Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Физика. Математика. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Медицинский институт «РЕАВИЗ»

Кафедра естественнонаучных дисциплин

В.В. ГАЛАНИН

ФИЗИКА. МАТЕМАТИКА

Рекомендовано Учебно-методическим советом НОУ ВПО Медицинский институт «РЕАВИЗ» в качестве учебного пособия для студентов,

обучающихся по направлению подготовки (специальности) 31.05.03 «Стоматология»

САМАРА ИНСОМА-ПРЕСС

2014

УДК 53(075) + 51(075) Г 15

Рецензенты

доктор медицинских наук, профессор кафедры общественного здоровья и здравоохранения

НОУ ВПО Медицинский институт «РЕАВИЗ»

Юрий Леонидович Минаев

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики

ГБОУ ВПО Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Мария Вилевна Головкина

Галанин, В.В.

Г 15 Физика. Математика [Текст]: учебное пособие / В.В. Галанин. - Самара: НОУ ВПО МИ «РЕАВИЗ», 2014. – 126 с.

ISBN

В учебном пособии излагаются основные разделы учебной дисциплины «Физика. Математика» с целью помочь студентам медицинских вузов изучать курс физики и математики. Материал дисциплины разделен на отдельные модули (разделы). Каждый модуль содержит подробный, систематически изложенный теоретический материал. Для наглядности материал иллюстрируется большим количеством примеров и рисунков. В конце учебного пособия приведены задачи и тесты для самостоятельного решения. Учебное пособие снабженоглоссарием.

Учебное пособие подготовлено в соответствии с Федеральным государственным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки (специальности) «Стоматология», утвержденным приказом Министерства образования и науки РФ от 14 января 2011 № 16.

УДК 53(075) + 51(075)

ISBN	© НОУ ВПО МИ «РЕАВИЗ», 2014
	© В.В. Галанин, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................................	5
Часть I. ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.............................................................	6
Глава 1. Элементы дифференциального исчисления........................................................	6
1.1. Функция................................................................................................................	6
1.2. Предел функции ..................................................................................................	6
1.3. Производная функции.........................................................................................	7
1.4. Дифференциал функции.....................................................................................	8
Глава 2. Элементы интегрального исчисления ...........................................................	9
2.1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл......................................	9
2.2. Определенный интеграл.....................................................................................	10
Глава 3. Дифференциальные уравнения...............................................................................	11
Глава 4. Элементы теории вероятностей случайного события....................................	12
4.1. Основные понятия теории вероятностей случайного события ......................	12
4.2. Основные теоремы теории вероятностей случайного события......................	13
Глава 5. Элементы теории вероятностей случайной величины....................................	16
5.1. Основные понятия теории вероятностей случайной величины .....................	16
5.2. Распределение и характеристики дискретной случайной величины.............	16
5.3. Распределение и характеристики непрерывной случайной величины..........	18
5.4. Нормальный закон распределения....................................................................	19
Часть II. КУРС ФИЗИКИ....................................................................................................	21
Глава 6. Механические колебания и волны..........................................................................	21
6.1. Собственные механические колебания.............................................................	21
6.2. Вынужденные механические колебания...........................................................	23
6.3. Автоколебания.....................................................................................................	24
6.4. Волны в упругой среде.......................................................................................	25
6.5. Энергетические характеристики волн...............................................................	26
Глава 7. Акустика....................................................................................................................	28
7.1. Физические характеристики звука ....................................................................	28
7.2. Характеристики слухового ощущения..............................................................	31
Глава 8. Механика жидкости ...............................................................................................	35
8.1. Свойства жидкости. Давление жидкости..........................................................	35
8.2. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли............................................	35
8.3. Вязкость жидкости. Формула Ньютона............................................................	37
8.4. Кровь как неньютоновская жидкость................................................................	39
8.5. Формула Пуазейля...............................................................................................	40
8.6. Турбулентное течение. Число Рейнольдса.......................................................	41
Глава 9. Механика твердого тела.........................................................................................	43
9.1. Деформация тела.................................................................................................	43
9.2. Закон Гука............................................................................................................	43
9.3. Диаграмма растяжения тела...............................................................................	44
Глава 10. Электричество и магнетизм...............................................................................	45
10.1. Электрическое поле...........................................................................................	45
10.2. Электрический диполь......................................................................................	49
10.3. Электрический ток............................................................................................	49
10.4. Магнитное поле.................................................................................................	52

