Вариант 3

1. Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношенных. При включении устойства случайным образом начинают работать 2 элемента. найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

2. Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что на двух из них появится герб.

3. Слово «ПРОЦЕДУРА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) ПРОЦЕДУРА, б) ЦЕДРА.

4. В урне содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.

Найти вероятность того, что среди них:

а) 3 белых шара;

б) менее трех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,45. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 4 раза в серии из 7 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 200 и не более 290 раз в серии из 500

независимых испытаний.

6. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. какова вероятность того, что некто, приобретя 8 облигаций, выиграет по шести из них.

7. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, а во второй – 6 белых и 3 черных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара, а из второй 1 шар. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы 1 белый шар.

8. Прибор может работать в трех режимах: нормальном, форсированном и недогруженном.

Нормальный режим наблюдается в 60% случаев работы прибора, форсированный – в 30% и недогруженный – в 10%. Надежность прибора в нормальном режиме равна 0,8, в форсированном – 0,5, в недогруженном – 0,9. Найти вероятность надежной работы прибора.

9. Взяты наугад 2 положительных числа, каждое из которых не больше 1. Какова вероятность того, что их сумма не более 1, а произведение не более ² ?

⁹

_{10. Дан закон распределения случайной величины X :}

X	−0, 3	0	0,1	1
p	0,3	0,1	0,4	0,2

Найти функцию распределения

^F ₍ ^x ₎ ^{, значение}

^F ₍⁰₎ ^{. Вычислить вероятность того, что}

^{X примет значение из интервала (0;1) . Построить многоугольник распределения.}

_{11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :}

⎧ ^{0, x < 0}

_⎪

^F ( ^x ) ^{= ⎪0, 3, 0 ≤ x < 2}

^⎨_{0, 6, 2 ≤ x < 5}

_⎪

_⎩^{⎪ 1,}

^{x ≥ 5.}

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

_{12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:}

X	90	93	96	99	102
p	0,15	0,3	0,05	0,2	0,3

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

13. В студии имеются 3 видеокамеры, работающие независимо друг от друга. Для каждой камеры вероятность включения в определенный момент времени равна 0,6. Составить закон распределения числа включенных в данный момент видеокамер. вычислить математическое ожидание и центральные моменты 2-го и 3-го порядков.

14. В результате независимых опытов найдены 200 значений случайной величины, у которой математическое ожидание равно 4, а дисперсия равна 2. Оценить снизу вероятность того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим найденных значений и математическим ожиданием этой случайной величины меньше0,2.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:

а) ровно 5 неправильных соединения;

б) больше двух неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения

⎧ _{0, x < 0}

_⎪

^{p ( x ) = ⎪ x , 0 ≤ x < 10}

^⎨ ₅

⎪

^⎪_⎩ ^{0, x ≥}

10.

Найти функцию распределения

F ₍ x ₎

случайной величины X . Построить графики

функций

_{p ( x ) и}

_{F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое}

ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

_{17. Случайная величина X задана функцией распределения}

_{⎧ 0, x < 2}

_{F ( x ) =} ^⎪_{a ( x − 2)}² _{, 2 ≤ x < 4}

_⎨

Найти а) параметр a ;

б) плотность распределения

^⎪

^⎩

_{p ( x ) ;}

^{1, x ≥ 4.}

в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X

^{примет значение из интервала (3; 3, 5) ;}

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 100 независимых испытаний случайная

величина X примет 40 раз значение из интервала (3; 3,5) .

18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке _[1, 7; 5, 9_]. Найти выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 4,3. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами

Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка [2; 26];

б) меньшее 12;

_{в) большее 16;}

^{a = 8}

^{и σ = 6 .}

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 10.

21. Диаметр изготовляемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 4,5см и средним квадратическим отклонением 0,005см.Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 1мм.

22. По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости}

_{α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о распределении}

Пуассона соответствующей генеральной совокупности.

_{Выборка А:}

7 4 6 1 4 2

4 6 5 3 2 9

0 5 6 7 7 3

5 1 2 4 2 6

1 3 3 1 5 6

4 4 5 3 1 2

3 7 4 5 6 7

5 4 2 4 3 4

7 3 6 4 2 1

7 7 5 4 3 1

23. По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон частот и гистограмму;

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости}

_{α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о нормальном}

распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

96	103	89	72	105	85	85	91
85	91	87	101	94	98	85	82
94	86	72	83	100	86	85	95
95	83	92	83	100	87	104	104
92	101	101	97	98	87	72	86
88	85	83	96	99	78	74	89
88	78	95	75	97	74	100	105
79	106	92	94	99	84	79	74
102	78	76	102	103	89	87	88
95	94	89	98	101	100	84	86