Вариант 13.

1. Среди 15 участников международной конференции английский язык знают 10. Найти вероятность того, что среди наудачу отобранных 5 участников английский язык знают 3.

2. Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на одной монете появится

«герб».

3. Слово «ПОПУЛЯРНОСТЬ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы в порядке появления образуют слово:

а) ПОПУЛЯРНОСТЬ; б) ПОСОЛ.

4. В урне содержится 4 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.

Найти вероятность того, что среди них имеются:

a. 3 белых шара;

b. меньше чем 3 белых шара;

c. хотя бы один чёрный шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,3. Найти вероятности следующих событий:

a. событие А появится 4 раза в серии из 8 испытаний;

b. событие А появится не менее 90 и не более 140 раз в серии из 200 испытаний.

6. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10

посеянных семян взойдут не менее трёх?

7. В первой урне 3 белых и 7 чёрных шаров, а во второй урне 4 белых и 6 чёрных шаров. Из первой и второй урн случайным образом вынимают по три шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только два шара белого цвета.

8. В вычислительном центре имеется 3 больших и 10 малых ЭВМ. Вероятность того, что большая ЭВМ не выйдет из строя, равна 0,9, для малой ЭВМ эта вероятность равна 0,7. На случайно выбранной машине производится расчёт. Найти вероятность ее выхода из строя.

9. На отрезок единичной длины бросают две точки. Они разбивают отрезок на три части.

Какова вероятность того, что из полученных отрезков можно сложить треугольник?

_{10. Дан закон распределения случайной величины Х:}

Найти функцию распределения

_{F (X ); значение F(0,5); вероятность того, что случайная}

^{величина Х примет значения из отрезка [0, 1]. Построить многоугольник распределения.}

Х	–0,5	0	0,5	1
p	0,1	0,4	0,3	0,2

_{11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:}

_{⎧ 0,}

_{x < 1,}

^⎪ _{0, 3, 1 ≤ x < 5,}

_{F ( x) =} ^⎪

^{⎨0, 7, 5 ≤ x < 6,}

⎪

_⎩^{⎪ 1,}

^{x ≥ 6.}

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

_{12. Дан закон распределения случайной величины Х:}

Х	32	37	42	47	52
p	0,25	0,15	0,45	0,05	0,1

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

13. Вероятность того, что в библиотеке есть необходимая студенту книга, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

14. Сколько раз нужно измерить данную величину, истинное значение которой равно А, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое значение этих измерений отличается от А по абсолютной величине меньше чем на 1, если среднее квадратичное отклонение каждого из измерений меньше 7?

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,004. Найти вероятность того, что среди 200 соединений произойдёт:

a. хотя бы три неправильных соединения;

b. более трёх неправильных соединений.

_{16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:}

⎧ _0,

_⎪

^{x < 0,}

_{p( x) = ⎪}

_{x , 0 ≤ x <}

_{30 ,}

^⎨ ₁₅

⎪

_⎩^{⎪ 0,}

^{x ≥ 30.}

Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций р(х) и F(x). Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.

_{17. Случайная величина задана функцией распределения:}

_{⎧ 0,}

⎪

_{x < 1,}

_{F ( x) = ⎨a ⋅ (x}² _{− x ), 1 ≤ x < 2,}

Найти:

⎪

^⎩

a. параметр a

_{b. плотность распределения р(х)}

^{1, x ≥ 2.}

c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х

примет значения из интервала (0,5; 1,5),

d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х

e. вероятность того, что в результате 800 независимых испытаний случайная величина Х примет 330 раз значения из интервала (0,5; 1,5)

_{18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [0,2; 3,4]. Записать функции}

плотности распределения

_{p(x)и распределения}

_{F (x). Вычислить математическое ожидание}

и дисперсию случайной величины Х.

_{19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 5,2. Записать}

_p(x)

и построить её график. Найти функцию распределения

_{F (x)}

и построить её график.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами

Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значение:

^{a. из отрезка [0; 10 ] ;}

b. меньше 7;

_{c. больше 1;}

a = 4,

σ = 3 .

d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 4.

21. Ведётся артиллерийская стрельба по цели из одного орудия. Средняя дальность полёта снаряда – 1200м. Определить, какой процент выпущенных снарядов даст перелёт от 0 до

60метров, если дальность полёта снаряда – случайная величина, распределённая по нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 40 м.

22. По выборке А решить следующие задачи:

a. составить вариационный ряд;

b. вычислить относительные и накопленные частоты;

c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;

d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

^{• выборочную среднюю;}

^{• выборочную дисперсию;}

^{• стандартное выборочное отклонение;}

• моду и медиану;

_{e. при уровне значимости}

_{α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона}

_{соответствующей генеральной совокупности;}

Выборка А:	4	3	3	8	5	7
	5	4	7	9	6	3
	7	5	2	3	4	5
	1	5	4	4	4	5
	5	3	3	4	4	5
	3	7	2	4	4	5
	6	6	6	5	4	5
	7	3	5	4	5	2
	6	5	4	6	2	3
	4	4	5	7	6	3

23. По выборке В решить следующие задачи:

a. составить группированный вариационный ряд;

b. построить гистограмму и полигон частот;

c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

^{• выборочную среднюю;}

^{• выборочную дисперсию;}

^{• стандартное выборочное отклонение;}

^{• моду и медиану;}

^{d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении}

соответствующей генеральной совокупности;

Выборка В:	78	54	37	65	63	51	61	48
	80	90	74	67	69	61	69	57
	89	96	73	69	51	52	60	68
	50	70	88	69	83	95	92	49
	68	62	77	87	67	63	87	91
	80	70	83	60	84	83	76	62
	58	56	55	51	64	80	54	63
	56	44	70	38	68	44	70	52
	79	72	62	64	68	69	76	77
	77	74	81	73	75	77	47	49