Вариант 4.

1. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.

2. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся одно четное и одно нечетное число очков.

3. Слово «АЛГОРИТМ» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) АЛГОРИТМ, б) ГОРА.

4. В урне содержится 7 черных и 4 белых шара. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:

а) 2 белых шара;

б) менее двух белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,7. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;

б) событие А наступит ровно 2 раза в серии из 500 независимых испытаний.

в) событие А наступит не менее 160 и не более 180 раз в серии из 250

независимых испытаний.

6. В мастерской имеется 12 моторов. При определенном режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.

7. В первой урне 5 белых и 4 черных шара, а во второй – 7 белых и 4 черных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 1 шар, а из второй – 4 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только 3 белых шара.

8. Имеются 2 партии изделий. В первой партии 8 изделий, а во второй – 6 изделий. В каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое из первой партии, переложили во вторую партию, после чего взяли изделие из второй партии. Найти вероятность того, что изделие, выбранное из второй партии, бракованное.

9. В шар вписан правильный тетраэдр. В шаре наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что эта точка окажется в тетраэдре?

10. Дан закон распределения случайной величины X :

X	0	2	4	6
p	0,1	0,1	0,2	0,6

Найти функцию распределения

^F ₍ ^x ₎ ^{, значение}

^F ₍⁰₎ ^{. Вычислить вероятность того, что}

^{X примет значение из интервала (0; 4). Построить многоугольник распределения.}

_{11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :}

⎧ ^0,

_⎪

^{x < 0}

_{F (x) =} ^{⎪0,4, 0 ≤ x < 2}

⎨

_⎪^{0,5, 2 ≤ x < 4}

_⎩^{⎪ 1,}

^{x ≥ 4.}

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

_{12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:}

X	140	160	180	200	220
p	0,1	0,15	0,25	0,35	0,15

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение.

13. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки качества выпускаемых изделий ОТК берет из партии не более 4-х изделий. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Написать закон распределения числа изделий, проверяемых ОТК в каждой партии. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

14. Всхожесть семян кукурузы в некоторых условиях равна 90%. Найти границы для частоты взошедших семян из 900 посеянных, если эти границы надо гарантировать с вероятностью не меньшей 0,99.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002.

Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдет:

а) ровно 2 неправильных соединения;

б) больше четырех неправильных соединений.

_{16. Случайная величина X задана функцией распределения}

⎧ _0,

_⎪

x

^{p(x) =} _⎨ ^,

_⎪ ⁶

^{x < 0}

^{0 ≤ x < 12}

^⎪_⎩ ^{0, x ≥}

12.

Найти функцию распределения

F ₍ x ₎

случайной величины X . Построить графики

функций

_{p ( x ) и}

_{F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое}

ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

_{17. Случайная величина Х задана функцией распределения}

_{⎧ 0,}

_{x < 0}

^{F (x) = ⎪a ⋅ arctg x,}

⎨

_⎪

^{0 ≤ x < 1}

Найти а) параметр a ;

б) плотность распределения

^⎩

_{p ( x ) ;}

^{1, x ≥ 1.}

_{в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X}

_⎛

^{примет значение из интервала ⎜}

⎜

⎝

_{3 ⎞}

; 1^⎟ ;

⎟

³ _⎠

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 450 независимых испытаний случайная величина X примет 160 раз значение из указанного интервала.

^{18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,3; 5,3]. Найти выражения}

для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 5,4. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами

Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка [2; 26];

б) меньшее 8;

_{в) большее 15;}

^{a = 12}

^{и σ = 8 .}

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 11.

21. Размер диаметра детали, выпускаемой предприятием, распределен по нормальному закону с математическим ожиданием 5см и дисперсией 0,81см. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отклонится от математического ожидания не более чем на

2см.

22. По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о распределении Пуассона}

соответствующей генеральной совокупности.

_{Выборка А:}

0	0	2	0	1	3
0	1	0	1	2	1
3	0	0	2	1	3
2	2	1	3	3	2
0	2	4	3	2	1
3	3	1	1	1	3
2	1	0	1	2	1
2	2	2	2	5	5
2	3	2	5	0	3
2	1	4	3	5	2

23 По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости}

_{α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о нормальном}

распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

–29	–22	–16	–20	–16	–18	–28	–20
–32	–22	–23	–26	–10	–25	–25	–29
–29	–19	–12	–26	–18	–20	–19	–24
–20	–20	–19	–26	–23	–11	–26	–30
–23	–30	–18	–20	–13	–17	–24	–28
–26	–21	–21	–26	–24	–25	–35	–23
–24	–25	–20	–23	–17	–11	–22	–19
–19	–25	–29	–23	–16	–25	–15	–18
–17	–19	–21	–12	–24	–30	–13	–33
–22	–32	–19	–18	–23	–27	–32	–34