Глава 11. Электрический ток в электролитах. Контактные явления.........................	56
11.1. Электролиз.......................................................................................................	56
11.2. Удельное сопротивление электролита..........................................................	57
11.3. Контактная разность потенциалов ................................................................	59
11.4. Электродный потенциал. Возникновение двойного
электрического слоя.......................................................................................	60
11.5. Гальванический элемент. Гальванизм в полости рта..................................	61
11.6. Электрохимическая коррозия........................................................................	62
Глава 12. Переменный электрический ток.........................................................................	64
12.1. Переменный ток..............................................................................................	64
12.2. Активное сопротивление в цепи переменного тока....................................	64
12.3. Катушка индуктивности в цепи переменного тока .....................................	65
12.4. Конденсатор в цепи переменного тока.........................................................	67
12.5. Полное сопротивление в цепи переменного тока........................................	68
12.6. Эквивалентные электрические схемы тканей организма.
Дисперсия импеданса биотканей..................................................................	69
12.7. Реография. Реоплетизмография.....................................................................	71
Глава 13. Электростимуляция. Законы электровозбудимости......................................	73
13.1. Электрический импульс. Электростимуляция.............................................	73
13.2. Законы электровозбудимости........................................................................	73
13.3. Применение импульсных токов в стоматологии.........................................	76
Глава 14. Действие высокочастотных токов и полей на ткани организма................	77
14.1. Биологическое действие переменных токов и полей..................................	77
14.2. Хирургическая диатермия..............................................................................	77
14.3. Индуктотермия................................................................................................	78
14.4. УВЧ терапия....................................................................................................	80
14.5. МВ терапия......................................................................................................	82
Глава 15. Геометрическая оптика.......................................................................................	84
15.1. Отражение и преломление света ...................................................................	84
15.2. Линзы................................................................................................................	85
15.3. Микроскоп.......................................................................................................	88
15.4. Специальные методы микроскопии..............................................................	89
Глава 16. Взаимодействие света с веществом ..................................................................	91
16.1. Поглощение света ...........................................................................................	91
16.2. Лазер.................................................................................................................	93
Глава 17. Рентгеновское излучение ......................................................................................	95
17.1. Физика рентгеновских лучей.........................................................................	95
17.2. Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом.
Физическое обоснование применения рентгеновских лучей
в медицине.......................................................................................................	96
ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ.........................................	99
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ФИЗИКЕ...............................................................................	106
ГЛОССАРИЙ..........................................................................................................................	120
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ..........	125

ВВЕДЕНИЕ

Физика – наука об основополагающих законах природы, строении, свойствах и взаимодействиях составляющих ее тел и полей. С физикой тесно связана математика, изучающая количественные отношения и пространственные структуры. Математика позволяет точно выразить физические понятия и законы, способствует установлению взаимосвязи между ними. Вместе физика и математика открывают возможности для понимания разнообразных природных явлений, процессов, в том числе происходящих в биологических системах.

Учебная дисциплина «Физика. Математика» относится к математическому, естественнонаучному циклу дисциплин (С2), изучается на первом курсе медицинских вузов, является базовой в обучении медицинским специальностям и необходима при изучении смежных и клинических дисциплин.

Целью учебной дисциплины «Физика. Математика» является освоение студентами знаний об основных физических явлениях и законах в их единстве и взаимосвязи, а также знаний, включающих элементы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики.

Задачи дисциплины:

•изучение физических явлений и законов;

•овладение основными математическими и физическими методами научного исследования;

•выработка приемов и навыков решения конкретных задач, в том числе из области медицины и биологии;

•формирование у студентов-медиков естественнонаучного мышления.

Изучение данной дисциплины направлено на формирование у студентов общекуль-

турных (ОК) и профессиональных (ПК) компетенций, установленных Федеральным государственным образовательным стандартом ВПО по направлению подготовки (специальности) «Лечебное дело», утвержденным приказом Министерства образования и науки РФ от 8 ноября 2010 № 1118:

•способность и готовность анализировать социально значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медикобиологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1);

•способность и готовность выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, использовать для их решения соответствующий физико-химический и математический аппарат (ПК-2);

•способность и готовность к работе с медико-технической аппаратурой, используемой в работе с пациентами (ПК-9);

•способность и готовность к участию в освоении современных теоретических и экспериментальных методов исследования с целью создания новых перспективных средств, в организации работ по практическому использованию и внедрению результатов исследований (ПК-32).

