Краевые задачи колебания пластин. Монография

В силу того, что рассматривается постановка для уравнения четвер-

)()()

f

)

f

того порядка, т.е. в рядах (1.2.8) ограничивались только первыми двумя членами, то соответственно и в рядах (2.2.10) и (2.2.11) тоже ограничимся первыми двумя членами разложения, используя (2.2.3) и (2.2.8), получим:

00 0

(

Uf Vf Wf== =

; ; ;

uv w

11 1

⎛⎞

01 1

() () ()

=− − −

λλ

⎜⎟

u

12 2

⎜⎟ ⎝⎠

⎛⎞

01 1

() ()

=− − −

λλ

⎜⎟

v

12 2

⎜⎟ ⎝⎠

01

() ()

=− + +

w

12

λμ λμ

+∂ +∂∂

22

++∂∂

λμ λμ

+∂ +∂∂

λμ λμ

22

++∂∂

λμ λμ

λμ μ

λμ λμ

⎛⎞

+∂∂

⎜⎟

22

+∂∂ +

⎝⎠

2

x

∂

2

y

∂

UV

xy

λ

⎛⎞

V

⎜⎟

xy

⎝⎠ ⎛⎞

U

⎜⎟

yx

⎝⎠

;

W

()

W

;

(2.2.12)

;

откуда для поперечного смещения W точек срединной плоскости получим первые два начальных условия:

0

(

при 0.t =

Wf=

2

W

∂+ +

t

∂

,

w

1

00

() ()

⎛⎞

ff

λμ μ λμ

=++Δ−

2

∂∂

11

uv

⎜⎟ ⎜⎟

ρρρ

xy

∂∂

⎜⎟ ⎝⎠

00

() ()

12

ww

.

f

(2.2.13)

Продифференцировав выражение (2.2.3) по времени t и используя (2.2.9), получим:

W

∂

t

∂

3

W

∂+ +

3

t

∂

1

()

при 0.t =

,

=

w

1

11

() ()

⎛⎞

ff

λμ μ λμ

=++Δ−

∂∂

11

uv

⎜⎟ ⎜⎟

ρρρ

xy

∂∂

⎜⎟ ⎝⎠

01

() ()

12

ww

.

f

(2.2.14)

Таким образом, строго сформулировано необходимое и достаточное число начальных условий (2.2.13) и (2.2.14) для поперечного сечения ,W

удовлетворяющее гиперболическому уравнению четвертого порядка в случае ненулевых исходных начальных условий.

31

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

x

ννν

A

ν

−

ξ

В дальнейшем для простоты изложения приведем ряд решений различными методами, используя в качестве примера уравнение 4-го порядка поперечных колебаний упругой пластины, ограниченной по контуру.

§1. Аналитический метод решения

Рассмотрим однородную изотропную упругую пластину, срединная плоскость которой в недеформированном состоянии совпадает с координатной плоскостью ,XOY а ось Z направлена вертикально вверх. Пласти-

на в недеформированном состоянии занимает область

0; 0 ; .

lylhzh≤≤ ≤≤ −≤≤ (3.1.1)

12

При решении задачи о собственных колебаниях будем пользоваться полученным ранее приближенным уравнением колебаний четвертого порядка в виде:

42 2

WW W

∂∂ ∂

AA AW

12 3

−Δ +Δ + =

42 2

tt t

∂∂ ∂

2

0,

(3.1.2)

где

22

78 2 2

−−

hh

()

===

AAA

123

2

12 1 3 1 3 1

b

()

; ; .

−−−

()

νν

()

22

2

hb

(3.1.3)

()

В том случае, если уравнение (3.1.2) есть уравнение Кирхгофа, то [161]

kk k

12 33

0; ;

AAA== = (3.1.4)

для уравнения С.П. Тимошенко [130]

TT T

== =

12 33

2

AAA

; ; .

2

b

2

h

2

4

h

()

ν

31

−

()

(3.1.5)

Пусть пластина шарнирно закреплена по всем четырем краям. Граничные условия для такой пластины имеют вид:

22

WW

== = =

0

xxl

==

== = =

0

yyl

==

1

2

∂∂

22

xx

∂∂

0

xxl

==

22

WW

22

yy

0

yyl

==

0;

1

(3.1.6)

0.

