Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Учебное пособие
.pdf
B
B
B
B
B
B
B
б
m
R
qB
T
qB
1
21m
; (22)
2
2
c
. (23)
2
2
c
Индукция магнитного поля
, возбуждаемого в вакууме заряжен-
q
ной частицей, которая движется с постоянной скоростью
сравнению со скоростью с света в вакууме
q
4
q
0
3
r
r
B
,
q
qrr
0
4
sin
, равна:
c
2
r
, (24)
r
где q – заряд частицы;
частицы в рассматриваемую точку A
– радиус-вектор, проведенный из движущийся
(рис. 6).
, малой по
А
𝐵
𝑞0
𝑟
А
а
𝐵
𝑞0
Рис. 6
𝑟
Вектор
рез векторы
щение по кратчайшему расстоянию от направления
видно, что движение происходит против часовой стрелки (рис. 6, а). Если
заряд частицы 0q
(рис. 6, б). Магнитное поле движущегося заряда переменно, т. к. даже при
const
радиус-вектор
направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной че-
q
r
и
. Если заряд частицы 0q , то из конца вектора
к направлению
, то вектор
направлен в противоположную сторону
q
r
изменяется и по модулю, и по направлению.
q
вра-
r
Магнитное поле движущегося заряда, в отличие от электростатического поля неподвижного заряда, не является сферически симметрич-
ным. Магнитная индукция
торами
r
и
. При одном и том же значении расстояния r величина
этого поля зависит от угла φ между век-
q
q
11
максимальна в точках плоскости, проведенной через движущуюся за-
ряженную частицу перпендикулярно к ее скорости
точках прямой, вдоль которой направлен вектор
сматриваемое магнитное поле зеркально симметрично относительно
направления
Сила, действующая на движущийся заряд
поля другого движущегося заряда
модействия зарядов
и
движутся в вакууме с одинаковыми скоростями
q
2
по сравнению со скоростью света в вакууме
.
q
, называется силой магнитного взаи-
q
1
и
q
1
. В частности, если два одноименных заряда
q
2
со стороны магнитного
2
, и направленными
c
2
B
0
,
q
12
. Во всех
0
. Рас-
q
1
, малыми
перпендикулярно к соединяющей заряды прямой, то силы их магнитного
взаимодействия являются силами притяжения и численно равны:
qq
F
m
012
4
2
. (25)
2
r
Сила кулоновского отталкивания тех же зарядов равна:
qq
12
F
к
4
. (26)
2
r
0
Поскольку
00 00
2
с
1
1 с
2
,
то отношение этих сил равно:
F
m
F с
2
. (27)
2
к
Следовательно, при скоростях зарядов, малых по сравнению со скоростью света в вакууме
, магнитное взаимодействие между дви-
c
жущимися зарядами значительно слабее их электрического взаимодействия. Однако если заряды движутся в проводнике, который в целом
электрически нейтрален, электрические силы оказываются скомпенсированы так, что остается только магнитное взаимодействие. Этим объясняется магнитное взаимодействие проводников с токами. Хотя сила
магнитного взаимодействия каждой пары электронов в
двух параллельных проводниках с токами мала, число этих пар велико, сила магнитного взаимодействия проводников оказывается заметной величиной.
12
p
p
F
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
И АНАЛИЗ ИХ ФИЗИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ
Задача 1. На какой высоте h постоянный магнитик с магнитным
моментом
1 Амp
положении над плоской горизонтальной поверхностью сверхпроводника I рода? Магнитик считать точечным диполем. (Применить
зеркальных изображений
Дано:
2
1 Амp
10 г 10 к10 гm
__________________
2
и массой 10 гm будет парить в горизонтальном
метод
.)
3
?h
Решение:
Внутри сверхпроводника нет магнитного поля, а значит, нормальная
составляющая поля магнита на поверхности сверхпроводника должна
компенсироваться полем поверхностных токов. Поле поверхностных токов над поверхностью сверхпроводника будет таким же, как поле магнитика с магнитным моментом
, равным
p
1
, который находится под по-
верхностью сверхпроводника на таком же расстоянии от поверхности,
что и заданный магнитик («зеркальное отображение» магнита).
