Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краевые задачи колебания пластин. Монография
.pdf
2
(
)
D
ω
(
⎡⎤⎢
⎣
f
(
f
⎡⎤
ω
−≤ ++ ≤
где
−
⎢⎥
11
2
b
⎢⎥
⎣⎦
D
=
1
22
2
232 2
ln m
++
()
2
h
,DkqD
(1.5.5)
)
l - характерный размер пластины в горизон-
,
тальной плоскости.
Решая аналогичный вопрос, для рядов, стоящих справа в уравнении
(1.5.1), получим
2
(
2
h
λ
2
22
n
+
(1.5.6)
1,
<
используя равенство (1.5.4), получим:
2
⎡⎤
ω
−≤ ++ ≤
где
−
⎢⎥
22
Dn
2
b
⎢⎥
⎣⎦
l
=+
2
h
22
kq D
2
22.
()
2
,
(1.5.7)
Для второго ряда:
2
⎡⎤
ω
−≤ ++ ≤
где
−
⎢⎥
33
Dn
2
b
⎢⎥
⎣⎦
l
=+
2
h
22
2
23.
()
2
,DkqD
(1.5.8)
Рассмотрим совместно интервалы сходимости, наименьший из них
следует выбрать не для отдельных значений n и ,m а для суммы, т.е.
()
.nm+
Анализ показывает, что если ,nm> то наименьший интервал (1.5.5),
если же
В пространстве
,nm≤ то наименьший интервал (1.5.7).
⎛⎞
ω
btkxqy
;;
⎜⎟
hee
⎝⎠
неравенств (1.5.5) и (1.5.7) определяют
фигуры, полученные из сопряжения однополосного и двуполосного гиперболоидов.
Следовательно, областью применимости уравнений колебания
(1.2.8) является внутренняя часть криволинейной фигуры, заключенной в
первом октанте.
Если материал пластинки вязкоупругий, то область применимости
усеченных уравнений расширяется, т.к. в неравенствах (1.5.5), (1.5.7),
(1.5.8) величина
образование Фурье вязкоупругого ядра
заменяется на величину
b
1,bf
ωω
.
t
)
2
− где
()
2,0
)
- пре-
⎥
⎦
2,0
21
§6. Уравнения колебаний однородной пластины постоянной
)()()
)
)()()
f
)()
)()
A
B
ψ
R
R
толщины, лежащей на деформированном основании
Пусть пластинка постоянной толщины лежит на деформированном
основании. В дальнейшем будем обозначать материал пластинки индексом «1», а основание - индексом «2».
В этом случае граничные условия на поверхности zh= запишем, как
и ранее, в виде (1.1.6), а граничные условия на линии контакта zh=− бу-
дут отличны от предыдущих и иметь вид:
122 1
(
σσ σ
=+ =
zz zz z
122 22
() ( ) ( )
W W fxyt fxyt jxy
=+ + = =
fxyt
,, ; 0
()
,, ; ,, 0; ,
()
0
(
jz
() ()
σ
jz jz
(1.6.1)
()( )
т.е. рассматривается случай, когда трение между пластинкой и основани-
222
ем отсутствует; здесь
(
,,
ff - возможные возмущения со стороны
z
jz
0
основания.
Решения уравнений движений для потенциалов (1.1.17) основания,
затухающие на бесконечности:
22 22
(
φαψ β
=+=+
01 2 1011 2
22 22
() ()
=+=+
20 21 2 30 31 2
⎡⎤ ⎡⎤
exp ; exp ;
exp ; exp .