2

Решение задачи (3.1.2), (3.1.6) будем искать в виде

,, exp sin sin ,

Wxyt i W

()

=

⎛⎞

ξ

⎜⎟ ⎝⎠

∞

bt nx ny

nm

∑

hll

,1

mn

=

⎛⎞⎛⎞

ππ

⎜⎟⎜⎟

,

⎜⎟⎜⎟

12

⎝⎠⎝⎠

(3.1.7)

где

32

−безразмерная частота собственных колебаний пластины.

Подставляя (3.1.7) в (3.1.2), получим частотное уравнение

42

γ

ν

−

A

ν

A

ν

A

ξ

bb hh

где

42242

AA A

ξπζξπζ

−++= (3.1.8)

01 2

42

ζ

=+

()

22

nm

22

ll

12

10,

.

Уравнение (3.1.8) удобнее представить в виде:

422

ξγξγ

−++ = (3.1.9)

10 20 30

Здесь

()

=

10.AA A

22

πζ

.h

kk k

AA A

== =

10 20 3

14

TT Tk

== =

10 20 30 30

2

====

10 20 30 30 30

12 1 3 1

0; .

AAA

; ; .

31

()

ν

78

−

−−

()

AAAA

; ; .

νν

2

(3.1.10)

31

()

−

ν

22

−

() ()

(3.1.11)

Tk

(3.1.12)

Используя соотношение (3.1.10) для уравнения Кирхгофа, получим частотное уравнение вида:

2

k

−=

ξ

()

2

γ

−

31

()

0.

(3.1.13)

ν

Его решение имеет вид:

k

ξγ

=

2

(3.1.14)

.

−

31

()

Вид уравнения Тимошенко с коэффициентами (3.1.11) и уравнения с коэффициентами (3.1.12) имеет одну и ту же форму, отличие только в численных значениях коэффициентов

T

A= и

10 10

T

A=

20 20

.

Его общее решение имеет вид

⎡⎤

1

=+±+− . (3.1.15)

1,2 20 2 0 10 30

2

114

()()

⎢⎥

A

⎣⎦

10

γγγ

AAAA

2

Таким образом, для данной постановки задачи найдено точное аналитическое решение для трех видов уравнений колебаний.

§2. Приближенный метод декомпозиции

Задача об определении частот и форм свободных колебаний закрепленной по контуру прямоугольной пластины или свободной по контуру, или упруго соединенной с другой пластиной не поддается решению в аналитической форме и может быть решена лишь приближенными методами

[34, 52].

33

Пусть имеется прямоугольная пластинка, колебания которой описы-

α

π

α

=

β

=

ваются уравнением (3.1.2). Будем искать решения уравнения в следующем виде:

⎛⎞

bt

,, , exp

Wxyt Wxy i

()()

=

ξ

⎜⎟ ⎝⎠

(3.2.1)

h

Тогда уравнение (3.1.2) для Wпримет вид:

2

⎡⎤

Δ+ Δ+ =

⎣⎦

12

,0BBWxy

()

, (3.2.2)

где

22 22

AAb

bb

ξξ

BB

21

== − (3.2.3)

12

A

3

; 1 .

222

hAhh

3

22

⎛⎞

ξ

⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠

Введем новые безразмерные координаты и функцию прогиба

ll l

12 1

xxW

== = (3.2.4)

; ; .

βγ

ππ

444 222

⎡

∂∂∂ ∂∂∂

⎢

4224222 2

ααββπαβ β

∂∂∂∂ ∂∂ ∂

⎢

⎣

⎛⎞

+=

BV

⎜⎟

2

⎝⎠

где

η

24 22

2

ηη ηη

++++++

11111

4

⎤

l

1

⎥

0,

⎥

π

⎦

l

1

.

=

1

l

2

4

2

⎛⎞⎛⎞

l

1

B

⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

(3.2.5)

п.1. Для апробации приближенного метода декомпозиций выведем уравнение частот собственных колебаний для задачи, изложенной в §1 данной главы, т.е. колебания пластинки, шарнирно закрепленной по контуру, и сравним полученные результаты.

В соответствии с методом декомпозиций сформулируем три вспомогательные задачи:

42

VV

∂∂

1.

2.

3.

11

===

42

∂∂

42

VV

∂∂

4

ηαβ

12 2

42

ββ

∂∂

⎡⎤

22

⎢⎥

20.

ηη

1112312

⎢⎥

∂∂ ∂ ∂

⎣⎦

,; 0,

fV

αβ

()

11

22

===

422

∂∂∂

22 2 2 2

αβ π α β

,; 0,

fV

()

BBVff

+++++=

α

2

⎛⎞

ll

11

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

при 0, .

π

при 0, .

⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠

(3.2.6)

π

(3.2.7)

4

π

(3.2.8)

Следуя методу декомпозиций, будем приближенно полагать в заданных точках пластины:

VVV VV≅≅+

123 12

; .

1

()

2

(3.2.9)

34

Здесь

α

=

α

)

α

j

ϕ

ψ

)

α

)

α

π

β

α

=

β

,

f

β

()

i

- произвольные постоянные;

1, 2,i

которые в общем

случае представим в виде:

∞∞

,sinsin,

fanm

βαβ

()

i

где

=

∑∑

nm

==

11

i

(

a - произвольные постоянные.

nm

,

i

()

nm

,

()

(3.2.10)

Общее решение вспомогательных задач запишем в виде:

1

(

∞

a

,

αβ α β ψ β ψ β αψ β

,sinsin

Vnm

()

1123

=+++

nm

∑

=

,1

nm

n

4

()

() () () ()

32

αα

62

+

ψβ

+

;

()

n

(3.2.11)

∞

a

,

,sinsin

Vnm

+

где

βαβϕαϕαβϕα

()

2123

ϕα

n

=+++

∑

nm

;

()

и

nm

44

m

η

=

,1

1

1, 2, 3, 4

j

= - неизвестные функции.

()

j

()

32

ββ

() () ()

62

+

2

()

Удовлетворяя общее решение (3.2.11) граничным условиям (3.2.6) и (3.2.7), находим, что все ϕ и ψ равны нулю и для функций

V и 2V полу-

1

чим выражения

1

(

∞

a

,

,sinsin.

βαβ

Vnm

()

1

Vnm

()

2

=

nm

,sinsin.

βαβ

=

∑

=

,1

∞

∑

=

nm

,1

nm

3

n

(

a

nm

44

η

1

()

2

,

m

()

(3.2.12)

()

(3.2.13)

Используя решения (3.2.12) и (3.2.13), а также соотношение (3.2.8) и приближенные условия (3.2.9), получим систему алгебраических уравнений, нетривиальное решение которой приводит к частотному уравнению

вида, при условии, что

αβ

==

.

2

42

bb

AA A

01 2

42242

ξπξξπζ

−++= (3.2.14)

42

hh

()

10.

Таким образом, приближенный метод декомпозиций в данной задаче (в заданной точке) приводит к тому же результату, что и прямой аналити-

ческий метод.

п.2. Пусть два края пластинки жестко закреплены при ко закреплен край при 0,

= а край при

Для определения вспомогательной функции ных краев при 0,

π

= воспользуемся общими выражениями функции

π

свободен.

V для двух закреплен-

2

0,

π

= и жест-

V

из равенств (3.2.11) и граничными условиями:

35

2

V

β

=

)

α

=

α

=

α

π

ψ

)

ψ

)

ψ

(

)

ψ

π

∂

2

0,

==

V

2

∂

β

при 0, .

π

получим

2

(

∞

a

nm

Vnm

=−+−++−−

∑

2

nm

,1

,

sin sin 1 1 2 1 .

43 2

m

ηπ

=

1

⎧⎫

1

⎪⎪

()

⎨⎬

m

⎪⎪

⎩⎭

ββ

() () ()

32

ββ

⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥

⎣⎦⎣ ⎦

mm

π

(3.2.15)

Вспомогательная задача для закрепленного и свободного края форму-

лируется следующим образом:

2

VV

∂∂

11

===

2

∂

22

VV

∂∂

11

++=

22

∂∂

αβ

3

V

∂

1

=

3

∂

где

η

3

Для определения произвольных функций

,; 0,

αβ

fV

()

11

⎛⎞

−

32

ν

−

74

ν

0,

(3.2.17)

l

1

=

22

ηηξ

20,

⎜⎟

131

⎜⎟ ⎝⎠

.

∂

α

при 0.

V

(3.2.16)

при .

π

h

воспользуемся граничными

i

условиями (3.2.16):

0; 0.V

==

14

0

α

=

∂

V

1

==−

∂

α

0; sin .

=

0

β

()

3

(3.2.18)

1

(

∞

a

,

ββ

nm

∑

,1

=

nm

n

3

m

()

(3.2.19)

Из граничных условий (3.2.17) получим:

1

3

V

∂

1 3

∂

α

απ

0; sin ;

==−

=

ββ

()

1

nm

∞

∑

=

,1

a

(

,

nm

n

m

()

(3.2.20)

22

⎡⎤

VV

∂∂

⎢⎥

∂∂

αβ

⎢⎥ ⎣⎦

32

11

++=

22

74

⎛⎞

−

ν

−

ν

222

20.