Найдем магнитное поле в месте нахождения верхнего магнита
(магнитное поле поверхностных токов):
B
1
44
prr
00
53 3
rr r
pp
,
т. к.
cos90 0pr pr
,
то
B
1
4
0
.
3
r
Это магнитное поле нижнего магнита (рис. 7).
В неоднородном поле на верхний магнит действует сила
pB
13
,
1
p
p
вертикальная составляющая которой равна:
dB dB
Fp p
11
dr dr
𝑦
𝐵
𝑟
𝑝
𝑝
ℎ
Рис. 7
Проекция на ось OY:
.
𝐵
𝐵
dB
1
pmg
0
, (1)
dr
где F – сила, отталкивающая магнит от сверхпроводника.
dB p
dr r
3
4
. (2)
4
10
Подставим уравнение (2) в уравнение (1). Учитывая, что 2rh
получим:
3
0
42(2)
2
p
hh
4
mg
.
Отсюда
13
h
4
24
1 343,1410
h
2 4 3,14 10 9,8
4
2,1 см.
2
0
2
mg
7
;
,
Задача 2. В результате некоторого космического события образова-
лась система, состоящая из звезды (масса M, магнитный момент
и планеты (масса mM , магнитный момент
). Планета движется по
)
p
0
круговой орбите радиуса R.
14
R
p
p
p
Найти возможный разброс величины периода обращения в зависимости от ориентации магнитных моментов, считая плоскость орбиты
перпендикулярной магнитному моменту звезды
.
p
0
Решение:
Поскольку mM , то центр инерции системы находится в центре
звезды (рис. 8).
𝑝
𝑝
𝑟
𝑚
𝑀
Рис. 8
Гравитационная сила притяжения планеты к звезде равна
mM
F
гр.
. (1)
2
Магнитное поле звезды
т. к.
B
0000
0
44
3
prr
0
53 3
rr r
00
pp
,
cos90pr pr
.
Со стороны магнитного поля звезды на планету действует радиальная
составляющая силы
Fp
r
В том случае, когда магнитные моменты
dB p p
000
dr r
3
4
p
0
и
.
4
параллельны, на пла-
нету действует максимальная сила отталкивания
3
F
r
4
p
00
. (2)
4
r
Максимальная сила притяжения наблюдается, когда магнитные моменты направлены противоположно друг другу:
3
4
15
F
r
p
00
, (3)
4
r
Здесь
F
F
R
R
F
rR
. (4)
Выражение для периода обращения планеты получим из второго закона
Ньютона:
FmR
гр r
2
,
где
2
.
T
Тогда
2
4
mR
FF
гр
r
T
.
2
Отсюда период обращения планеты равен:
:
mR
F
гр
. (5)
r
максималь-
T
2
Подставляя уравнения (1) и (2) в уравнение (5), находим
ный период обращения планеты
T
1
2
mM p p
mR
. (6)
3
00
24
r
4
Подставляя уравнения (1) и (3) в уравнение (5), находим
период обращения планеты
T
2
:
2
mM p p
24
mR
3
00
4
. (7)
r
Считая
FF
гр r
продифференцируем уравнение (5) по
dT m R m R
2
2
1
dF dF
FF F
гр гр
Заменим в последнем уравнении dT на
,
, получим:
F
r
rr
3/2 3/2
r
T
, а
dF
– на
r
2
минимальный
.
, получим:
r
2rmR F
T
3
3/2
2
F
гр.
16
F
F
I
𝚥
Подставив выражения для
периодов обращения:
T
63
00 00
4
4
R
и
гр
, получим максимальную разницу
r
pp mR pp
3/2 3/2
R
2
2
mM RmM
.
Задача 3. Над плоской поверхностью сверхпроводника 1-го рода
параллельно этой поверхности подвешен тонкий прямолинейный провод на расстоянии
от плоскости, по которому течет постоянный ток I.
l
1
Найти линейную плотность сверхпроводящего тока j, текущего по
поверхности сверхпроводника.
Указание:
применить метод зеркальных изображений.