zh B zh
()
⎣⎦ ⎣⎦
⎡⎤ ⎡⎤
zh B zh
βψ β
()
⎣⎦ ⎣⎦
(
()
(1.6.2)
() ()
()
Исключая из граничных условий (1.6.1) параметры основания при
помощи решения (1.6.2) приведем их к виду
2
⎛⎞
2
112 2
() () ( )
σ
zz z
11
() ()
σσ
xz yz
где операторы Rи
÷=
RR
⎡⎤
=− + ++
WfxytR f
⎢⎥
⎣⎦
==
0
0,
222 22
βαβ
++ − +
()()
kq kq
222
,, ;
()
01
после обращения величин
1
2
αβ
222
−−
()
22
kq
()
f
∂
⎜⎟
xz
⎜⎟
∂∂
xy
⎜⎟
⎝⎠
∂
;
()
f
yz
()
(1.6.3)
(1.6.4)
÷=
RR
110
222
βαβ
++ −
()
kq
222
αβ
222
−−
()
22
2
;
kq
имеют довольно сложный вид.
Однако для быстропротекающих волновых процессов эти операторы
приблизительно равны:
22
R
ζ
⎛⎞
M
ξ
11/2
RMN
ζρ
≈
()
≈−
()
1222
−
21 2
1
1/ 2 1/ 2 1/ 2
NMN d
ρ
2
∂
⎜⎟
t
∂
⎝⎠
t
⎡⎤
1
()
−
ζξ ξ
⎢⎥
()
∫
⎢⎥
0
⎣⎦
(1.6.5)
Подставив выражения для напряжений в пластинке в граничные условия при zh=− (1.6.3), получим общие уравнения поперечных колебаний
пластинки, лежащей на деформированном основании при заданных граничных условиях.
Из этих общих уравнений можно получить приближенные, так, если
возьмем первые два слагаемых, то получим уравнение четвертого порядка:
24
WW
∂∂
1
()
ρρ ρ
11 1 1 1 1 1 1 1 1
+− Δ + =− +
8 1 ...
()
где
WMNW
ρρ
()
11 1 1 1 1
SMR
=
242
∂∂∂
ttt
MN W W M f
11 1 1 1 1
W
ρ
()
11
Sh
=+ + −Δ
26
1
−
.
1
22
⎡
h
11
++−−Δ+
−−
12 1
21 1 1 1 1
⎢
6
⎢
⎣
()()
⎤
ρ
⎥
⎦
()
−− − − −
MN M M N W
3432
1
h
1
()
⎛⎞
z
⎜⎟
⎝⎠
∂
(1.6.6)
- закон отпора.
⎧⎫
WW
∂∂
⎪⎪
⎨⎬
ht t
∂∂
⎪⎪
⎩⎭
2
11
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−−
11
()
34,
3
3
t
∂
∂
(1.6.7)
В этом случае, если взять три слагаемых в общих уравнениях, то получим уравнение шестого порядка:
24
WW
∂∂
1
()
MMNMMNW
ρρ ρ
11 1 1 1 1 1 1 1 1
81 10 5
+− Δ + + + −
() ()
43 9 4 1643
−+−Δ++−Δ−
ρρ
11 1
32 1
MMN W
−−Δ
242
ttt
∂∂∂
MN W M N N M M
11 1 1
21 1 2 1222
−− − − −
N M MN MN M N
()()
()
22
⎡
h
11
++−−Δ+
12 13 2 1 1 2
−−−−−−
21 1 1 1 1
⎢
6
⎢
⎣
13
−
−− − − −
()()
4
h
⎤
⎥
⎦
120
⎤
ρφ
+=
1
⎥
⎦
3432
⎡
ρ
⎢
⎢
⎣
42
WW
∂∂
11
42
tt
∂∂
Wff
()
11 1
,,
()
jz
z
∂
6
W
∂
1
6
t
∂
(1.6.8)
где
3
Sh
WW M MNN M
Ρ=Ρ+Ρ + + − +
() ()
11 1 1 1 11 1 1 1
3
∂∂
−
14
516.