ηηξ

⎜⎟

131

⎜⎟ ⎝⎠

V

=

απ

Откуда

⎡

32

νππ ππ

πψ ψ η ψ ψ ψ π ψ η ξ ψ ψ

++ + + + + + +

12 11 2 3 4 3 1 2

−

74 6 2 6 2

−

ν

⎛⎞⎛

211 11 11 11 22

⎢

2

⎜⎟⎜ ⎜⎟⎜

⎢

⎝⎠⎝

⎣

32 32

++ =

ψπ ψ

34

⎤

0.

)

⎦

Упростим последнее равенство

22

ψβ

∂

()

2

βη ηπ

∂

⎛⎞

ηξ

3

++ =

⎜⎟

22 22

⎜⎟

2

11

⎝⎠

ν

74 1

−

32

−

ν

ββ

()

21

где

22

⎧⎫ ⎪⎪

π

=−− − −−

D

36

⎨⎬

1

⎪⎪

⎩⎭

4

⎡⎤

11.

() ()

⎢⎥ ⎣⎦

6741

22 2 22

n

2

⎛⎞ ⎜⎟

⎜⎟ ⎝⎠

ηξ

mv

332

3

6

ηηπ

11

∞

∑

,1

=

nm

n

1

a

,

nm

n

v

sin ,

()

Dm

−

(3.2.21)

Функция

ψ

)

ψ

−

α

)

α

π

ξ

π

⎡

⎢

⎣

⎡

⎢

⎣

β

=

α

=

β

определяется из уравнения (3.2.21) как его частное реше-

()

2

ние:

1

(

∞

a

,

nm

ββ

=−

()

22

где

DD m

∑

,1

=

nm

⎛⎞

=+ −

21

ηξ

⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠

sin ,

mD

n

22

3

2

ηηπ

11

()

74 1

−

ν

222

32

−

ν

(3.2.22)

1

2

.

Учитывая полученные значения функций (3.2.18), (3.2.19), (3.2.20) и (3.2.22), искомая функция

1

(

∞

a

,

,sinsin1 .

αβ β α

VmnD

()

1 2

=+−+−

nm

∑

=

,1

nm

n

()

⎡⎤

1

⎢⎥

nn

⎢⎥

⎣⎦

,V

β

()

1

32

имеет вид:

()

32

n

αα

62

(3.2.23)

Окончательное решение задачи сводится к решению уравнения (3.2.8) и условий (3.2.9) при

, 1,

αβ

== ==

nm

2

при использовании значений иско-

мых функций (3.2.15) и (3.2.23). Как и ранее, в дальнейшем получим систему двух алгебраических однородных уравнений, нетривиальные решения которых приводят к искомому частному уравнению:

642

ξξ

+++= (3.2.24)

123 4

0,dddd

где

42

ηη

=+=

dA aa

11 11 2

da A kDaD

=++++−−−+

21 12 3413

Aak k kka a

+−−++−+

22 1 1 1 2 1 32 1 1 2

dA a a

=+++−−++−

3331 1

η

−−+++++++

π

23

η

22

ηη

231

22

2

ηπ

1

⎧⎫ ⎪⎪

222 2

ηηη η

⎨⎬ ⎪⎪

⎩⎭

23 3

ηπ π

22

21

⎡⎤

l

⎢⎥

akD D A ka aDa D

134 3 123112421 4

2

⎢⎥

⎣⎦

⎛⎞ ⎜⎟

2

⎜⎟

1

⎝⎠

l

⎛⎞⎛⎞

22

⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠

⎡⎤

⎛⎞

⎢⎥

11 ;

⎜⎟ ⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

⎧⎫

⎛⎞ ⎛⎞

⎪⎪

112

⎨⎬

⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠

⎪⎪

⎩⎭

21 1

2

π

; ;

48

55 6 1

ππ η

448 4 8

bl

η

1

h

34

ππ

2

⎤ ⎥ ⎥

⎦

2

ππ

82

5615

ππ

448 2 48

⎛⎞

ππ

⎜⎟ ⎜⎟

82

⎝⎠

⎛⎞ ⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞ ⎜⎟

π

⎝⎠

2

⎧

⎪

22 2

ηη η

⎨ ⎪

⎩

()

2

η

1

⎛⎞

()

⎜⎟ ⎝⎠

2

⎛⎞

+−

aD

1;

⎜⎟

11 3

⎜⎟ ⎝⎠

dAD D ka a ak

=−−−+++++

433 1 413211 13

π

2

η

8

⎧⎫

⎡⎤

⎪⎪

⎢⎥

21 2 1 .