Решение:
Магнитные линии не должны проникать в сверхпроводник, значит
на поверхности нормальная составляющая магнитного поля тока должна компенсироваться полем тока, текущего по поверхности сверхпроводника. Поскольку внутри сверхпроводника нет магнитного поля, значит и тангенциальная составляющая магнитного поля тока под
поверхностью сверхпроводника также компенсируется. Тогда направление поверхностных токов противоположно внешнему
току I. Поле поверхностных токов над поверхностью проводника будет таким же, как
поле воображаемого тока
, равного I, находящегося над поверхностью
1
проводника на расстоянии h от поверхности (рис. 9).
𝐼
𝐵
𝑟
∆𝑙
ℎ
ℎ
Рис. 9
𝐼
17
α
𝐵
B
B
B
I
I
I
p
Для нахождения линейной плотности поверхностных токов
dI
j
n
.
dl
Рассмотрим циркуляцию вектора магнитной индукции
нечно малому прямоугольному контуру со стороной l
по горизонтали
(рис. 9):
l
dl In
l
2sin
dl B l
0
; (1)
0
. (2)
Учтем, что
по беско-
sin /hr
. (3)
Тогда из уравнения (2) магнитная индукция тока I равна:
B
0
2
. (4)
r
0
Поверхностный ток внутри контура равен
njl. (5)
Подставим уравнения (2) и (5) в уравнение (1), получим:
2sinBljl
00
. (6)
Отсюда получим:
1
2sinjB
0
0
. (7)
Подставим уравнения (3) и (4) в уравнение (6), получим плотность тока,
которая будет равна
h
j
,
2
r
где r – расстояние между проводом и точкой наблюдения.
Задача 4. Маленький постоянный магнит совершает малые свобод-
ные колебания над сверхпроводящей поверхностью. Каково отношение
периодов колебаний двух магнитов с одинаковыми магнитными моментами, массы которых отличаются в 16 раз? Ось магнита остается перпендикулярной сверхпроводящей поверхности.
Решение:
Магнитное поле поверхностных токов заменяем магнитным полем
«зеркального отображения» магнита
– магнита
, находяще-
pp
1
гося на таком же расстоянии от поверхности сверхпроводника, что
18
p
p
𝑝
и магнит
(рис. 10). В этом случае нормальная составляющая маг-
нитного поля на поверхности проводника равна нулю. Верхний магнит
отталкивается от поверхности сверхпроводника, сила тяжести противодействует этому.
𝐵
𝑟
𝐵
𝐵
𝑝
0
Рис. 10
Найдем магнитное поле в месте нахождения верхнего магнита:
3
B
00
1
42
rr r
pp
33 3
,
где p – магнитный момент.
Сила отталкивания от поверхности
2
4
dB p
Fp
.
dr r
3
10
2
В положении равновесия
Fmg
3
0
2
;
2
p
4
r
mg
.
Отсюда
1/4
0
mg
2
p
.
3
r
2
При отклонении магнита от положения равновесия возникает возвращающая сила
F
:
в
19
F
F
B
B
B
𝚥
𝚥
dF p mg
в
dr r r
mg r g m r
44
в
33
Выражение, стоящее перед
12 4
rrr
2
1/4 1/4
22
mg g
22
pp
00
2
0
5
r
, – это коэффициент квазиупругой
силы
kbm ,
5/4
где
2
g
4
bg
3
2
p
0
остается постоянной в опытах с магнитами.
Пусть
21
.
16mm
Период колебаний
mm
22 2
T
kbm bm
1/4
1/4
Tbm m
211
Tbm m
122
5/4 1/4
1/8
16
Задача 5. По двум параллельным про-
водящим плоскостям текут антипараллельные токи с линейной плотностью
.
j
;
1/ 4
1
,
11
1/8
.
2
5/4
.
Токи замыкаются через замыкающую
плоскости перемычку толщиной δ
с удельным сопротивлением
ρ (рис. 11).
В пространстве между плоскостями совершает дрейфовое движение электронов.
δ
Определить величину и направление
скорости дрейфа электрона.
Рис. 11
Решение:
Для нахождения магнитного поля между плоскостями рассмотрим
циркуляцию вектора магнитной индукции
(рис. 12, б). Вне пластин магнитное поле токов компенсируется, поэтому:
dl B l
dl j l
20
;
.
0
по контуру MKCD
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]