Вариант 6.

1. В магазин поступило 40 телевизоров, причем 15 из них фирмы «LG». Найти вероятность того, что среди пяти проданных телевизоров 3 окажутся фирмы «LG».

2. Бросают 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех верхних гранях выпадут нечетные числа.

3. Слово «КАЛЬКУЛЯТОР» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) КАЛЬКУЛЯТОР, б) КУЛАК.

4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.

Найти вероятность того, что среди них:

а) 3 белых шара;

б) менее трех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,1. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 5 раз в серии из 7 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 150 и не более 170 раз в серии из 530 независимых испытаний.

6. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти вероятность того, что среди

1000 изделий ровно 40 бракованных.

7. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй – 6 белых и 4 черных шара. Из первой и второй урн случайным образом вынимают по 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров три белых шара.

8. В первой бригаде 5 рабочих имеют рабочий одного до трех лет., 7 рабочих – от трех до пяти лет и 4 рабочих – свыше пяти лет. Во второй бригаде 6 рабочих имеют рабочий одного до трех лет., 3 рабочих – от трех до пяти лет и 5 рабочих – свыше пяти лет. Из первой бригады во вторую переведен один рабочий. Найти вероятность того, что рабочий, наудачу взятый из нового состава второй бригады, имеет стаж менее 5 лет.

9. На плоскости начерчены 2 концентрические окружности, радиусы которых 6см и 12см соответственно. Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями.

_{10. Дан закон распределения случайной величины X :}

X	0	2	3	4
p	0,2	0,2	0,3	0,3

Найти функцию распределения

^F ₍ ^x ₎ ^{, значение}

^F ₍⁴₎ ^{. Вычислить вероятность того, что X}

^{примет значение из интервала (0; 3). Построить многоугольник распределения.}

_{11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :}

⎧ ^{0, x < 0}

_⎪

^F ( ^x ) ^{= ⎪0, 3, 0 ≤ x < 2}

^⎨_{0, 6, 2 ≤ x < 3}

_⎪

_⎩^{⎪ 1,}

^{x ≥ 3}

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

_{12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:}

X	90	96	102	108	114
p	0,05	0,15	0,2	0,1	0,5

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение.

13. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. вероятность отказа каждого элемента в отдельном опыте равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших элементов в данном опыте. Вычислить начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно.

14. Вероятность положительного исхода отдельного испытания равна 0,8. оценить вероятность того, что при 1000 независимых испытаний отклонение частоты положительных исходов от вероятности по абсолютной величине будет меньше 0,05.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002.

Найти вероятность того, что среди 300 соединений произойдет:

а) ровно 4 неправильных соединения;

б) больше двух неправильных соединений.

_{16. Случайная величина X задана функцией распределения}

⎧ ^0,

_⎪

^{x < 0}

^{p ( x ) = ⎪ x , 0 ≤ x < 4}

^⎨ ₈

_⎪

^⎪_⎩ ^0,

^{x ≥ 4.}

Найти функцию распределения

F ₍ x ₎

случайной величины X . Построить графики

функций

_{p ( x ) и}

_{F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое}

ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

_{17. Случайная величина Х задана функцией распределения}

_{⎧ 0,}

_{x < 0}

_{F ( x ) =} ^⎪_{a ⋅ x, 0 ≤ x < 4}

⎨

⎪

Найти а) параметр a ;

б) плотность распределения

^{⎩ 1,}

_{p ( x ) ;}

^{x ≥ 4.}

в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X

^{примет значение из интервала (2; 5) ;}

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 500 независимых испытаний случайная величина X примет 220 раз значение из указанного интервала.

^{18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1, 2; 7, 4]. Найти выражения}

для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 1,2. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами

Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка[0;30];

б) меньшее 15;

_{в) большее 10;}

^{a = 12}

^{и σ = 10 .}

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 8.

21. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами

M ₍ X ₎ = 10 и

^{D ( X ) = 25 . Найти вероятность того, что отклонение значений этой случайной величины}

от математического ожидания не превзойдет по абсолютной величине 2.

22. По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о распределении Пуассона}

соответствующей генеральной совокупности.

_{Выборка А:}

2	2	1	3	4	2
1	1	3	3	4	3
2	4	2	1	4	3
1	4	0	4	2	3
4	3	7	1	3	3
3	4	3	2	1	2
3	3	1	4	2	3
0	5	2	3	1	4
0	3	3	4	3	1
3	2	5	4	3	1

23. По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости}

_{α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о нормальном}

распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

61	59	60	50	58	71	57	61
55	75	68	65	64	63	68	60
66	52	70	69	62	58	56	54
54	69	72	62	63	56	59	67
62	64	68	68	71	67	69	56
62	60	62	65	72	65	67	64
59	59	67	68	72	74	69	60
69	61	64	67	62	65	69	67
71	71	61	63	61	62	64	68
62	64	62	68	64	63	62	61