Студенты, завершившие изучение данной дисциплины, должны:

знать математические методы решения интеллектуальных задач и их применение

вмедицине; основные законы физики, физические явления и закономерности, лежащие в основе процессов, протекающих в организме человека; характеристики и биофизические механизмы воздействия физических факторов на организм; физические основы функционирования медицинской аппаратуры, устройство и назначение медицинской аппаратуры; уметь пользоваться физическим оборудованием; работать с увеличительной техникой; производить расчеты по результатам эксперимента, проводить элементарную статистическую обработку экспериментальных данных; владеть понятийным аппаратом современных методов естественнонаучного исследования.

ЧАСТЬ I

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Глава 1

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.1. Функция

Математический анализ - это раздел математики, в котором исследуются функции

сприменением методов дифференциального и интегрального исчисления.

Воснове математического анализа лежит понятие функции. Пусть X, Y - некоторые числовые множества. Если каждому числу x множества X ставится в соответствие вполне

определенное число y множества Y,	то говорят, что на множестве X задана функция
y = f (x). При этом x - независимая	переменная (аргумент), y - зависимая переменная

(функция). Функции задают в виде таблицы, с помощью формулы, графика. Примеры аналитического задания функций: а) y = x2 ; б) y = e x ; в) y = cos x .

Допустим, что задана функция y = f (u), где величина u в свою очередь зависит от переменной x, то есть u = g (x). Тогда при изменении x будут соответственно изменяться как u, так и y. В этом случае функция y = f (u) называется сложной функцией от x и обозначается y = f [g (x)]. Пример: y = sin u , u = 5 x , тогда y = sin (5 x) - сложная функция.

1.2. Предел функции

Рассмотрим пример. Пусть задана функция y = sinx x . Составим для нее таблицу значений в окрестности точки x = 0 .

	x	− 0,5		− 0,3		− 0,1	0,1	0,3	0,5
	y	0,959		0,985		0,998	0,998	0,985	0,959
Чем ближе x приближается к 0, тем значение y ближе к 1.
Пределом функции			y = f (x)		в точке x = x0 называется число b, к которому функ-

ция неограниченно приближается при неограниченном приближении аргумента x к точке

x0 . Обозначение: lim	f (x) = b . Пример: lim			sin x = 1.
x→ x0			x→0	x
Строгое математическое определение предела функции: число b называется преде-
лом функции y = f (x)	при x , стремящимся к x0 , если для любого ε > 0 существует чис-
ло δ (ε) > 0 такое, что при		x − x0	< δ выполняется неравенство		f (x)− b	< ε .

Функция α (x) называется бесконечно малой величиной при x → x0 или x → ∞ , ес-
ли ее предел равен нулю.

1.3. Производная функции

Пусть функция

y = f (x) определена в некоторой точке x = x0

(рис. 1.1). Обозна-

чим

x = x − x0

- приращение аргумента,

y = f (x)− f (x0 ) = f (x0 +

x)− f (x0 ) - соот-

ветствующее приращение функции. Если существует предел

lim

, то этот предел на-

x→0

зывается производной функции y = f (x) по переменной x в точке x0 . Обозначение произ-

водной:

y'= lim

= d y .

x→0

d x

Пример:

найдем

производную

y = f (x)

функции

y = x2 . На основании опре-

деления производной имеем:

y = (x + x)2 − x2 = 2 x x + x2

f (x)

, y'= lim

y = lim (2 x +

x) = 2 x .

x→0

d y

f (x0 )

Геометрический

смысл произ-

водной.

Геометрически

производная

функции

представляет

собой тангенс

угла касательной к графику этой

функции в точке x: y'= tg α .

Рис. 1.1

Механический смысл производной. Если s = s (t) - уравнение движения материаль-

ной точки, то производная s' представляет собой скорость движения точки в момент вре-

мени t: v = s' (скорость как быстрота перемещения тела).

Пример из механики жидкости: объемная скорость жидкости - это объем жидко-

сти, протекающий в единицу времени через сечение трубки: Q = d V

, [Q] = 1м3

с.

d t

Таблица производных элементарных функций

Функция

Производная

Функция

Производная

ln x

sin x

cos x

n xn−1

cos x

− sin x

tg x

cos2 x

a x

a x ln a

ctg x

−

sin 2 x

arcsin x

1− x2

loga x

arctg x

x ln a

1+ x2

	Правила дифференцирования:
1) (u + v)'= u'+v';
2) (u v)'= u' v + u v';
3) (C u)'= C u' ;
u		'	u' v - u v'	.
4)		=	v2
v					y = f (u), u = g (x), то	y'= f '(u) g '(x) (сна-
		Производная сложной функции: если
чала	следует вычислить производную				по промежуточному	аргументу). Пример:
(sin 2 x)'= cos 2 x (2 x)'= cos 2 x 2 .
		Производная		y' сама является функцией, которая также может иметь производ-
ную. Производная второго порядка y''= (y')'					и т.д. n-го порядка y(n) (x).

