
()
()
+
S
()
1
()
−
Выражения (4.1.20) для смещений и напряжений (4.1.21) получены
при решении уравнений (4.1.5) с учетом нулевых начальных условий
(4.1.9), они являются общими решениями задачи Коши, причем выражены
через шесть произвольных функций
SS S SS S
,, , ,,
UVWUVW для каждого
11 1
из слоев.
Подставим значения напряжений в граничные условия, получим
систему интегродифференциальных уравнений для нахождения всех неизвестных функций в общем решении.
Полученная система и будет описывать в общем случае колебания
слоистой среды или слоистой пластины.
§2. Общее уравнение поперечных колебаний трехслойной пластины
постоянной толщины частного вида
В данной задаче искомые функции, введенные в §1 для внутреннего
слоя, определяют поведение точек ее срединной плоскости, а для внешних
слоев - по плоскостям контакта с внутренним слоем.
Искомые функции для внешних слоев можно выразить через искомые функции для внутренних слоев из граничных условий по поверхностям контакта слоев в виде
63
)
1
x
(
)
∂
()()(
)()
j
f
=
(
)
+
(
)
+
21
() ()
UM
12
21 21
() ()
WN D C Ww
12 2 2
−
1
=−
=+++ + =
σ
xz
−
1
σ
zz
(
w
∂
;
∂
11 ; .
()()
21
() ()
VM
12
−
1
=−
σ
11
() ()
⎛⎞
uv
∂∂
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
yz
1
w
∂
;
21 21
; ;UuVv==
y
() ()
(4.2.1)
Известно, что поперечные колебания относятся к антисимметрич-
ным колебаниям и возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям
+− +−
fffff
=− = = =
zzz
;
zjzjz
,jxy
()
. (4.2.2)
Тогда в выражениях общего решения (4.1.14) неизвестные постоянные
111 2131
0.AB B B====
В этом случае функции смещений и напряжений можно представить
в виде
21
n
n
2
S
+
S
+
n
.
+
21
n
+
;
;
(4.2.3)
⎡⎤
∞
SSS
()
uDQUDQ W
=− − +
SSS
()
vDQVDQ W
=− − +
S S
()
wDQ DQW
S
() ()
σλλ
xx
⎡⎤
21 ;
+− + + +
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
S
() ()
σλλ
yy
⎡⎤
+− + + +
21 ;
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
n
()
⎢⎥
λλ
⎜⎟
∑
=
n
∞
∑
=
n
∞
=− + + −
∑
n
=
MDQ D
=++++
DQ D W
SSn S S S
MDQ D
=++++
DQ D W
SSn S S S
SSSn SSn S
21 21
⎢⎥
⎜⎟
0
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
n
()
⎢⎥
λλ
⎜⎟
SSSn SSn S
21 21
⎢⎥
⎜⎟
0
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
0
⎢⎥
⎣⎦
∞
∑
SSSnS SS
n
=
0
∂
∂
∞
∑
SSSnS SS
n
=
0
∂
∂
⎛⎞
∂∂
⎜⎟
SSn S SSn S
⎜⎟
⎝⎠
⎧
⎡⎤
⎪
⎢⎥
212
⎨
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎩
2
()
2
x
⎧
⎡⎤
⎪
⎢⎥
212
⎨
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎩
2
()
2
y
2
∂∂
x
∂
∂∂
y
∂
SS
()
UV
11
xy
∂∂
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
()
2
2
()
2
()
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
1
22
λλ
1
21
λλ
2
∂
y
∂
⎛⎞
n
()
⎜⎟
121
⎜⎟
⎝⎠
∂
x
∂
⎛⎞
n
()
⎜⎟
121
⎜⎟
⎝⎠
()
2
S
()
V
∂
1
y
∂
2
()
2
S
()
U
∂
1
x
∂
xy
∂∂
yx
∂∂
n
()
λλ
221
1
() ( )
1
() ( )
S
()
⎛⎞
V
∂
1
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
S
()
⎛⎞
V
∂
1
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
n
()
⎫
S
⎪
⎬
⎪
⎭
n
()
⎫
S
⎪
⎬
⎪
⎭
1
() ( )
1
() ( )
1
() ( )
S
U
∂
1
x
∂
n
zz
()
()
∂
zz
()
()
21
−
S
n
+
21!