NW W
+Δ+Δ
)
11 1
3
t
∂
48
⎡
⎣
t
∂
−−−− −
22 11 2 1
()(
10 5 4 3
⎤
⎥
⎦
3
W
∂
1
ρ
3
t
∂
(1.6.9)
23
ГЛАВА 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ КОЛЕБАНИЙ
x
x
−
j
A
ρ
μ
λμλ
(
μ
μ
+
ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
При исследовании конкретных прикладных задач, наряду с выбором
приближенных уравнений колебания, необходимо формировать граничные условия по краям плоского элемента и начальные условия в зависимости от порядка производных по времени, входящих в приближенное
уравнение от искомых функций.
§1. Граничные условия
Рассмотрим произвольную пластину. Края пластины ограничены по
координатам
const y const==
; .
l
1
z
0
Рис. 2.1.1
h
l
2
h
y
При рассмотрении конечных колебаний ограничимся уравнениями
четвертого порядка вида (1.3.1), имеем:
242
WWW
∂∂∂
242
ttt
∂∂∂
2
⎛⎞
h
111
+−Δ+Δ=
⎜⎟
12 31
⎜⎟
b
⎝⎠
AAWff
2
,
ϕ
()
z
(2.1.1)
z
где, если пластина упругая, то
37
λμ
A
+
()
=
1
λμ
2
+
()
;
A
=
2
37
+
4;
+
A
=
μ
2
3
λμ
8;
λμ
()
)
(2.1.2)
2
+
а также
24
(
78 2
ρ
μ
(
μ
ν
σ
x
x
x
D
λ
λ
+
νν
+−
()
AAA
===
123
21 1 1
()
; 4 ; 4 ;
ννρν
−− −
()
)
μ
(2.1.3)
()
или
22 2 2
332
ab a b
+−
AA A
== =
12 3
ab a a
; 4 ; 8 .
22 2 2
22 2
ba b
−
)
(2.1.4)
Все коэффициенты (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) связаны соотношениями:
2
==
2
λμ
+
b
a
12
ν
−
2
21
−
()
.
В том случае, если пластина вязкоупругая, то коэффициенты имеют
вид:
11 1 1
−− − −
ρ
=+ =− =− (2.1.5)
()()()
123
3; 432 ; 81 .A N M A MN A M MN
В этом случае приближенные выражения для перемещений , , uvw и
напряжений ,
необходимые для вывода граничных условий, представим
ij
в виде:
⎧⎫
⎛⎞
11
uUz D U D W
=+ − − −
vVz D V D W
=+ − − −
=+− − +−
wW D D W
⎡⎤
σλλλ
xx
++ − +
σλλ
xz
+− −Δ
σλλλλ
xy
2;
−
12 1 2 12
=+ ++ − + + ++ +
⎢⎥
()()
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
12 ;
DD WM
()
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
MU D U D
=++ −++ − +
⎡⎤
11
() ()
λλ
⎢⎥
12
⎣⎦
MDD
=++−++ ++−+−
1
()
λ
2
() ()
λλ
⎨⎬
⎜⎟
22
⎝⎠
⎩⎭
⎧⎫
⎛⎞
11
() ()
λλ
⎨⎬
⎜⎟
22
⎝⎠
⎩⎭
⎧⎫
⎛⎞
∂∂
⎨⎬
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎩⎭
UV U
∂∂ ∂ ∂
DDWzMD D
∂∂ ∂
11
() ()
λλ
12
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
DM
⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∂
xy
∂∂
WV
∂∂∂ ∂
∂∂∂
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
UV U V
∂∂ ∂ ∂
23
⎫
Wz
⎪
⎬
6
⎪
⎭
23
∂∂∂
2
xxy
∂∂∂
23
∂∂∂
2
yyx
∂∂∂
UV z
()
xy
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
23
⎛⎞
∂∂
x
∂
yyx
M
Vz
⎜⎟
2
⎜⎟
y
∂
⎝⎠
⎧
⎡⎤
⎛⎞
⎪
⎢⎥
⎨
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎩
Wz
∂
x
∂
⎧
⎡⎤⎡⎤
⎪
⎢⎥⎢⎥
⎨
⎢⎥⎢⎥
⎪
⎣⎦⎣⎦
⎩
где
11
() ()
⎜⎟
21
⎜⎟
⎝⎠
3
⎫
⎪
⎬
2
⎪
⎭
⎛⎞⎛⎞
1111
() () () ()
⎜⎟⎜⎟
2121
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
DNM
=− =
⎛⎞
Vz
⎜⎟
⎝⎠
Uz
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
1
1;
yx
∂∂
()
λ
2
11 1
() ()
221
⎫
⎪
⎬
6
⎪
⎭
22 2
22
xy
2
2
;
6
;
(2.1.6)
6
⎧
⎡⎤
⎪
⎨
⎪
⎩
⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
2
()
2
y
∂
()
2
xy
;
22 22
22 22
xy xy
∂∂ ∂∂
1
−
1.