⎨⎬

⎢⎥

⎪⎪

⎣⎦

⎩⎭

⎫

⎪ ⎬

⎪

⎭

⎛⎞

ππ π π

222

ηηη

⎜⎟ ⎜⎟

88 4 2

⎝⎠

22

⎛⎞ ⎜⎟

⎝⎠

⎤ ⎥

⎥

⎦

п.3. Пусть три края пластинки жестко закреплены при

0,

= а край при

π

шарнирно оперт.

0,

π

и

37

Для определения вспомогательной функции

α

=

α

=

ψ

)

ψ

)

α

(

α

β

)

(

α

(

α

π

=

дача для закрепленного края при 0

π

= формулируется следующим образом:

2

V

∂

1

=

f

()

1

2

∂

V

∂

1

==

V

1

∂

2

V

∂

V

1

==

2

∂

0,

,;

β

при 0.

0,

при .

= (3.2.25)

π

(3.2.26)

Для определения произвольных (3.2.25) значение функции

0; 0.V

== (3.2.27)

14

0

α

=

V

∂

1

∂

α

0; sin .

==−

=

0

β

()

∞

ββ

()

3

∑

nm

,1

Подставив искомую функцию

32

ππ

V

11234

απ

2

V

∂ ∂

α

0; 0.

=+++= (3.2.29)

=

1

2

=+=

απ

=

ψβ ψβ πψβ ψβ

() () () ()

62

0; 0.

πψ β ψ β

() ()

12

V (3.2.11):

1

(

a

,

nm

3

n

=

m

()

V в граничные условия (3.2.26), получим

1

(3.2.30)

и шарнирно опертого края при

подставим в граничные условия

i

(3.2.28)

Решая совместно систему (3.2.27) - (3.2.30), получим

1

(

∞

a

,

,sinsin .

ββαα

Vmn

()

1

=−+−

nm

∑

=

,1

nm

32

n

()

⎡⎤

13

⎢⎥ ⎢⎥

⎣⎦

()

n

Для определения функции

32

αα

2

π

,V

2

π

β

воспользуемся решением преды-

)

(3.2.31)

V вспомогательная за-

1

дущей задачи (3.2.15), т.к. граничные условия задачи п.2 и данной задачи при 0,

,sinsin112

αβ α β

Vnm

()

2

1.

+− −

()

π

= совпадают, тогда

2

(

∞

a

nm

=−+−++

∑

nm

,1

m

⎤

β

⎥

⎦

,

43 2

m

ηπ

=

1

Используя значения

⎡

()

1

⎢

m

⎢

⎣

1

() ()

,V

β

32

ββ

⎡⎤ ⎢⎥

⎣⎦

и

)

2

m

,V

β

при решении уравнений

)

π

⎡

⎣

(3.2.32)

(3.2.8) и условий (3.2.9), получим систему двух алгебраических однород-

ных уравнений, нетривиальные решения которых приводят к искомому частотному уравнению при , 1:

38

αβ

===

nm

2

⎛⎞

η

E

η

β

α

=

α

4422

11 1 2

ηπξηηπ

AA

⎜⎟

12 22 1

⎝⎠

⎛⎞ ⎛⎞

ππ

12 11

+− − − + − − +

⎜⎟ ⎜⎟

4216 416

⎝⎠ ⎝⎠

⎧⎫

⎪⎪

A

+−−+−−

ηπ

⎨⎬

31

⎪⎪

⎩⎭

⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞

ππ

−− − − −−+

416 2 16 4

⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

2

11 1 1

⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

31 3 2

⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠

33 3

ππ

23 3

ππ

16 2 4

⎧

⎪ ⎨

⎪

⎩

⎤

πη πξ

22

⎥

2

⎥

⎦

⎡ ⎢ ⎢

⎣

2

⎛⎞

l

1

⎜⎟ ⎝⎠

⎛⎞ ⎜⎟

⎝⎠

⎫ ⎪

⎬ ⎪

⎭

π

+− =

7

20.