S
V
1
y
∂
n
21
−
S
n
+
21!
zz
−
()
21!
()
zz
−
()
n
21!
()
zz
−
()
S
n
2!
()
64
x
⎧
(
)
)
)
)()
K
)()
f
x
)()
f
S
() ()
σλλ
=− + ++
zz
1
()
⎡⎤
+Δ+
λλ
SSSn S
211
⎢⎥
⎣⎦
∞
⎪
⎡⎤
MDQ
∑
SSSnSS
n
=
DQ W
2;
2
⎨
⎢⎥
⎣⎦
0
⎪
⎩
n
()
1
21
S
()
n
()
−
zz
()
⎫
⎬
⎭
S
+
n
21!
()
S
()
⎛⎞
U
∂
1
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
n
+
21
∂
y
(4.2.4)
⎧
∞
S
() ()
MDQ
=−+++
σλλ
xy
⎡⎤
⎢⎥
DQ DQ
++−+−
SSn S S SSn S
⎢⎥
⎣⎦
S S
()
MDQ DQ U
=− +−+ + −
σλλ
xz
⎡⎤
DQ
−−Δ−
⎢⎥
SSn S S
⎣⎦
S S
()
MDQ DQV
=− ++− + −
σλλ
yz
⎡⎤
DQ
−−Δ−
⎢⎥
SSn S S
⎣⎦
⎡⎤
⎪
⎢⎥
⎨
∑
SSSnS S
⎢⎥
n
=
0
⎪
⎣⎦
⎩
⎛⎞
11
()
λλ λ
⎜⎟
21 2
⎜⎟
⎝⎠
∞
∑
SSSn S SSnS
n
⎛⎞
λλ
⎜⎟
⎝⎠
∞
∑
SSSn S SSnS
n
⎛⎞
λλ
⎜⎟
⎝⎠
∂∂
⎧
⎪
2
⎨
=
0
⎪
⎩
1
()
21
⎧
⎪
2
⎨
=
0
⎪
⎩
1
()
21
⎛⎞
1
⎜⎟
21
⎜⎟
⎝⎠
22
∂∂
22
xy
∂
∂∂
n
()
∂
∂∂
n
()
22
∂∂
22
xy
∂∂
n
()
S
(
2
V
1
xy
S
()
W
∂
1
x
∂
S
(
2
U
1
xy
S
()
W
∂
1
y
∂
n
()
SS
()
VW
∂∂
11
2;
yxy
∂∂∂
⎡⎤
⎛⎞
()
⎢⎥
⎜⎟
111
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎫
zz
−
()
⎪
⎬
()
⎪
⎭
⎡⎤
⎛⎞
()
⎢⎥
⎜⎟
111
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎫
zz
−
()
⎪
⎬
()
⎪
⎭
22
1
∂∂
22
xy
∂∂
n
2
S
n
2!
1
22
∂∂
22
xy
∂∂
n
2
S
.
n
2!
;
S
U
∂
1
x
∂
+
n
21
−
S
n
+
21!
()
()
2
⎫
()
zz
()
⎪
⎬
()
⎪
⎭
n
()
n
()
()
Используя соотношения (4.2.4), граничные условия (4.1.6) и (4.1.7),
получим систему уравнений:
11
(
⎛⎞
UV
∂∂
11
⎜⎟
1212
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
KKWM
3412
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
KM
5
⎜⎟
⎝⎠
++ =
∂∂
xy
11
(
∂∂
UV
11
++ = +
∂∂ ∂∂
11
(
UV
∂∂
11
yx yx
∂∂ ∂∂
yxy
+= −
KW M f
1
⎛⎞
()
⎜⎟
⎝⎠
1
()
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
∂
f
1
−
xz
⎜⎟
2
⎜⎟
⎝⎠
−
1
;
()
z
⎛⎞
∂
f
1
xz
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∂
yz
.
