Вариант 7.

1. В библиотеку поступило 40 учебников, из них 3 с поврежденными переплетами. Какова вероятность того, что среди двух наудачу взятых учебников окажется ровно 1 с поврежденным переплетом?

2. Бросают 3 монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет «герб».

3. Слово «АРИФМЕТИКА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) АРИФМЕТИКА, б) РИФМА.

4. В урне содержится 6 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.

Найти вероятность того, что среди них:

а) 4 белых шара;

б) менее четырех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,1. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 5 раз в серии из 7 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 250 и не более 280 раз в серии из 530

независимых испытаний.

6. При контролируемом производственном процессе доля брака равна 0,02. При обнаружении в партии из 150 изделий более 5 бракованных вся партия задерживается. Найти вероятность того, что партия будет принята.

7. В первой урне 5 белых и 8 черных шаров, а во второй – 7 белых и 5 черных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй – 1 шар. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров два белых шара.

8. По объекту производятся 3 одиночных независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем – 0,7. для вывода объекта из строя достаточно трех попаданий. При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6, при одном – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.

9. Стержень длины L произвольным образом разломлен на три части. Какова вероятность того,

что из этих частей можно составить треугольник?

_{10. Дан закон распределения случайной величины X :}

X	2	2,4	3	3,5
p	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти функцию распределения

^F ₍ ^x ₎ ^{, значение F (2,4). Вычислить вероятность того, что X}

^{примет значение из интервала (0; 2,4). Построить многоугольник распределения.}

_{11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :}

⎧ ^{0, x < 2}

_⎪

_{F (x) =} ^{⎪0,3, 2 ≤ x < 3}

⎨

_⎪^{0,5, 3 ≤ x < 4}

_⎩^{⎪ 1, x ≥ 4.}

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

_{12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:}

X	115	125	135	145	155
p	0,12	0,08	0,02	0,18	0,6

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение.

13. На пути движения автомобиля 4 светофора. Каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найти закон распределения числа пройденных автомобилем светофоров до первой остановки. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

14. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей 0,997 можно было утверждать, что частота выпадения герба будет между 0,499 и 0,501?

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,001.

Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдет:

а) ровно 2 неправильных соединения;

б) больше двух неправильных соединений.

_{16. Случайная величина X задана функцией распределения}

⎧ _0,

_⎪

x

^{p(x) =} _⎨ ^,

_⎪ ⁹

^{x < 0}

^{0 ≤ x < 18}

^⎪_⎩ ^{0, x ≥}

18.

Найти функцию распределения

F ₍ x ₎

случайной величины X . Построить графики

функций

_{p ( x ) и}

_{F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое}

ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

_{17. Случайная величина Х задана функцией распределения}

_{⎧ 0,}

_{x < 2}

^{F (x ) = ⎪a ⋅(x − 1),}

⎨

_⎪

^{2 ≤ x < 4}

Найти а) параметр a ;

б) плотность распределения

^⎩

_{p ( x ) ;}

^{1, x ≥ 4.}

_{в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X}

^{примет значение из интервала (1; 3) ;}

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 120 независимых испытаний случайная величина X примет 80 раз значение из указанного интервала.

^{18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1; 5]. Найти выражения для}

плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить

математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,4. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .