Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Учебное пособие
.pdf
Поэтому
E
F
F
F
Но
aa
d
.
dt
FmaqEeE
E
Тогда
aaFmeEm
//
E
Задача 16. Электрон влетает перпенди-
кулярно силовым линиям электромагнитного поля со скоростью
(рис. 28). Электри-
0
ческие и магнитные поля параллельны, т. е.
B
ние
. Определить касательное ускоре-
и нормальное ускорение
a
элек-
a
n
трона в начальный момент времени.
Решение:
Движение частицы в электромагнитном
поле описывается силой Лоренца (рис. 29):
Следовательно,
FF
m Е
FqB qE
sin( ^ ) cosFqB B qE
,
,
aFm
F
Е
;
F
m
;
;
.
.
.
.
Рис. 28
Рис. 29
Вектор полного ускорения
a
поэтому
0.a
Следовательно, модуль скорости равен
Тогда
aa
aeEeB
1
n
2
m
41
,
.
0
;
m
2
.
0
R
у
E
F
B
F
F
Задача 17. Электрон, обладающий скоростью
в однородное магнитное поле с индукцией
5,7 10 ТлB
210 мс
6
4
под углом
, влетел
30 к направлению линий поля (рис. 30).
Определите радиус R и шаг h винтовой линии, по которой движется
электрон.
Дано:
21 мс0
5,7 10 Тл B
6
4
υ
30
___________
?
?
h
Решение:
Электрическое поле
Рис. 30
0
по условию задачи, поэтому сила Лоренца:
FqB
Л
qB B
Л
sin( ^ ).
;
(1)
Поскольку векторы
скорости
не будет изменяться под действием силы Лоренца
стоянная сила
F
, перпендикулярная скорости, вызывает движение
F
Л
и
Л
взаимно перпендикулярны, то величина
. По-
F
Л
по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в магнитное поле,
будет двигаться, во-первых, по окружности в плоскости, перпендику-
лярной магнитному полю с индукцией
, со скоростью, равной:
Y
sin
.
Одновременно он будет двигаться и вдоль поля со скоростью:
x
cos
.
В результате одновременного движения по окружности и по прямой
электрон будет двигаться по винтовой линии (рис. 31).
Определим радиус R и шаг винтовой линии h. Радиус окружности
R, по которой движется электрон, найдем следующим образом: сила
Лоренца
она является центростремительной силой
вызывает движение по окружности, следовательно,
F
Л
. Поэтому можно записать
цс.
равенство:
F .
Лцс.
42
R
x
x
x
R
B
Рис. 31
Подставим в это равенство выражение для центростремительной силы
2
m
F
цс
y
22
sin
m
R
и силы Лоренца из формулы (1). Решив полученное уравнение относительно R, найдем:
. (2)
R
sinm
eB
Подставим числовые значения в формулу (2) и произведем вычисления:
31 6
R
9,1 10 2 10 0,5
19
1,6 10 0,0057
2
1, 0 1 0 м 1, 0 см.
Шаг винтовой линии h будет равен пути, пройденному электроном
вдоль поля со скоростью
за время, которое понадобится электрону
для того, чтобы совершить один оборот:
где
TR
2
– период обращения электрона.
Y
hT
, (3)
Подставив выражение для периода обращения электрона T в формулу (3) найдем
2
h
,
Y
или
2cos
R
hR
sin
2ctg
.
Подставив в эту формулу числовые значения величин, получим:
2 3,14 0,01 1,73 0,109 м 1, 1 см.h
Задача 18. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов
500 BU , попал в однородное магнитное поле с индукцией
3
1, 5 1 0 Тл B
. Определить радиус R кривизны траектории и частоту
обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости
кулярен линиям индукции магнитного поля
. Действием силы тяжести
перпенди-
пренебречь.
43
R
F
B
B
F
F
F
R
R
p
p
E
Дано:
500 BU
3
1, 5 1 Тл0 B
____________
?, ?
Решение:
Радиус кривизны R траектории электрона определим исходя из
следующих соображений. На движущийся в магнитном поле электрон
действует сила Лоренца
:
Л
Л
sin ^ sinFeB BeB
,
где α – угол между направлениями вектора скорости
ции магнитного поля
Сила Лоренца
(в нашем случае
перпендикулярна к вектору скорости
Л
и
и вектора индук-
90 , sin 1
).
и, следо-
вательно, является в данном случае центростремительной силой, т. е.
Подставляя выражения
eB B eB
Л
F
F
Лцс.
sin( ^ )
2
m
цс.
