Вариант 10.

1. В группе из 20 студентов, среди которых 12 девушек, приобрели 8 билетов в театр. Найти вероятность того, что билеты достанутся 4 девушкам и 4 юношам.

2. Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится «герб».

3. Слово «СЕМЕСТР» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) СЕМЕСТР, б) МЕТР.

4. В урне содержится 7 черных и 4 белых шара. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:

а) 3 белых шара;

б) менее двух белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,32. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 2 раза в серии из 5 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 90 и не более 150 раз в серии из 250 независимых испытаний.

6. Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 1000 семян пшеницы среди них окажется ровно 6 семян сорняков.

7. В первой урне 6 белых и 6 черных шаров, а во второй – 5 белых и 5 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй – 1 шар. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы 3 белых шара.

8. Стрельба производится по трем мишеням первого типа, четырем мишеням второго типа и по двум мишеням третьего типа. Вероятность попадания в мишень первого типа равна 0,4, второго – 0,1, третьего – 0,15. Какова вероятность поражения мишени при одном выстреле?

9. В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу брошена точка

K ₍a, b ₎ . Найти

_{вероятность того, что корни уравнения}

_x² _{+ ax + b = 0}

_{действительны.}

_{10. Дан закон распределения случайной величины X :}

X	–0,2	0	0,2	0,3
p	0,3	0,1	0,3	0,3

Найти функцию распределения

^F ₍ ^x ₎ ^{, значение}

^F ₍^{0, 3}₎ ^{. Вычислить вероятность того, что}

^{X примет значение из интервала (0; 0, 3) . Построить многоугольник распределения.}

_{11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :}

⎧ ^{0, x < 0}

_⎪

^F ( ^x ) ^{= ⎪0, 3, 0 ≤ x < 1}

^⎨_{0, 6, 1 ≤ x < 2}

_⎪

_⎩^{⎪ 1,}

^{x ≥ 2.}

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

X	180	200	220	240	260
p	0,14	0,2	0,32	0,1	0,24

отклонение.

13. Рабочий обслуживает 3 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго –

0,8, для третьего – 0,7. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые потребуют внимания рабочего.

14. Вероятность наличия трещины на металлических заготовках равна 0,2. Оценить вероятность того, что в партии из 500 заготовок отклонение числа пригодных заготовок от

400 не превышает 6%.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,02. Найти на вероятность того, что среди 150 соединений произойдет:

а) хотя бы 4 неправильных соединения;

б) больше двух неправильных соединений.

_{16. Случайная величина X задана функцией распределения}

⎧ _0,

_⎪

^{x < 0}

_{p ( x ) =} ^{⎪ x} _{, 0 ≤ x < 24}

⎨

_⎪¹²

_⎩^{⎪ 0, x ≥}

24.

Найти функцию распределения

F ₍ x ₎

случайной величины X . Построить графики

функций

_{p ( x ) и}

_{F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое}

ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

_{17. Случайная величина Х задана функцией распределения}

_{⎧ 0,}

_{x < 0}

_{F ( x ) =} ^⎪_{a ⋅(x}² _{+ x ), 0 ≤ x < 2}

⎨

Найти а) параметр a ;

б) плотность распределения

⎪

^⎩

_{p ( x ) ;}

^{1, x ≥ 2.}

в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X

^{примет значение из интервала (1; 3) ;}

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 640 независимых испытаний случайная величина X примет 170 раз значение из указанного интервала.

^{18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [5; 11, 2]. Найти выражения}

для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,3. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами

Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка[3; 30] ;

б) меньшее 17;

^{a = 15}

^{и σ = 10 .}

в) большее 25;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 9.

21. Средний диаметр детали равен 6см, а дисперсия равна 0,0004см². Определить максимальное отклонение размера диаметра наудачу взятой детали от среднего размера, которое можно гарантировать с вероятностью 0,9973.

22. По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости}

_{α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о распределении}

_{Пуассона соответствующей генеральной совокупности.}

Выборка А:
	2	1	2	3	1	1
	0	2	2	4	3	3
	0	3	0	2	3	0
	2	3	0	2	3	3
	4	4	1	4	0	0
	0	0	0	2	2	3
	2	1	0	0	0	3
	1	3	1	0	1	3
	2	0	0	1	1	3
	0	0	3	1	3	4

23. По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости}

_{α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о нормальном}

распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

56	76	65	66	76	66	89	48
62	50	47	55	67	51	73	75
61	88	46	57	65	60	69	68
65	34	77	63	57	61	42	85
49	62	65	75	56	66	92	60
43	52	80	68	42	87	81	67
65	81	90	38	58	60	79	58
77	73	54	58	77	86	52	61
42	61	70	53	64	65	76	88
59	62	67	62	90	80	72	58