1.4.Дифференциал функции

Спроизводной функции связано понятие дифференциала функции. Можно пока-

зать, что приращение функции y состоит из двух частей: y = y' x + ε x , где ε - бесконечно малая величина, а приращение аргумента обозначают x = d x . Первое сла-

гаемое представляет собой так называемую главную часть приращения функции, его называют дифференциалом функции d y .

Таким образом, произведение производной функции на приращение аргумента на-

зывается дифференциалом функции d y = y' d x . Пример: y = x2 , d y = 2 x d x .

Глава 2

ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

2.1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Если основной задачей дифференциального исчисления было отыскание производ-

ной данной функции, то основной задачей интегрального исчисления является отыскание

функции по ее производной.

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x),

если выполняется

тождество F '(x) = f (x). Пример:

f (x) = x , F

(x) =

F '(x) =

= x = f (x).

f (x)

F (x)+ C , С –

В качестве первообразной для функции

можно

взять

произвольная постоянная, так как (F (x)+ C)' = F '(x) = f (x).

Совокупность всех первообразных для функции

f (x) называется неопределенным

интегралом: f (x) dx = F (x)+ C . Чтобы найти неопределенный интеграл от заданной

функции f (x), необходимо записать подынтегральное выражение

f (x) dx , найти перво-

образную F (x) и добавить к ней постоянную C. Пример:

x dx = x2

+ C .

1) a f (x) dx = a f (x) dx ;

Правила интегрирования:

2) [f (x)± g (x)]d x = f (x)dx ± g (x)dx .

Таблица неопределенных интегралов:

d x = x + C

sin x d x = − cos x + C

xn d x = xn+1

+ C,

n ≠ −1

cos x d x = sin x + C

n + 1

d x

= ln x + C

sin 2 x

= −ctg x + C

ex d x = ex + C

d x

= tg x + C

cos

a x

d x

= arcsin x + C

a x d x = ln a + C

1− x2

d x

= arctg x + C

1+ x

1) метод замены переменных

Методы интегрирования:

g (z)d z = G (z)+ C , z = f (x).

Пример: e5 x d x = ez d z =

1 ez d z =

1 ez + C =

1 e5 x

+ C ,

z = 5 x , z'= 5 , d z = z'd x = 5d x ,

d x = d z .

2) метод интегрирования по частям: u dv = u v - v du .

Пример: x sin x d x = − x cos x + cos x d x = − x cos x + sin x + C .

2.2. Определенный интеграл

Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью Ox, графиком непрерывной

функции y = f (x) и двумя вертикальными прямыми x = a и x = b (рис. 2.1). y

y = f (x)

f (xk )

0	a	xk	b	x
		xk	xk xk+1
		Рис. 2.1

Разделим основание трапеции [a, b] на n частичных интервалов [x0 , x1 ], [x1, x2 ],...,

[xn−1, xn ], считая что a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b . Проведем через эти точки прямые, параллельные оси Oy, тогда фигура aABb разделится на n элементарных криволинейных трапеций.

Обозначим	xk = xk+1 − xk , k = 0, 1,..., n − 1. Возьмем некоторую точку xk из малого
интервала [xk , xk+1 ]. Вычислим площадь элементарного прямоугольника с основанием
xk и высотой	f (xk ): sk = f (xk ) xk . Сумма площадей всех прямоугольников является
приближением	для	площади	криволинейной	трапеции:
	n−1	n−1
SaABb ≈ s0 + s1 + ... + sn−1 = sk		= f (xk ) xk	- интегральная сумма.	Причем чем
	k=0	k=0

n−1

меньше xk (больше n), тем это приближение точнее, т.е. SaABb = lim f (xk ) xk .

xk →0 k=0

n−1

В общем случае предел, к которому стремится интегральная сумма f (xk ) xk

k=0

при xk → 0 , называется определенным интегралом и обозначается I = f (x)d x .

Для того чтобы вычислить определенный интеграл от заданной функции y = f (x), надо: 1) вычислить первообразную для заданной функции F (x); 2) в полученном выражении подставить x = b , затем x = a и из первого результата вычесть второй:

	b
	f (x)d x = F					(x)		ba = F (b)− F (a). (формула Ньютона-Лейбница)


	a
2		x2	2		22		12			3 .
2			2
Пример: x d x =				=		−			=
Пример: x d x =				=		−			=
1	2		1		2		2			2
1			1

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]