∂
yz
(4.2.5)
;
где
65
(
∞
+
⎧
⎡⎤
⎪
KDCQ DQ
=− −Δ−Δ−
∑
1222222111
,0
nm
21
()
⎨
⎢⎥
=
⎣⎦
⎪
⎩
1
()
⎛⎞
λλ
⎜⎟
nm
⎝⎠
m
()
)
⎡⎤
1
−
MN CQ C DQ
−−Δ+− +
12 2 2 22 2 22 211 1
⎣⎦
hhh
−
()
m
⎫
()
λλλ
++−Δ++Δ−
11 22 2 2 22 1 1
MN DQ
−
12 2
KDCQDQCQ
=−− −Δ Δ+ −Δ+
2 2 2 2 22 1 1 21 2 2 22
12
+− Δ + +
()
211
⎤
⎬⎨
⎥
⎦
2!2 1!
nm
⎭
()( )
⎛⎞⎛⎞
−
1
2
⎜⎟⎜⎟⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
∞
⎧
⎪
21
⎨
∑
nm
,0
=
⎪
⎩
nm
()
CMN DQ
222 1221 11 11
⎤
λλ λ
⎥
⎦
11
()
⎛⎞ ⎡
λλλ
⎜⎟⎢⎥
nm
⎝⎠ ⎣
m
21
+
+
11
()
+−Δ+
λλ λ λ
n
222 12 1 1 21 11
()
1
−
12
()
∞
⎧
⎪
∑
nm
=
,0
⎪
⎩
⎡⎤
nm
()
DQ
⎣⎦
111
⎛⎞ ⎛⎞
() () ()
λλλ
⎜⎟ ⎜⎟⎢
nmn
⎝⎠ ⎝⎠
1
()
()
n
()
()
⎢
⎡⎤
⎣⎦
11
() ()
4
DQ DQ
()
m
⎫
()
m
⎬
⎭
⎛⎞
⎜⎟⎢⎥
nm
⎝⎠
()
⎡
⎣
hh h
()
21 1
2!2 1!
()( )
2
−
nm
21
n
+
m
hh h
−
⎫
()
⎪
21 1
⎬
nm
+
21!2!
()()
⎪
⎭
n
m
21
+
2
;
+
∞
⎧
+Δ ++Δ − +
nm
MN
+
KDCQ C
λλ λ
++Δ −Δ − Δ +
++ + +
()
+Δ −Δ + −Δ+
nm
λλλ
+−Δ+
KDCQ C
λλλλ
++Δ Δ− Δ +
++ Δ + −
()
⎡⎛⎞⎛ ⎞
⎨
∑
⎢
⎣⎝⎠⎝ ⎠
,0
=
⎩
−
12
∞
=−Δ + −+
∑
3 2 2 2 12 22 12 2
,0
nm
nm
()
12
()
22 2 21 1 1 1 2 2 2 12
12
CDQ
222 1121 11
∞
⎧
⎪
2
⎨
∑
,0
=
⎪
⎩
⎡⎤
nm
()
⎤
⎢⎥
12 1 1 21 11
⎥
⎦
⎣⎦
∞
=−− Δ + −+
∑
4 2 2 2 12 22 12 2
,0
nm
n
()
12
()
22 2 1 1 21 1 2 21 2 2 12
CDQ
12
222 11 11
11 1
() ()
4
1
Δ+ −Δ
=
DQ
=
DQ DQ
λλλλλ
22 2 2 22 12 21 1 1 21
⎛⎞⎛⎞
DQ DQ
2;
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎧
14 1
()
⎨
⎩
CDQMNCQ
nm
()
λλλ
DQ DQ MM DQ
m
⎧
⎨
⎩
CDQ MN CQ
nm
() ( )
λλ
nm
2 2 22 12 1 1 21 11
⎤
()
⎦
⎛⎞
⎤
⎜⎟
⎥
⎦
⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
nm n
22 22 11 12 22 22
⎝⎠ ⎝⎠
1
()
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
14 1
()
2
⎤
⎦
⎤
()
⎥
⎦
⎜⎟⎜ ⎟
nm
11
()
λλ λ λ
⎡
⎢
⎣
()
m
11
() ()
λλ
⎡
⎢
⎣
nm
()
λλλ
n
nn
1
()
()
n
111
() () ()
mn
m
nm
() ( )
⎤
⎥
⎦
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
11
()
⎫
()
⎬
⎭
hh h
⎫
()
⎪
21 1
⎬
()( )
⎪
⎭
11
()
λλλ
()
n
()
()
()
⎡
1
−
⎢
⎣
n
21
hh h
−
()
21 1
21!2 1!