;
,
получим:
2
m
eB
где e – заряд и скорость электрона;
, (1)
– заряд электрона; m – масса электрона.
Из формулы (1) найдем:
m
R
. (2)
eB
Входящий в выражение (2) импульс
m
может быть выражен через кинетическую энергию электрона
2
E
k
. (3)
m
2
Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую
разность потенциалов U, определяется равенством
Подставив это выражение
EeU
k
в формулу (3), получим:
k
.
2mmeU .
44
Радиус кривизны равен
R
Е
F
F
R
;
eB
2meU
31 19
29,110 1,610 500
R
19 3
1, 6 10 1, 5 10
510 м 5 см.
2
Для определения частоты обращения воспользуемся формулой,
связывающей частоту со скоростью и радиусом:
.
(4)
2
Подставив в формулу (4) выражение (2), получим:
19 3
eB
223,149,110
1, 6 1 0 1, 5 1 0
m
4, 2 10 c
31
71
.
Задача 19. Электрон влетает в однородное электрическое поле с
напряженностью
ний. Скорость электрона
310 м ВЕ
4
и движется в направлении силовых ли-
210 с м
7
. Определить кинетическую
энергию электрона в тот момент, когда он пройдет расстояние 2 см. Ответ представить в килоэлектронвольтах.
Дано:
10 ВмE
210 с м
9,1 10 кгm
1, 6 10 Клe
4
7
31
19
________
?W
к 2
Решение:
Движение электрона описывается электрической силой
FeE
Е
. (1)
Эта сила сообщает электрону ускорение
Но
EE
FmaeE
.
Тогда
aFmeEm
E
45
. (2)
Подставим данные в формулу (5), получим:
19 4
a
1, 6 1 0 10 м
110
9, с
31 2
0,27 10
16
.
Полученное значение ускорения во много раз больше ускорения свободного падения.
мм
0,27 10 g 9,8
16
a
22
сс
.
Следовательно, влияние гравитационного поля можно не учитывать.
Поскольку скорость движения электрона будет постоянно увеличивать,
то кинетическую энергию электрона можно выразить следующим образом:
2
m
t
W
к2
. (3)
2
Чтобы определить кинетическую энергию необходимо определить скорость электрона в тот момент, когда он пройдет расстояние
2 см.
Запишем уравнения движения:
(5)
st
0
t
2
at
,
2
at
0
.
Для того, чтобы определить скорость
необходимо сначала опреде-
лить время из уравнения (4), которое является аналогом уравнения
2
0ax bx c
.
Решение квадратичного уравнения (4) даст два действительных корня:
9
6,41 c 10t
1
1,1 8 c 10t
2
;
9
.
Первый корень не имеет физического смысла, т. к. значение скорости
в этом случае будет отрицательным:
1,37 10 мс.
t
7
Физический смысл имеет второй корень, который дает значение скорости
1, 38 10 мс.
t
7
Подставим полученное значение скорости в уравнение (3), получим искомое значение кинетической энергии:
W
к2
9,1 10 1, 38 10
31 14
2
8,64 10 Дж.
17
2
Или
к 2
0, 54 кэВW
46
.
x
R
R
R
Задача 20. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов
300 В, влетает в однородное магнитное поле В, направленное пер-
U
=
пендикулярно плоскости чертежа (рис. 32). Ширина поля b
2,5 см.
=
В отсутствие магнитного поля пучок электронов попадает в точку А
экрана, расположенного на расстоянии l
5 см от границы магнитного
=
поля. При включении магнитного поля пятно смещается в точку С.
Найти смещение х
магнитного поля В
АС пучка электронов, если известно, что индукция
=
1,4610
=
5
Тл.
Дано:
В
U = 300 В
2
2
м
м
5
Тл
b
l
В
=
=
=
2,510
510
1,4610
_____________
х – ?
Рис. 32
Решение:
На участке ЕМ электроны движутся по окружности радиуса
R
= ОЕ =
ОМ, под действием силы Лоренца. На участке МС после выхо-
да из поля В, электроны движутся по прямой линии (рис. 32).
По условию задачи смещение х
из соотношения х
1 = ОЕ
OD.
ED. Смещение х1 можно найти
1 =
Из прямоугольного треугольника ODM находим:
Таким образом,
RRb
1
22
22
.
Из подобия треугольников МСК и ODM находим х
xb
2
l
22
, или
b
.OD R b
:
2
bl
x
2
22
.
b
Общее смещение
xR R b
22
bl
22
.
b
(1)
Таким образом, для решения задачи необходимо вычислить радиус R
окружности, по которой электроны начинают двигаться в магнитном поле.
