Вариант 12.

1. В урне содержится 15 шаров, из которых 12 черного цвета, остальные – белого. Найти вероятность того, что из 5 наудачу извлеченных из урны шаров 2 окажутся черного цвета и 3 – белого.

2. Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что только на трех монетах появится «герб».

3. Слово «ПЕДАГОГИКА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) ПЕДАГОГИКА, б) ГОД.

4. В урне содержится 6 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.

Найти вероятность того, что среди них:

а) 3 белых шара;

б) менее трех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,7. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;

б) событие А наступит 115 раз в серии из 432 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 480 и не более 520 раз в серии из 756

независимых испытаний.

6. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит менее трех неправильных книг.

7. В первой урне 4 белых и 3 черных шара, а во второй – 7 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 1 шар, а из второй – 4 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары белые.

8. Имеются 2 партии деталей: в первой 10 штук, а во второй 20штук. В каждой партии по 2 бракованных детали. Из первой партии во вторую переложили 3 детали, после чего из второй партии выбрали одну деталь. Какова вероятность того, что извлеченная деталь бракована?

9. В прямоугольник с вершинами ₍−1; 0₎, ₍−1; 5₎, ₍4; 5₎, ₍4; 0₎

брошена точка. какова

_{вероятность того, что ее координаты ( x; y ) удовлетворяют неравенствам}

_x² _{+1 ≤ y ≤ x + 3 ?}

_{10. Дан закон распределения случайной величины X :}

X	–2	–1	1	1,5
p	0,4	0,1	0,2	0,3

Найти функцию распределения

^F ₍ ^x ₎ ^{, значение}

^F ₍¹₎ ^{. Вычислить вероятность того, что X}

^{примет значение из интервала (−2; 1) . Построить многоугольник распределения.}

_{11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :}

⎧

_⎪

_{F ( x ) = ⎪}

^{0, x < −3}

_{0, 2, − 3 ≤ x < 2}

^{⎨0, 25, 2 ≤ x < 7}

⎪

_⎩^{⎪ 1,}

^{x ≥ 7.}

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

_{12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:}

X	15	25	35	45	55
p	0,12	0,18	0,38	0,02	0,3

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение.

13. В магазин поступила партия авторучек. Вероятность повреждения в пути равна 0,06. Из партии берут авторучку и проверяют ее качество. Если ручка повреждена, то проверку прекращают, а партию возвращают обратно. Если же авторучка без повреждений, то берут следующую и т.д., но всего проверяют не более 5 ручек. Найти закон распределения, математическое ожидание дисперсию числа проверенных ручек.

14. Вероятность опоздания пассажира на поезд равна 0,003. Оценить вероятность того, что из

10000 пассажиров окажется от 200 до 250 опоздавших.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,003.

Найти на вероятность того, что среди 1200 соединений произойдет:

а) хотя бы 3 неправильных соединения;

б) больше трех неправильных соединений.

_{16. Случайная величина X задана функцией распределения}

⎧ _0,

_⎪

^{x < 0}

^p ( ^x ) ^{= ⎪ x}

^⎨ ₂₄

⎪

^{, 0 ≤ x < 48}

_⎩^{⎪ 0, x ≥}

48.

Найти функцию распределения

F ₍ x ₎

случайной величины X . Построить графики

функций

_{p ( x ) и}

_{F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое}

ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

_{17. Случайная величина Х задана функцией распределения}

_{⎧ 0,}

_{x < −1}

_{F ( x ) =} ^⎪_{a ⋅( x + 1)}² _{, −1 ≤ x < 1}

⎨

Найти а) параметр a ;

б) плотность распределения

^⎪

^⎩

_{p ( x ) ;}

^{1, x ≥ 1.}

в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X

^{примет значение из интервала (0; 2) ;}

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 200 независимых испытаний случайная величина X примет 50 раз значение из указанного интервала.

^{18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1, 5; 3, 5]. Найти выражения}

для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 0,1. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами

Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка[1;15] ;

б) меньшее 12;

_{в) большее 2;}

^{a = 7}

^{и σ = 5 .}

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 6.

13. Автомат штампует детали. Контролируется диаметр детали Х, который можно считать случайной величиной, распределенной нормально с математическим ожиданием 50см и дисперсией 3,6см. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали находится в пределах от 55см до 68см.

22. По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости}

_{α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о распределении}

Пуассона соответствующей генеральной совокупности.

_{Выборка А:}

5	5	4	5	9	5
7	4	4	6	6	5
4	6	7	6	7	7
6	7	7	8	6	8
6	9	4	5	6	7
6	8	9	5	3	8
4	9	4	6	6	2
8	7	7	8	4	3
6	6	8	2	3	6
7	9	3	4	7	9

23. По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости}

_{α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о нормальном}

распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

46	47	44	41	41	42	41	43
37	32	38	33	45	33	46	41
36	42	47	45	41	48	47	46
44	47	40	41	45	41	47	46
46	32	43	46	44	46	46	50
44	40	50	45	46	37	46	37
35	41	40	46	38	40	47	46
32	43	42	46	45	46	42	31
47	46	47	43	44	45	46	46
39	36	46	46	49	48	47	46