nm
++
()( )
−
+
⎡
1
−
⎢
⎣
n
2
m
2
;
2!2 !
nm
n
()
()
()
()
21
n
+
2
hh h
−
()
()
21
21 1
nm
+
21!2!
()()
2
1
()
m
+
m
(4.2.6)
2
1
−
hh h
−
()
⎫
21 1
⎬
nm
21!2 1!
⎭
()( )
⎡
⎢
⎣
21
n
+
m
21
++
66
∞
(
(
)
f
x
∂
)()
(
)
A
(
⎧
⎪
2
−Δ −Δ− +Δ −Δ+
∑
nm
,0
=
nm
()
λλλ
+−Δ−
12 1 1 21 11
KMN
=+
5
DQ DQ M N DQ
⎨
⎪
⎩
⎤
⎥
⎦
∑∑
nm nm
,0 ,0
2 2 22 21 1 1 21 1 2 2 2 22
⎡⎤
DQ
⎢⎥
m
⎣⎦
∞∞
nm
++
11
()( )
λλ λλ
22 21 1 2 22 21
==
11 1
()
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞
λλ λ λ
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟
nmn
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠
1
()
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
hh h hh h
()
21 1 21 1
nm nm
21!2 1! 2!2!
()( )
m
()
hh h
⎫
()
⎪
()
−−
21 1
⎬
2!2 !
()( )
⎪
⎭
21 2
nn
+
mm
21 2
() ()
n
2
m
−
2
;
nm
+
1
−
++
⎡
1
−
⎢
⎣
nm
() ( )
)
.
()( )
Полученная система является общими уравнениями поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины.
§3. Приближенные уравнения поперечных колебаний трехслойной
пластины постоянной толщины
Взяв за основу неизвестную величину, поперечное смещение точек
срединной плоскости 0z = , из уравнений (4.2.5) для
1
W получим уравне-
1
ние
1
KK K K W KM f KM
()
−=−+ +
14 2 3 1 3 2 1 2
()
−−
11
()
z
⎛⎞
∂
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∂
f
xz
yz
(4.3.1)
y
∂
Уравнение (4.3.1) содержит производные любого порядка, ясно, что
такое уравнение практически невозможно применять при решении конкретных задач.
Если в суммах левой части уравнения (4.3.1) оставить первые два
слагаемых, то получим приближенное уравнение 4-го порядка
11 1
(
42 2
WW W
∂∂ ∂
11 1
−Δ +Δ + = +
12 31
∂∂ ∂
tt t
AAW fxyt
42 2
1
()
2
ρρ
hhh
11 2 2 1
1
+−
()
⎡
()
z
⎣
,,
(4.3.2)
⎛⎞
∂
f
++
h
xz
⎜⎟
2
⎜⎟
∂∂
xy
⎝⎠
⎤
∂
f
yz
⎥
,
⎥
⎦
где
M
=++++
A MNM NM
11211222
hhh
ρρ
11 2 2 1
++ + ++
ρρ ρ ρ ρ
NM M MN M
()
12 1 1 2 2 1 2 2 2 1
2
+−
()
11 1 11 1
−− − −− −
32;
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2
hh h hh h
()
12 1 12 1
−− − − −
21 1 1 2 1 1
ρρ
()()
33
−−
22
3
h
−
hh
)
21
66
2
⎡⎤
()
⎢⎥
⎣⎦
()
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
67
Mh
A
M
f
∂
A
A
=+++−+
2121121222212
hhh
ρρ
11 2 2 1
21
+−
()
⎧
⎪
ρρ
⎨
⎪
⎩
⎡⎤
−−
12 1
MDhh D MDhhh
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
2
() ()
3
3
⎡
⎢
⎣
2
hh
()
21
++ + + − − + −
−+−+−+−
AMMDhhhDhh
−−−− + −
DNCMhhhhM
()
44;
ρρρ
()
2122121 221122121
=−+−−
3121221221
ρρ
11 2 2 1
Dhhh hh MM Dhhh
23 12 .