π

16

π

(3.2.33)

Тогда решение уравнения (3.2.33) можно представить в виде

ξ

1,2

PP

=± − (3.2.34)

⎜⎟

22

⎝⎠

,

q

2

⎛⎞

где

⎡⎤

13 2 33 3

A

2164 4216 416

P

=

⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞

22

12 12 11

⎢⎥

⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟

21 2

⎢⎥

⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠

⎣⎦

ππηπ

−−−+−−−+ −−

ππ π

2

⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟

πππ

⎝⎠ ⎝⎠

⎛⎞

2

211

A

ηπ

⎜⎟

12

⎝⎠

⎛⎞

π

−−

416

3

⎜⎟ ⎝⎠

2

⎛⎞

l

1

⎜⎟ ⎝⎠

;

⎧⎫

q

⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

⎪⎪

2

A

⎨⎬

31

⎪⎪

⎩⎭

=

23 3 7

11 1 1 2

−− +− −+−

⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

ππ

⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

ππ

16 2 4 16

⎛⎞

4

A

11

ηπ

⎜⎟

12

⎝⎠

⎛⎞

π

−−

⎜⎟

416

⎝⎠

⎛⎞

π

⎜⎟ ⎝⎠

3

.

Решение уравнения (3.2.33) при использовании коэффициентов уравнения Кирхгофа запишется в виде:

2

⎛⎞

n

ξ

E

π

=

⎜⎟ ⎜⎟

l

1

⎝⎠

2

1

=

1

⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

11 1 1 2

⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

п.4. Пусть три края пластины шарнирно оперты при

четвертый край при

2

31

−

()

23 3 7

−− +− −+−

ππ

,

(3.2.35)

1

v

⎛⎞

ππ

16 2 4 16

⎛⎞

11

⎜⎟ ⎝⎠

⎛⎞

π

−−

416

3

⎜⎟ ⎝⎠

π

= упруго закреплен.

π

⎜⎟ ⎝⎠

π

.

0,

π

= и 0,

В данном разделе будут рассматриваться два вида упругого закрепле-

ния одного края пластины:

а

1) горизонтальная пластина упруго соединена с вертикальной упругой пластинкой (новая форма записи упругого закрепления);

2) горизонтальная пластина упруго соединена с прямоугольной упругой балкой (классическая форма записи упругого закрепления).

39

Рассмотрим решение с использованием первого упругого закрепле-

η

−

ρ

μ

α

∂

=

∂

α

β

∂

=

α

j

ψ

ния в форме (2.1.18) и (2.1.19), при этом, как и ранее, при решении будем использовать приближенный метод декомпозиции.

Тогда вышеуказанные граничные условия примут вид:

22 2

VV V

∂∂ ∂

LL LVL

LL L LVL

11 1

121 314

22 2

αβ α

∂∂ ∂

32 2 2

⎛⎞⎛ ⎞

VV V V

∂∂ ∂ ∂

⎜⎟⎜ ⎟

26 1814

⎜⎟⎜ ⎟

αα β α

∂∂ ∂ ∂

⎝⎠⎝ ⎠

⎛⎞

222

20;

+++=

11 1 1

32 2 2

ηξξ

⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠

2222

ξηξξ

+− ++=

20;

7

(3.2.36)

(3.2.37)

где

1

2

l

22

2

22

π

vl

v

74

LL L

123

LL LL

4641

LL

7

−

===

21 21

() ()

3

== =

4

ρπ

hv

332

22 1

==

21

hv

; ; ;

vv

−−

11

hl

221

; ; ;

2

h

11

2

μ

−

()

2

−

μ

()

11 2

32

11

1

5

21

v

−

()

1

μρ

; .

8

ρη π

211

121

В этом случае краевая задача формулируется следующим образом: найти решение уравнения (3.1.2) при следующих граничных условиях:

2

V

1) при 0

2) при

= - шарнирное опирание

= - упругое закрепление представлено в виде (3.2.39)

π

V

1

0.

=

2

(3.2.38)

(3.2.36) и (3.2.37);

2

V

3) при 0,

= - шарнирное опирание

π

V

2

0.

=

2

∂

β

(3.2.40)

Для последнего граничного условия (3.2.40) вспомогательная функция

,V

β

()

2

определена в п.1 и равна (3.2.13).

При использовании граничных условий (3.2.38) получим, что неизвестные функции

βψβ

== (3.2.41)

() ()

24

0.

из равенства (3.2.11) равны

Определим оставшиеся функции из граничных условий (3.2.39), полу-

чим

ββ

() ( )

11

ββ

() ()

3

sin ;Dm

= (3.2.42)

2

⎡⎤

ξ

+

rr

=− +

12

⎢⎥

22

ξξ

rr

⎢⎥

⎣⎦

33

2

ξ

brr

+

7

18

sin ;

m

(3.2.43)

где

C

2

D

=

1

Cm

1

;

2

−

40