Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Учебное пособие
.pdf
откуда
p
R
E
p
p
R
p
qm
m
.
p
Rq
2
1
Произведем вычисления:
2
R
Rqm
qm
2
1
pp
42
pp
1
,
или
R
Rqm
pp
1
2
2
pp
2.
4
qm
Следовательно, при одинаковых линейных скоростях радиус
окружности, описываемой α-частицей, вдвое больше радиуса окружности, по которой движется протон.
2. Кинетические энергии частиц одинаковы, т. е.
EE
12kk k
.
По формуле кинетической энергии:
2
m
где
E
k
E
k
– линейная скорость α-частицы;
1
m
1
; (3)
2
2
pp
, (4)
2
– линейная скорость про-
тона.
Теперь они разные, ведь если кинетические энергии частиц одинаковы, а их массы различны, то и скорости частиц тоже должны быть разные.
Приравняем уравнения (3) и (4):
m
2
pp
m
,
m
p
2
m
22
2
p
.
Откуда
p
m
. (5)
m
Теперь запишем выражения (1) и (2) с учетом, что скорости частиц разные:
Bq m
; (6)
1
Bq m
pp
31
. (7)
R
2
p
p
R
p
R
E
B
B
–
Разделим (6) на (7) и из полученного выражения определим искомое отношение
RR
:
12
Bq m R
Bq m R
ppp
2
,
1
откуда
qm
R
2
Rqm
1
p
p
,
или с учетом уравнения (5):
qm mm
Rmq
2
qm m q mm
1
pppp
2
p
;
2
Rq
2
1
m
qm
p
.
Произведем вычисление:
2
R
Rq m
qm
2
1
pp
4
pp
1
.
Значит, когда кинетические энергии этих частиц одинаковы, они
движутся в магнитном поле по окружностям одинакового радиуса.
Задача 10. В некоторой области пространства имеются однородные
электрическое и магнитное поля, у которых векторы напряженности
индукции
B
сонаправлены
гаться электрон, влетевший в эти поля со скоростью
лом 60 к линиям векторов
ского поля
Масса электрона
0,2 кВ м, E
9,1 10 кгm
B
а индукция магнитного поля 20 мТл?
31
. С каким ускорением 𝑎 станет дви-
600 мс
E
B
и
, если напряженность электриче-
, модуль его заряда
1, 6 10 Клe
– под уг-
19
.
Дано:
600 мс
E
и
60
0,2 кВ м 0,2 10 ВмE
20 мТл 20 10 л Т
31
9,1 10 кгm
1, 6 10 Клe
19
.
3
3
Рис. 20
_______________________
?
a
32
F
F
F
F
F
F
B
В
Решение:
Ускорение электрона можно определить из второго закона Ньютона:
a
где F – равнодействующая сил Лоренца
, (1)
m
и электрической силы
Л
эл
взаимно перпендикулярных друг другу (рис. 20).
Поэтому согласно теореме Пифагора
FFF
где
эл
– сила Лоренца, вектор которой направлен от чертежа к нам;
Л
– электрическая сила, антинаправленная вектору напряженности
22
Лэл
,
E
поскольку электрон притягивается к положительным зарядам – источникам этого поля.
Модуль силы Лоренца равен:
,
,
Л
sinFBe
.
Модуль электрической силы равен:
FeE
эл
.
С учетом этого уравнение для результирующей силы примет следующий вид:
sin
Be eE
22
. (2)
Подставим уравнение (2) в уравнение (1), получим:
sin sin
eeEeBE
a
22 22
.
mm
Произведем вычисления:
1,610 2010 600sin 60 0,210
a
19 3 3
13 2
31
9,1 10
3,5 10 мсa
22
;
.
Задача 11. В цилиндрическом магнетроне анод представляет метал-
лический цилиндр радиусом 1 смb , а катод – металлическую нить ра-
диусом ab , расположенную по оси цилиндра. Постепенно увеличи-
вая индукцию магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра,
добились того, что при анодном напряжении
6,7 мТл
анодный ток стал равен нулю. Какое значение удельного
U
а
100 В
и индукции
заряда электрона
получится по результатам этого опыта?
em
33
Дано:
I
В
В
В
R
1 смb
U
а
100 В
6,7 мТлВ
0
___________
– ?
em
Рис. 21
Решение:
Электроны не достигают анода при индукции поля
В
. По-
кр
скольку по условию задачи индукция B, при которой ток отсутствует,
наименьшая, то
. Траектория одного из электронов при
В
кр
В
кр
изображена на рис. 21 (она касается поверхности анода). Радиус кривизны траектории (окружности)
b
R
. (1)
2
Сила Лоренца является центростремительной силой:
2
meB
. (2)
Электроны приобретают энергию за счет работы сил электрического
поля, т. е.
2
m
2
. (3)
eU
а
Решая совместно уравнения (1), (2) и (3), получаем:
8 eU
а
mbB
. (4)
22
Подстановка данных задачи дает:
e
1,76 10 Кл кг
11
.
m
Задача 12. Заряженная частица влетает в горизонтально располо-
женный плоский конденсатор (рис. 22). Начальная скорость частицы
параллельна пластинам.
Опишите характер траектории и закон изменения скорости. (Силу
вязкости считать по закону Стокса,
F
В
34
.)
0
P
F
B
R
x
x
Рис. 22
Решение:
Для того чтобы решить эту задачу, необходимо: 1) записать уравнение движения частицы в векторном виде; 2) выбрать координатные
оси x и y; 3) записать уравнение движения частицы в скалярном виде с
учетом проекций всех сил на выбранные оси; 4) задать начальные условия. Уравнение движения имеет вид
d
mPFF
dt
где
– сила тяжести;
mg
вязкости, направленная против движения, модуль
– кулоновская сила;
qE
,
В
F
В
пропорционален
F
– сила
скорости
движения частицы; коэффициент вязкости.
Обозначим
PqE
.
Тогда
d
mR
.
dt
Запишем это уравнение в проекциях на оси координат:
d
x
m
0,
dt
d
y
mR
dt
y
или
,
d
m
x
dt
d
y
mR
dt
Зададим начальные условия:
0, ;
x
0
t
0, 0 .
y
0
x
y
Решаем первое уравнение. Из (1)
d
x
m
;
dt
d
x
;
x
dt
m
ln .
x
tC
m
,
x
(1)
.
y
35
x
Постоянную C интегрирования найдем из начальных условий.
При
0,
t
x
.
0
Тогда
ln C
0
ln ; xt
0
Это и есть закон изменения
ln ln ;
и
x
m
.
x
в зависимости от времени t.
e
0
t
m
;
m
x
e
0
t
0
t
m
Найдем закон изменения составляющей скорости относительно
ос OY
Разделим переменные
:
y
d
y
mR
и t и проинтегрируем левую и правую части
y
dt
.
y
уравнения:
d
Rm m
()()
y
dt
;
y
mR
ln .
mm
y
tC
(2)
Найдем постоянную интегрирования С из начальных условий
mR
ln
.
m
C
0, t
V
y
0
,
Полученное выражение для С подставим в уравнение (2). Получим:
mR mR
ln ln ;
mR mR
ln ln ;
t
m
t
mm m
y
t
mm m
ln
y
RR
mm m
y
.
Отсюда находим:
t
1
R
y
m
e
.
36
Окончательно можно записать:
R
E
B
E
E
B
x
;
x
R
1
y
Проанализируем эти выражения.
С увеличением t
t
m
e
0
t
m
e
.
0
x
,
y
,
т. е. частица будет двигаться в вертикальном направлении (рис. 23).
Рис. 23
Переход в прямолинейный режим происходит тем быстрее, чем
больше вязкость среды (
Задача 13. Положительно заряженная частица массой m и зарядом q
влетает со скоростью
трическое
и магнитное
α) и чем меньше масса частицы m.
в пространство, в котором существует элек-
V
0
поля одинакового направления
B
линий
. Вектор скорости составляет угол α с направлением силовых
и
(рис. 24). Начальные условия:
0,t
yz.
Исследовать траекторию движения частицы.