μ
μ
2
+
25
Исходя из теории толстых плит, наиболее употребимы три следующие ус-
σ
σ
x
=
x
x
x
x
x
ρ
x
ловия:
жестко закрепленный край
0uvw== =
; (2.1.7)
шарнирно закрепленный край
uv
== =
xx
0
; (2.1.8)
свободный край
σσ
===
xx xz yz
0
. (2.1.9)
1) Рассмотрим жестко закрепленный край при
const
, из соотно-
шений (2.1.6) получим:
∂
W
==
W
. (2.1.10)
0
∂
2) Шарнирное закрепление:
2
∂
W
2
∂
W
==
(2.1.11)
0.
3) Свободный край: используя первые два условия (2.1.9) и выраже-
ния (2.1.6), получим [35]:
22 2
∂∂ ∂
23 21 1 0
+++−+ =
() () ()
3
∂
W
=
3
∂
WW W
DD DM
22 2
∂∂ ∂
xy t
ρ
0
1
(2.1.12)
Если пластинка упругая, то граничные условия на свободном крае
const= имеют вид:
22 2
∂∂ +∂
WW W
2
=+
22 2
μλμ
ty x
∂∂ ∂
3
W
∂
∂
0.
=
3
57
λμ
23
+
(2.1.13)
Они отличаются от классических, которые имеют вид [129]:
22
∂∂
WW
ν
+=
22
xy
∂∂
3
W
∂
∂
0.
=
3
0
(2.1.14)
Первое условие (2.1.13) отличается от классических наличием второй производной по времени, а второе условие совпадает. Это отличие
вполне соответствует физическому пониманию поведения свободного от
нагрузки края, т.е. здесь усматривается аналогия с появлением инерционного члена в принципе Даламбера.
Рассмотрим более сложные граничные условия:
26
а) край пластины упруго соединен с пластиной из другого материала,
x
)()()()()()
x
σ
=
x
x
x
∂
x
тогда при
const=
имеют место условия:
Рис. 2.1.2
121212
(
===
xxxxzxzxyxy
uuvvww
===
12121 2
; ; ;
σσσσ σ
; ; ;
(2.1.15)
здесь индексом “1” обозначены параметры левой пластинки, а индексом
“2” – правой пластины, которые переходят в силу выражений (2.1.6) и за-
висимости , UVот W из условий на поверхностях .zh
WW
∂∂
U
==−
; V ;
∂∂
y
±
в следующие [139]:
22
WW
23 1 1
MDhMDhMDh
−+ −+ = +
22
=
WW
+++−+ −
() () ()
111111222
⎡⎤
ρρ
11 23;
() ( )
1112 22 2 2
⎣⎦
DM h DM h D M h Dh Dh
1 11 1 11 2 2 2 1 11 2 2 2
2;
DM h
222
==
12
∂∂
22
∂∂
Dh D h M D h
322
WWW
∂∂∂
+− −− =
3
x
∂
3
∂
W
2
3
∂
x
∂∂
WW
12
; .
