20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами

_{Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:}

^{a. из отрезка [15; 25];}

b. меньше 25;

_{c. больше 15;}

^{a = 30,}

^{σ = 5 .}

d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 4.

21. Станок-автомат изготавливает валики. Считается, что их диаметр – нормально распределённая случайная величина со средним значением 10мм. Чему равно среднее квадратичное отклонение, если с вероятностью 0,99 диаметр заключён в интервале от

9,7мм до 10,3мм.

22. По выборке а решить следующие задачи:

a. составить вариационный ряд;

b. вычислить относительные и накопленные частоты;

c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;

d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее и выборочную дисперсию, стандартное выборочное отклонение, моду, медиану.

_{e. при уровне значимости}

_{α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона}

_{соответствующей генеральной совокупности;}

Выборка А:	6	9	7	6	4	4
	9	6	7	8	8	3
	7	5	2	3	4	5
	2	8	6	8	3	2
	5	3	3	4	4	5
	10	12	6	3	4	8
	6	6	6	5	4	5
	7	7	8	2	9	6
	6	5	4	6	2	3
	4	11	4	8	3	6

23. По выборке В решить следующие задачи:

a. составить группированный вариационный ряд;

b. построить гистограмму и полигон частот;

c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее,

выборочную дисперсию, стандартное выборочное отклонение, моду и медиану.

^{d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении}

соответствующей генеральной совокупности;

Выборка В:	55	72	54	53	64	53	59	48
	42	46	50	63	71	56	54	59
	54	44	50	43	51	52	60	43
	50	70	68	59	53	58	62	49
	59	51	52	47	57	71	60	46
	55	58	72	47	60	65	63	63
	58	56	55	51	64	54	54	63
	56	44	73	41	68	54	48	52
	52	50	55	49	71	67	58	46
	50	51	72	63	64	48	47	55

Вариант 17.

1. Среди 35 деталей 7 нестандартных. Найти вероятность того, что две наудачу взятые детали окажутся стандартными.

2. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях кратна 9.

3. Слово «ПРИКЛЮЧЕНИЕ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы в порядке появления образуют слово: а) ПРИКЛЮЧЕНИЕ; б) ПЛЕН.

4. В урне содержится 6 чёрных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.

Найти вероятность того, что среди них имеются:

a. 2 белых шара;

b. меньше чем 2 белых шара;

c. хотя бы один чёрный шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,4. Найти вероятности следующих событий:

a. событие А появится 3 раза в серии из 7 независимых испытаний;

b. событие А появится не менее 220 и не более 235 раз в серии из 400 испытаний.

6. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более 3 изделий.

7. В первой урне 4 белых и 9 чёрных шаров, а во второй урне 7 белых и 3 чёрных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара, а из второй урны – 4. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.

8. На склад поступают изделия трёх фабрик. Продукция первой фабрики составляет 70% всех изделий, второй – 20%, третьей – 10%. Известно, что средний процент нестандартных изделий первой фабрики равен 1%, второй – 2%, третьей – 3%. Взятое на складе наугад изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что оно изготовлено на третьей фабрике.

_{9. На плоскости область G ограничена эллипсом}

_x² _y ²

_{+ = 1 , а область g – этим эллипсом и}

_x² _y ²

49 25

эллипсом

+ = 1. В область G брошена точка. Какова вероятность того, что эта

^{9 4}

точка попадёт в область g?

_{10. Дан закон распределения случайной величины Х:}

Х	0	1	2	3
p	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(3); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала (–1; 2). Построить многоугольник распределения.

_{11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:}

_{⎧ 0,}

_{x < −2,}

^⎪_{0, 5,}

⎪

^{F ( x) =}

^⎨_{0, 7,}

_⎪

^{− 2 ≤ x < −1,}

^{−1 ≤ x < 1,}

^{⎩⎪ 1,}

^{x ≥ 1.}

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

_{12. Дан закон распределения случайной величины Х:}

Х	32	35	38	41	44
Р	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

13. В коробке лежат 10 карандашей. Наудачу извлекается 4 карандаша. Случайная величина Х – число синих карандашей среди отобранных. Найти закон её распределения, начальный и центральные моменты 2-го и 3-го порядков.

14. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено количество бракованных изделий среди проверенных.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,003.

Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдёт:

a. хотя бы 4 неправильных соединения;

b. более двух неправильных соединений.

_{16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:}

⎧ _0,

_⎪

^{x < 0,}

p( x) = ^{⎪ x}

^⎨ ₂₀

_⎪

^{, 0 ≤ x <}

40 ,

^⎪_⎩ ^0,

^{x ≥ 40.}

_{Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций}

_{p(x) и}

_{F (x). Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану}

случайной величины Х.

_{17. Случайная величина задана функцией распределения:}

⎧ ^0,

_⎪

^{x < −1,}

_{F ( x) = ⎪a + arcsin x ,}

_{−1 ≤ x < 1,}

Найти:

a. параметр a

b. плотность распределения

^⎨

^⎪

^⎪⎩

_p(x);

^π

^{1, x ≥ 1.}

_{c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х}

_{⎛ 1 3 ⎞}

_{примет значения из интервала ; ;}

_{⎜ 2 2 ⎟}

^{⎝ ⎠}

d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

e. вероятность того, что в результате 100 независимых испытаний случайная величина Х примет 20 раз значения из указанного интервала.