Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Учебное пособие
.pdf
B
I
K
B
𝚥
𝚥
𝚥
𝚥
Тогда
– это магнитное поле между пластинами.
j
0
Поскольку перемычка имеет сопротивление, то между плоскостями
имеется напряжение
UIR
,
l
R
где
jb – сила тока;
– сопротивление перемычки (l – длина
b
перемычки, b – ширина перемычки).
Таким образом, напряжение между плоскостями можно выразить
следующим образом:
ll
Ujb j
b
.
Напряженность электрического поля между плоскостями
Uj
E
.
l
Х
∆𝑙
C
𝑙
𝑌
О
д
𝐵
𝐸
Z
𝑏
а б
Для нахождения скорости дрейфа электронов перейдем в движу-
щуюся со скоростью
систему отсчета
д
M
𝐵
Рис. 12
, в которой отсутствует
электрическое поле
BBBBEcB
0E
E
д
2
c
. Из формул преобразования полей следует:
д
2
,
т. к.
c
0
0.EE Bc
д
2
,
2
K
21
Или в проекциях на ось ОХ:
K
K
B
x
0EB
д
(рис. 12, б).
Отсюда
У электрона относительно
Ej
д
Bj
-системы появляется в начальный момент
00
.
времени скорость
1 д
,
с которой он вращается равномерно по окружности постоянного радиуса в магнитном поле. В неподвижной системе отсчета на вращательное
движение накладывается дрейфовое смещение вместе с
-системой
отсчета в направлении OZ (к перемычке) (рис. 13) со скоростью
д 0
.
0
Рис. 13
Задача 6.
Однородный по плотности плоскопараллельный слой
электронов удерживается в вакууме однородным магнитным полем с
4
индукцией
щина слоя 1 см
57 10 . Тл
Поле параллельно поверхности слоя. Тол-
. Плотность электронов в слое
7 3
10 смn
. В этих
условиях электроны движутся параллельно поверхности слоя в плоскости, перпендикулярной магнитному полю (дрейф).
Определить скорость дрейфа
До плоскости симметрии. Определить разность потенциалов
в зависимости от расстояния
д
между
0
плоскостью симметрии и внешними поверхностями слоя, масса элек-
31
трона
9,1 10 к гm
.
22
.
B
–
x
Дано:
4
57 10 Тл
1 см
9,1 10 к гm
__________________
–?
д
73
10 смn
31
?
.
Решение:
Из теоремы Гаусса найдем напряженность электрического поля:
E
enx
0
,
где e – элементарный заряд электрона.
Со стороны магнитного поля на электроны действует сила
sin 90 Fe B e B
.
Со стороны электрического поля на электроны действует сила
FeE
e
.
Второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
2
0
y
x
(1)
y
(2)
den
x
meB
dt
d
meB
dt
Из теоремы Гаусса найдем напряженность электрического поля (рис. 14).
X
𝐹
𝑒
𝐹
𝑌
𝑂
Z
𝐵
Рис. 14
23
Из уравнения (2) находим:
x
x
x
x
x
eB eB
mm
dt x x
, (3)
0yx
где
– координата электрона в начальный момент времени.
0
Подставим уравнение (3) в уравнение (1), получим:
deneB
dt m m
222
x
0
xx
2
Обозначим:
eB
m
,
0
2
en
m
0
.
b
Тогда
d
x
dt
22
bx
000
Или
2
dx
2
dt
22
bx
000
Сделаем замену:
2
zx x
0
2
0
. (5)
0
b
.
0
.
. (4)
Тогда уравнение (4) запишется в виде
2
dz
dt
2
Решение данного уравнения имеет вид
coszA t
где
22
Тогда из уравнения (5) находим:
cos
At x
sin
x
At
В начальный момент времени
0 txx
0 sinA
2
bz
0
0
00
;
0
.
,
0
.
b
2
0
2
0
0
;
0
x
.
0
; (6)
b
.
24
x
A
x
x
t
Отсюда
Отсюда
Итак,
2
Ax
,
0
0
00
bx
2
0
0
2
0
0
.
x
0
b
.
b
x
0
2
0
2
0
b
cos
bt
. (7)
Из уравнения (3) получим:
x
00 0 00
y
xbtx
y
ydt t
y
00
2
0
bx
00
2
b
0
00
2
0
Из уравнения (7) видно, что координата
b
bx t
2
1cos
b
sin
cos
t
;
.
(8)
;
𝑥 изменяется по закону ко-
синуса. Следовательно, электрон совершает колебания относительно
положения равновесия (нет дрейфа) (рис. 15).
Y
∆𝑡
Y(t)
∆𝑌
Рис. 15
25
x
K
E
x
K
B
E
E
x
B
д
Из уравнения (8) видно, что координата 𝑦 растет со временем.
Найдем дрейфовую скорость как среднюю скорость за период tT
:
д
tT
00 00
22
bb
00
sin 1ybx T bx
T
.
Поскольку
b
2
,
0
то
19 13
bx e n
д 00
0
00
B
д 0
1, 6 1 0 10
8,85 10 57 10
3,18 10 мсx
12 4
5
.
x
;
Разность потенциалов равна
/2 /2
Edx xdx
00
1, 6 10 1 0 10
88,8510
en en
00
19 13 4
12
2, 26 B.
