Вариант 11

1. В ящике 12 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали.

Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.

2. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков больше

15.

3. Слово «ПРОИЗВОДНАЯ» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) ПРОИЗВОДНАЯ, б) РОДНЯ.

4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.

Найти вероятность того, что среди них:

а) 3 белых шара;

б) менее двух белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,6. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 4 раза в серии из 8 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 280 и не более 320 раз в серии из 600

независимых испытаний.

6. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее 8 машин. В парке автобазы имеется 10 автомобилей. Вероятность невыхода каждой машины на линию равна

0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы.

7. В первой урне 6 белых и 7 черных шаров, а во второй – 5 белых и 4 черных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шар, а из второй – 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только 2 шара черного цвета.

8. В пирамиде 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, из винтовки без прицела – 0,7. Найти вероятность поражения мишени, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

_{9. На отрезке [0; 2]}

наудачу выбраны два числа x и y . Найти вероятность того, что они

_{удовлетворяют неравенствам}

_x² _{≤ 4 y ≤ 4x .}

_{10. Дан закон распределения случайной величины X :}

X	1	3	5	7
p	0,3	0,2	0,2	0,3

Найти функцию распределения

^F ₍ ^x ₎ ^{, значение}

^F ₍⁵₎ ^{. Вычислить вероятность того, что X}

^{примет значение из интервала (1; 5) . Построить многоугольник распределения.}

_{11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :}

_{⎧ 0, x < 2}

^{⎪0, 2, 2 ≤ x < 3}

⎪

^{F ( x ) = ⎨}_{0, 6, 3 ≤ x <} ⁷

⎪ ²

^⎪ _1,

⎩

^{x ≥ 7} ₂ ^.

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

_{12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:}

X	110	120	130	140	150
p	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

13. В лаборатории проводятся 3 независимых опыта. Вероятность появления события в каждом опыте равна 0,3. Опыты проводятся до первого наступления события. Найти закон распределения числа произведенных опытов. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества проведенных опытов.

14. Средняя длина детали равна 30см, а дисперсия 0,2. Пользуясь неравенством Чебышева оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 28,5см и не больше 31,5см.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,03. Найти на вероятность того, что среди 100 соединений произойдет:

а) хотя бы 4 неправильных соединения;

б) больше трех неправильных соединений.

_{16. Случайная величина X задана функцией распределения}

⎧ _0,

_⎪

^{x < 0}

_{p ( x ) =} ^{⎪ x} _{, 0 ≤ x < 26}

⎨

_⎪¹³

_⎩^{⎪ 0, x ≥}

26.

Найти функцию распределения

F ₍ x ₎

случайной величины X . Построить графики

функций

_{p ( x ) и}

_{F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое}

ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

_{17. Случайная величина Х задана функцией распределения}

⎧ ^0,

_⎪

^{x < 0}

^{F ( x ) = ⎪1 x + a, 0 ≤ x < 3}

^⎨₃

_⎪

Найти а) параметр a ;

б) плотность распределения

^⎪⎩

_{p ( x ) ;}

^{1, x ≥ 3.}

в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X

^{примет значение из интервала (0, 5; 2, 5) ;}

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 200 независимых испытаний случайная величина X примет 135 раз значения из указанного интервала.

^{18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1, 6; 4, 8]. Найти выражения}

для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 7. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами

Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка[2; 15] ;

б) меньшее 9;

_{в) большее -1;}

^{a = 4}

^{и σ = 5 .}

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 6.

21. Длина изготовленной автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 15см и дисперсией 0,2см. Какую точность длины детали, изготовленной этим автоматом, можно гарантировать в с вероятностью 0,97?

22. По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости}

_{α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о распределении}

_{Пуассона соответствующей генеральной совокупности.}

Выборка А:
	4	4	3	1	4	5
	5	3	0	2	5	6
	4	2	3	4	1	4
	2	4	4	1	3	1
	3	6	6	8	7	3
	1	2	4	5	9	2
	3	2	2	8	5	6
	6	4	5	2	2	5
	7	7	5	6	1	2
	3	9	3	5	5	7

23. По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости}

_{α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о нормальном}

распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

127	129	136	125	130	127	129	132
134	131	138	150	131	128	123	130
130	141	134	126	136	133	127	137
136	130	135	130	135	126	132	130
121	140	138	136	132	140	138	126
116	130	133	128	138	124	131	143
114	129	140	135	128	137	120	134
126	132	123	138	155	142	145	140
136	128	125	140	122	135	125	122
144	137	133	127	139	124	139	127