∂∂
⎡⎤
⎣⎦
22
WW
∂∂
22
tx
∂∂
()()
22 22
()
ρρ
yxt
∂∂∂
y
(2.1.16)
x
Условия (2.1.16) и являются граничными условиями для двух сопряженных пластин.
б) пластина находится в жестком контакте с вертикальной деформируемой пластиной. Параметры горизонтальной пластины обозначим индексом “1”, а вертикальной – индексом “2”.
Рис. 2.1.3
27
Трехмерные условия сопряжения двух ортогональных пластин, ис-
x
B
−
ходя из приближенных выражений (2.1.6) и условий жесткого контакта,
таковы:
hh
11
12
() ( )
zdz x dx
σσ
112 2
∫∫
00
hh
11
11
σσ
∫∫
hh
11
00
12
=
xz xz
11
() ()
dz u dz w
==
xz xz
1112
;
(2.1.17)
.wu=
Из трехмерных условий (2.1.17) и приближенных уравнений (2.1.6)
получим условия упругой заделки горизонтальной пластины с деформированной вертикальной пластиной в виде:
⎧⎫
⎪⎪
23 1 2 ;
MD D M
∂
x
∂
Wh W
+++ − =
()()
⎨⎬
11 1 1
⎪⎪
⎩⎭
⎡⎤⎡⎤
WM MDMDWM
Δ+ + Δ− =
⎢⎥⎢⎥
122 1122 111
⎢⎥⎢⎥
1
⎣⎦⎣⎦
WhW
∂∂
==−
12 2
xx
∂∂
2223
WWWhW
∂∂∂∂
111221
22222
∂∂∂∂∂
11 11
22
Wh W
11
ρρ
22
211
; .
21
∂∂
−−−−
1111
th t
∂∂
2
⎡⎤
⎢⎥
ythxt
⎢⎥
⎣⎦
2
11 1
22 2
3
2
ρ
−
1
3
ρ
(2.1.18)
4
0;
(2.1.19)
Полученные граничные условия (2.1.18) и (2.1.19) отличаются от
классических, которые выведены для упругого соединения пластины с
массивной балкой и имеют вид:
422
⎛⎞ ⎡ ⎤
WWW
∂∂∂ ∂
BD
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠ ⎣ ⎦
CD
−=+
∂∂∂
=+−
422
yxy
222
⎛⎞⎛ ⎞
∂∂ ∂ ∂
WWW
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
yxy
⎝⎠⎝ ⎠
⎢⎥
x
∂
⎢⎥
2
ν
()
ν
22
xy
∂∂
(2.1.20)
где
D − цилиндрическая жесткость пластинки.
− жесткость балки при изгибе; C
жесткость балки при кручении;
Из анализа граничных условий (2.1.20) видно, что они отражают
действительность для стационарных задач. Их применение к динамическим задачам не всегда возможно, т.к. они не содержат инерционного
члена.
28
§2. Начальные условия
=
x
Общие начальные условия для упругой пластины как трехмерного
тела считались в (1.1.9) нулевыми:
uvw
uvw
== = = = =
∂∂∂
ttt
∂∂∂
0,
при этом 0.t
(2.2.1)
Исходя из граничных условий на боковой поверхности zh=± (1.2.1) полу-
чаем зависимость величин ,UVот поперечного сечения точек срединной
плоскости пластины :W
∂∂
WW
=− =−
UV
; .