47
Зная величину силы Лоренца F =
торое она создает, получаем F
R
Скорость электрона
= man =
m/(eB). (2)
=
eB и нормальное ускорение, ко-
2
m
/R
2.eU m
eB, или
=
(3)
Комбинируя уравнения (1) – (3), получаем:
22
xb
4162,510 3,910м 0, 39 мм.
22
eB eB
2
R
eB
xR R b
2
24
mU
4 м;
2
2,5 10 5 10
16 2,5 10
mU mU b l
Ответ: х
0,39 мм.
=
2
2
mU eB b
2
mU
2
R
eB
22
22
bl
22
Rb
2
22
2
16 м;
2
;
Задача 21.
поле напряженностью Е
влетает в данное электромагнитное поле со скоростью =
Магнитное поле с индукцией В = 0,01 Тл и электрическое
103 В/м направлены одинаково. Электрон
=
105 м/с. Найти
нормальное, тангенциальное и полное ускорение электрона для случаев:
скорость электрона направлена вдоль силовых линий Е;
а)
скорость электрона направлена перпендикулярно полям Е, В.
б)
Дано:
В = 0,01 Тл
103 В/м
Е
=
=
105 м/с
__________
a
– ? a
n
?
a – ?
Решение:
1. Вектор скорости υ электрона и вектор В коллинеарны:
sin
0, Fm =
=
eB sin
=
0.
Поэтому
a
n =
48
0.
Тангенциальное ускорение находим из второго закона Ньютона
a
F/m = eE/m;
=
aaaa
22
n
.
Подставляя численные значения, получаем:
19 3
a
eE
1, 6 1 0 1 0
m
31
9,11 10
1,76 10 м/с .
14 2
Отмечаем, что при движении с таким ускорением необходимо учи-
тывать релятивистский эффект, что выходит за рамки данной задачи.
2. Нормальное ускорение находим, зная величину силы Лоренца:
F
eB
a
n
m
Тангенциальное ускорение
1, 6 1 0 1 0 1 0
a
eB
m =
19 5 2
9,11 10
= man
31
1, 6 1 0 1 0
eE
m
;
1,76 10 м/с .
19 3
31
9,11 10
14 2
1,76 10 м/с .
14 2
Полное ускорение равно
22
1, 7 6 10 2 2 , 49 10 м/с .
mm
14
м/с2; an =
1,7610
14 14 2
14
м/с2; a =
2,4910
14
м/с2.
Ответ: a
eB eE
a
1,7610
=
Задача 22. Пучок нерелятивистских заряженных частиц проходит,
не отклоняясь, через область А (рис. 33), в которой созданы поперечные
взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напря-
женностью Е
=
1,510
ле выключить, след пучка на экране Э смещается на х
Определить удельный заряд q
2 =
6,0 см.
и l
4
В/м и индукцией В = 0,01 Тл. Если магнитное по-
15 см.
=
/m частиц, если известны l
1 =
3,1 см
Дано:
l1 =
l
2 =
Е
=
В
=
х
=
3,110
610
1,510
0,01 Тл
2
2
м
4
0,15 м
В/м
__________
/m – ?
q
м
Рис. 33
49
E
х
Решение:
При включенных полях пучок частиц проходит область А, не от-
клоняясь. Из механики известно, что это возможно в том случае, если
сумма сил, приложенных к частице, равна нулю.
0; 0
FFF
Km
.
Легко догадаться, что электрическая
и магнитная
F
K
F
m
составля-
ющие силы Лоренца равны по модулю и направлены по одной прямой в
противоположных направлениях.
где β – угол между векторами
и B. По условию задачи β =
sinqE q B
, (1)
90.
Из (1) находим скорость частиц в пучке
qE E
. (2)
qB B
При выключенном магнитном поле частицы проходят участок l
1
в электрическом поле. Время t движения частиц по оси y с учетом (2) равно
llB
11
t
. (3)
За это время частицы проходят в направлении оси х расстояние х
1
(рис. 34) и вылетают из области А со скоростью 1 под углом к оси y.
В области l
частицы движутся равномерно и прямолинейно.
2
Рис. 34
В области l1 частицы движутся равноускоренно с ускорением
aqEm
x
. (4)
Поэтому с учетом (3)
222
at q l B
x
x
1
22
Из треугольника OLM определяем
1
mE
tgxl
22
50
.
, где
tg
.
y
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]