Рис. 24
37
F
F
x
R
x
x
x
Решение:
Проведем качественный анализ решения. Запишем в векторном виде
уравнение движения частицы с учетом всех сил, действующих на нее:
ma F F
mk
, (1)
где
– сила, действующая со стороны электрического поля.
k
– сила, обусловленная существованием магнитного поля;
m
Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат:
:
ox ma F
: .
oy и oz ma F
ma qE
x
;
k
m
; (2)
(3)
.ma q B
Таким образом, векторному уравнению (1) соответствуют два независимых скалярных уравнения. Отсюда следует, что движение частицы
можно представить как совокупность двух независимых движений:
равноускоренное движение вдоль линий поля под действием
1)
электрической силы (2);
равномерное движение по окружности вокруг линий поля под
2)
действием магнитной силы – силы Лоренца (3). Траектория частицы будет иметь вид спирали с постоянным радиусом R и изменяющимся шагом спирали h. Найдем радиус R винтовой траектории частицы и период
вращения Т.
В движении по окружности в плоскости YZ электрическая сила
не участвует,
поэтому радиус винтовой траектории R и период T выра-
жаются такими же формулами, как если бы электрического поля не было:
R
qB qB
sinmm
0
;
22
T
m
.
qB
Запишем кинематическое уравнение, описывающее движение частицы вдоль силовых линий
. Поскольку движение вдоль 𝑥 рав-
xt
ноускоренное, то
2
at
x
где
a
– начальное значение скорости относительно x;
0
– ускорение относительно оси x;
xt
x
0
aqEm
. (4)
2
00
x
x
.
Допустим, что частица совершила n оборотов вокруг силовых линий за время
tnT ,
38
cos
;
E
F
F
F
F
F
E
где T – период вращения частицы. Найдем шаг винтовой траектории h
на n обороте:
21 21
an T qEn T
hT T
00
x
x
hx x
nn
22
22
cos
;
1
n
Задача 14.
Положительно заряженная частица влетает в область пространства, где существуют взаимно перпендикулярные электрические и магнитные
B
поля
, причем вектор начальной
скорости
перпендикулярен им обоим
0
(рис. 25). Как будет выглядеть траектория движения частицы?
Рис. 25
Решение:
Движение частицы в электрическом поле определяется силой
FF
m Е
.
.
В этом случае электрическая и магнитная силы во все время дви-
жения частицы ориентированы в плоскости XY.
Магнитная составляющая силы Лоренца
частицы
этому
в данном случае являются
нельзя разделить на два независимых уравнения:
, а скорость зависит от электрической составляющей
электрическая и магнитная составляющие силы Лоренца
зависимыми, и уравнение динамики
ma F F
одно с электрической
а)
другое с магнитной силой
б)
m Е
, или
;
Е
ma qE q B
.
m
Поэтому движение частицы в этом случае нельзя представить со-
вокупностью независимых движений в полях
Расчет движения частицы в скрещенных полях
казывает, что частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной
B
, а сама эта окружность перемещается в направлении
зависит от скорости
m
E
B
и
.
E
и
. По-
Е
B
B
по-
,EB
(рис. 26). Когда частица движется против поля (а b), то она тормо-
зится, теряет скорость, поэтому поле сильно искривляет ее траекторию
39
E
F
B
B
F
E
R
(обл. b); когда частица движется в направлении поля (b c), то она
набирает скорость и поле искривляет ее траекторию слабее (обл. с).
В результате получается «дрейф» в направлении оси 𝑥.
Рис. 26
Задача 15. Электрон влетает в однородное
электрическое поле с напряженностью
и однородное магнитное поле с индукцией
(причем
B
) со скоростью
, и движется
0
E
B
вдоль силовых линий (рис. 27). Определить касательное
электрона.
и нормальное
a
ускорения
a
n
Рис. 27
Решение:
Движение электрона в электрическом поле описывается силой Лоренца
FF
m Е
,
или в скалярном виде
Поскольку скорость электрона направлена вдоль линий индукции маг-
нитного поля (т. е.
), то
силы Лоренца на электрон не действует, т. е.
F
m
.
sin( ^ ) cosFqB B qE
sin ^ 0
и магнитная составляющая
.
0
Остается электрическая составляющая силы Лоренца, т. е.
FqE
Е
.
Эта сила сообщает электрону ускорение, направленное против поля
Движение электрона прямолинейное и равнозамедленное, и поэтому:
aaa
22
a
n
40
;
n
2
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]