2121 21 12 1121
21
212222122112
−− − −−
11 1 112
MD N hh h M MD N hh h
hhh
+−
()( ) ( )()
⎤
−
⎥
3
⎥
⎦
⎤⎡ ⎤
⎥⎢ ⎥
⎦⎣ ⎦
221
()
−− −
⎡⎤
⎣⎦
11 1
ρρ ρ
⎡
⎢
⎢
⎣
() ( )
2
()
−
22
12
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
−
12
()
1
33
()
⎤
⎦
⎡
⎣
2
2
()
hh
−
}
Рассмотрим поперечное колебание пластинки (однослойной) постоянной толщины. В этом случае общее уравнение (4.3.1) принимает вид:
∞
⎧
⎪
λλ λ λ
⎨
∑
,0
nm
+Δ =
=+ +−
12 2 1
=
⎪
⎩
1
()
λλ
4
211
∞
⎧
⎪
⎛⎞
2
⎨
⎜⎟
∑
⎝⎠
0
=
n
⎪
⎩
11
nnm
⎛⎞ ⎛⎞
() ()
()
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
DQ W
n
1
()
DQ M
λλ
21
2
−Δ + +Δ +
m
()
DQ
m
21
++
nm
()
h
}
n
nm
+
21!2!
()()
⎛⎞
f
n
()
∂
1
−
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
xz
+
()
f
∂
yz
21!
()
21
n
h
n
(4.3.3)
+
+
∞
⎡⎤
1
⎛⎞
−−Δ+
∑
=
m
()
λλ
⎜⎟⎢⎥
21
⎝⎠
0
⎣⎦
DQ M f
n
()
nz
1
−
()
2
m
⎫
h
⎪
.
⎬
2!
m
()
⎪
⎭
Ограничиваясь в рядах первыми или первыми тремя слагаемыми,
получим уравнение четвертого порядка по производным
42
∂∂
WW
11
AAWAW f
4161
−Δ+Δ+=−+ +
42 2
tt t
∂∂ ∂
2
∂
5
2
11
hxy
ρρ
⎛⎞
∂
⎜⎟
z
⎜⎟
⎝⎠
∂
f
xz
yz
∂
, (4.3.4)
где
2
ρ
ANM
h
=+
4
6
2
h
=−
5
3
43h
=−
6
ρ
−−
11
()
2
32
()
2
MMN
()
3
MN
21
−
1
−
и шестого порядка
68
426
A
x
f
∂
ρ
μ
(
λ
+
(
μ
ρ
+
A
A
ffff ffjxy
)()
=
WWW
∂∂∂
111
4161 81
−Δ−Δ=−+ +
AWAW f
−Δ+Δ++ −Δ−
42 2 64
∂∂ ∂ ∂∂
tt t tt
2
∂
91101
2
∂
t
244
∂∂
AWAW A AW
57
23
2
⎤
⎦
11
z
ρρ
hxy
⎡
h
⎢
120
⎢
⎣
⎛⎞
∂
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∂
f
f
xz
yz
(4.3.5)
здесь
32 11 2
ρ
=+ +
7
43 9 4 ;ANMMN
=+−
8
16 4 3 ;AMNMN
=+ −
9
=−
10
−−−−
()
21 1 2
ρ
ρ
32 1 .AMMN
−− −
()
122
()
()
−−
1
−
5;ANwNMM
В том случае, если пластинка упругая, то уравнение (4.3.4) имеет
вид:
42
WW
∂∂
00 02
11
AAWAW f
4161
−Δ+Δ+=−+ +
42 2
∂∂ ∂
tt t
2
∂
5
11
ρρ
hxy
⎛⎞
∂∂
⎜⎟
z
⎜⎟
⎝⎠
f
zxz
∂
, (4.3.6)
где
A
2
37
h
0
=
4
()
62
λμ
()
λμ
+
;
+
A
0
5
2
234
h
=
λμ
32
()
μ
)
;
+
A
2
4
0
6
h
=
32
λμ
()
λμ
)
+
.