∂∂
(2.2.2)
y
Ограничиваясь в рядах (1.2.13) двумя первыми членами, получаем
для , , uvw следующие выражения через , , :UVW
⎡⎤
⎛⎞
11
λμ λμ
() ()
uU U W
=+ − − −
vV V W
=+ − − −
wW W
=+− + +
⎢⎥
λλ
⎜⎟
z
z
22
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
11
() ()
⎢⎥
λλ
⎜⎟
22
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
λμ μ
⎢⎥
λμ λμ
⎢⎥
⎣⎦
+∂ +∂∂
++∂∂
λμ λμ
λμ λμ
+∂ +∂∂
22 6
++∂∂
λμ λμ
⎛⎞
+∂∂
⎜⎟
⎜⎟
+∂∂ +
222
⎝⎠
23
22 6
2
x
∂
23
2
y
∂
UV z
xy
λ
1
()
2
⎛⎞
Vz
⎜⎟
⎜⎟
xy
⎝⎠
⎛⎞
Uz
⎜⎟
yx
⎝⎠
2
.
;
(2.2.3)
;
Подставив (2.2.2) в (2.2.3), получим:
⎡⎤
⎛⎞
∂∂
uWzW
=+Δ− −
vWzW
=+Δ− −
wW W
=+ Δ−
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
x
∂+
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
∂∂
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
y
∂+
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥
++
λμ λμ
⎢⎥
⎣⎦
ρ
λμ
ρ
λμ
λρ
22 2
23
26
t
∂
23
26
t
∂
z
2
z
2
22
∂
2
t
∂
;
(2.2.4)
;
z
.
Вначале рассмотрим условие для самих перемещений, используя
первую тройку в (2.2.1), тогда с учетом выражений (2.2.4) получим:
⎛⎞
0; 0;
WW
=Δ− =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎪
⎛⎞
λρ
⎜⎟
⎜⎟
λμ λμ
⎝⎠
Δ− =
22
++
ρ
+
λμ
2
∂
2
2
t
∂
2
∂
W
2
t
∂
⎫
⎪
⎪
(2.2.5)
⎬
⎪
0.
⎪
⎪
⎭
29
Из выражения (2.2.5) вытекают первые два начальных условия:
)
)
)
f
2
W
∂
W
==
∂
0,
2
t
при 0.t = (2.2.6)
Продифференцируем выражения (2.2.4) по t и, используя вторую тройку
начальных условий (2.2.1), получим:
WW
∂∂
∂
t
3
при 0.t = (2.2.7)
==
∂
0,
3
t
Итак, строго математически сформулировано необходимое и достаточное
число начальных условий для поперечных смещений
,W удовлетворяю-
щее приближенному уравнению 4-го порядка (1.3.1) для случая нулевых
исходных начальных условий.
Рассмотрим случай, когда начальные условия не нулевые:
0
,,, ,, ;
uxyzt f xyz
()
,,, ,, ;
vxyzt f xyz
()
,,, ,, .
wxyzt f xyz
()
uvw
∂∂∂
ttt
∂∂∂
== =
00 0
tt t
t
=
t
=
t
=
11 1
() () ()
; ; .
== =
uv w
(
=
0
= (2.2.8)
0
=
0
()
u
0
(
()
v
0
(
()
w
ff
(2.2.9)
Поперечные колебания пластин возникают в том случае, если перемещения , uv нечетны, w четно по координате ,z т.е. условия (2.2.8) и (2.2.9)
можно представить виде степенного ряда по координате :z
∞
0
()
=
ufxy
∑
0
n
=
∞
=
vfxy
∑
0
n
=
∞
=
wfxy
∑
0
=
n
,;
()
un
0
()
,;
()
vn
0
()
,.
()
wn
21
n
+
z
21!
n
()
21
n
z
21!
n
()
2
n
z
2!
n
()
+
+
(2.2.10)
+
и
∞
uz
∂
=
t
∂
vz
∂
=
t
∂
wz
∂
=
t
∂
30
1
()
fxy
un
∑
0
n
=
∞
1
()
fxy
vn
∑
0
n
=
∞
1
()
fxy
wn
∑
0
n
=
,;
()
,;
()
,.
()
21
n
+
n
+
21!
()
21
n
+
(2.2.11)
n
+
21!
()
2
n
n
2!
()
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]