2
;
8
Дрейфовую скорость можно найти проще, если перейти в движу-
щуюся систему отсчета
ле
в точке нахождения электрона (на расстоянии
динат). Обозначим скорость системы
, в которой отсутствует электрическое по-
от начала коор-
0
как
. Тогда из формул
д
преобразования полей следует:
BEcB
д
д
2
;
;
0EE B
X
так как
2
.
c
д
В проекциях на оси ОХ:
д
0EB
где
en
x
.
0
0
Отсюда
en
д 0
0
B
𝑋
𝐸
𝑌
𝑂
,
𝐵
Z
Рис. 16
.
26
K
K
x
B
R
R
I
I
I
I
У электрона относительно
-системы появится скорость
в магнитном поле (в начальный момент времени
с
-системой электрон смешается с дрейфовой скоростью
en
д 0
0
вращения
1
10
по направлению координаты OY (рис. 16).
Задача 7. Над плоской поверхностью сверхпроводника I-рода на
изолирующем слое толщины 5 ммh
кольцо радиуса 10 см
, по которому течет постоянный ток I (рис.17).
лежит тонкое сверхпроводящее
При каком токе I кольцо начнет парить над сверхпроводником, ес-
ли масса кольца 1 гm
?
Дано:
5 мм h
10 см
𝐼
ℎ
1 гm
__________________
I – ?
Рис. 17
𝐼
ℎ
. Вместе
Решение:
Для того чтобы магнитное поле тока кольца не проникало в сверх-
проводник, нужно чтобы на поверхности сверхпроводника нормальная
составляющая магнитного поля, созданного элементом тока
пенсировалась магнитным полем поверхностных токов в сверхпроводнике. Тогда «зеркальным отображением» элемента
с током
dl
и направлением тока противоположным току I является
dl
𝑑𝐵
(рис.18).
, ском-
I
1
Для всего кольца «зеркальное отображение» – это кольцо внутри сверхпроводника на расстоянии h от поверхности с направлением тока, противоположном току I в реальном кольце (рис. 17).
Поскольку расстояние между кольцами с током I намного меньше
длины колец
2 lR
,
то силу отталкивания колец можно найти по закону Ампера как силу
взаимодействия между двумя длинными проводниками, расстояние
между которыми 2rh
222
F
Il I R I R
01 0 0
4422
rrhh
22
.
27
𝐼𝑑𝑙
𝐼𝑑𝑙
𝑑𝐵
90°
90°
𝑑𝐵
Рис. 18
Кольцо начнет парить над сверхпроводником, когда сила отталки-
вания F будет равна или больше mg
2
IR
0
2
h
mg
.
Отсюда
2 mg h
I
I
0
33
210 9,8510
7
43,1410 0,1
R
;
.
28 А
Задача 8. Электрон движется в однородном магнитном поле индук-
цией 5 мТлB окружности (рис. 19). Найти период T его обращения.
Масса электрона
9,1 10 кгm
, модуль его заряда
1, 6 10 Клe
19
.
31
Дано:
3
5 мТл 5 10 ТлB
31
9,1 10 кгm
1, 6 10 Клe
19
_____________________
?T
Рис. 19
28
F
R
R
R
R
R
R
B
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся вторым законом Ньютона:
,
ma
цЛ
где
2
, поэтому
a
ц
Fm
Л
2
. (1)
По формуле силы Лоренца
Л
sin ,FBe
где
α 90
, sin 1 .
Поэтому
Л
(2)
.FBe
Приравняем (1) и (2):
2
mBe
, mBe
. (3)
Теперь выразим линейную скорость электрона через его угло-
вую скорость , а ее, в свою очередь, через период T:
,
где
2
,
T
поэтому
2
. (4)
T
Подставим (4) в (3) и из полученного выражения определим период
движения электрона Т:
2 R
mBe
TR
2
mBe
;
.
T
Откуда
Tm
.
2
e
Произведем вычисления:
31
2 3,14 9,1 10
T
510 1,610
319
710 с 7 нс.
9
Задача 9. Протон и α-частица влетают в однородное магнитное поле
перпендикулярно его магнитным линиям. Во сколько раз различаются
радиусы окружностей, по которым движутся эти частицы, если у них
29
p
p
p
F
R
R
одинаковы: а) скорость; б) кинетическая энергия? Заряд α-частицы
в два раза больше заряда протона
за больше массы протона
Обозначим
радиус окружности, описываемой α-частицей,
R
1
m
.
а масса α-частицы
pq
в четыре ра-
m
радиус окружности, описываемой протоном.
Дано:
2
qq
mm
4
____________
R
2
?
R
1
Решение:
1. Линейные скорости частиц одинаковы, т. е.
12
.
R
q
2
–
По второму закону Ньютона
где
FBq
Л1
Поэтому
где
– сила Лоренца, действующая на α-частицу;
F
Л1
Bq m
Bq m
стремительное ускорение.
Аналогично относительно протона:
Bq m
ma
Л1 ц1
,
;
a
ц1
2
;
R
1
, (1)
1
pp
.
(2)
2
2
.
R
1
a
– ее центро-
ц1
Разделим уравнение (1) на уравнение (2). Получим:
Bq m R q m R
Bq m R q m R
pp pp
22
11
30
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]