Следует отметить, что уравнения (4.3.2), (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6) отно-
сятся к уравнениям гиперболического типа и описывают волновые процессы.
При этом полученные уравнения (4.3.6) совпадают с результатами,
приведенными в монографии, они аналогичны уравнениям Тимошенко,
отличаясь только коэффициентами
4
и
.
5
§4. Уравнение продольных колебаний трехслойной пластины
постоянной толщины
Продольные колебания возникают в том случае, если функции внеш-
них усилий удовлетворяют условиям
+− + −
== =−= =
zzz
при этом функции
силу симметрии процесса относительно
; , ,
jz jz jz
11 1
()(
,,UVW для внутреннего слоя обращаются в нуль, в
11 1
()
(4.4.1)
SS S
() () ()
⎛⎞
0 0 .
zUVW
⎜⎟
⎝⎠
== = В этом
11 1
случае искомые функции для высших слоев можно выразить через иско-
69
мые функции для внутреннего слоя, используя соотношения (4.1.20), име-
()(
)()
)()
ϕ
x
ϕ
ϕ
(
)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
ем
SS S S
() ()
uv UV
∂∂ ∂∂ ∂
+= + +
xy x y
∂∂ ∂ ∂
S
S
()
σ
∂
xz
xy xy
∂∂ ∂∂
⎡⎤
CQ C W
21 .
+Δ + +
⎢⎥
⎣⎦
()
σ
∂
yz
+= +− + +
λλ
SSn S S S
⎧⎫
∞
⎛⎞
n
⎪⎪
()
λ
⎜⎟
⎨⎬
∑
⎜⎟
0
=
n
⎪⎪
⎝⎠
⎩⎭
MCQC
∑
SSSSn SS
n
n
()
()
12
CQ
2
SSSn
⎧
∞
nn
⎪
()
⎡⎤
λλ
⎨
0
=
⎪
⎩
21
22
⎢⎥
⎣⎦
1
() ( )
⎛⎞
2
2
x
∂
⎫
S
⎬
()
⎭
() ()
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
()
21
+
n
h
1
n
21!
+
()
2
h
1
n
2!
()
SS
⎛⎞
() ()
UV
∂∂
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
n
;
(4.4.2)
Выражения (4.4.2) позволяют выразить граничные условия на внешних
поверхностях трехслойной пластинки через главные части приращений
точек срединной плоскости внутреннего слоя.
Для трех оставшихся искомых функций
11 1
,,UVW внутреннего
11 1
слоя имеем три граничных условия на верхней и нижней поверхности при
zh= или
2
Вместо
.zh=−
2
SS
(
,
UV введем потенциалы ,
ψ
по формуле
SS
∂∂ ∂∂
() ()
=+ =−
UV
∂∂ ∂∂
ψϕψ
,.
(4.4.3)
yxy
Тогда для потенциалов ,
ψ
и функции
родифференциальных уравнений:
S
⎛⎞
()
ΠΔ +Π =
ΠΔ +Π = +
ΠΔ = −
ϕ
()
12 2
ϕ
()
34 2
ψ
()
5
где операторы
WMfxyt
⎜⎟
⎝⎠
S
()
⎛⎞
WM
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
f
∂
−
1
M
2
xz
⎜⎟
⎜⎟
yx
∂∂
⎝⎠
Π имеют вид:
i
1
−
−
f
∂
yz
,, ;
()
z
⎛⎞
f
∂
1
⎜⎟
⎜⎟
xy
∂∂
⎝⎠
f
∂
xz
yz
;
S
W получим систему интег-
⎫
;
(4.4.4)
⎬
⎭
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]