Физика. Математика. Учебное пособие-1

В качестве характеристики интенсивности звука удобно использовать величину,

называемую уровнем интенсивности:

где I - интенсивность данного звука, I0 - эталонное значение интенсивности звука, с ко-

торым сравнивают ее другие значения. Минимальная интенсивность звука, вызывающего слуховое ощущение, соответствует порогу слышимости. Для различных частот порог слышимости неодинаков. Слуховой аппарат человека наиболее чувствителен к звукам в диапазоне 2-5 кГц. Порог слышимости на частоте 1 кГц соответствует интенсивности

I0 = 10−12 Втм2 , что отвечает звуковому давлению рзв = 2 10−5 Па . Единицей уровня

интенсивности служит децибел (дБ). В медицинской практике пользуются децибельной шкалой измерения уровня интенсивности (рис. 7.5). Из сравнения значений шкал интенсивности и уровня интенсивности следует, что увеличение интенсивности звука в 10 раз соответствует повышению уровня интенсивности на 10 дБ.

Например, если интенсивность шума равна I = 10 Втм2 , то его уровень интенсивности L = 130 дБ - это порог болевого ощущения человека, возникающего под дейст-

вием сильного звука. Шепот человека оценивается в 20-30 дБ, обычный разговор - в 40-70 дБ, крик - в 80 дБ; тоны сердца, выслушиваемые стетоскопом - 10 дБ; клубная музыка - 120 дБ.

7.2. Характеристики слухового ощущения

Частота, звуковое давление, интенсивность - это объективные характеристики звука, которые могут быть измерены соответствующими приборами независимо от человека. Однако звук является источником слуховых ощущений, поэтому оценивается человеком также и субъективно. Например, различают громкие и тихие, высокие и низкие звуки.

Громкостью звука называют субъективную характеристику интенсивности или силы звука. Из опыта известно, что громкость возрастает с увеличением интенсивности звука. Однако между громкостью и интенсивностью звука нет прямой пропорциональности даже при одной и той же частоте. Причина этого явления заключается в общем для всех органов чувств свойстве адаптации к силе раздражения. Адаптацией называется снижение чувствительности органа чувств при повышении действующей на него силы раздражения, и наоборот. Здесь под чувствительностью, например, органа слуха, понимается способность различать звуки по громкости.

31

Согласно закону, установленному Э. Вебером (1834), отношение порогового изменения силы раздражения (минимального изменения силы раздражения, которое обнаруживается органом чувств) к исходному значению силы есть величина постоянная в широ-

следующее соотношение:

Е = k II

или в дифференциальной форме:

d E = k dII ,

где k - коэффициент пропорциональности. Проинтегрируем последнее выражение:

d E = k dII + С .

Откуда

E = k ln I + C .

Громкость Е = 0 при I = I0 , где I0 - интенсивность звука, соответствующая порогу слышимости. Тогда из предыдущего уравнения находим:

C = − k ln I0 ,

т.е.

Таким образом, нами выведен закон, полученный экспериментально Г. Фехнером (1850), согласно которому уровень слухового ощущения Е (уровень громкости) прямо

32

пропорционален логарифму отношения интенсивности звука I к значению интенсивности I0 , соответствующему порогу слышимости (при одной и той же частоте звука).

Коэффициент пропорциональности k в законе Фехнера зависит от частоты звука. Данный коэффициент условились принять равным k ≈ 2,30259 с тем, чтобы на частоте

В результате на частоте 1 кГц значения уровня интенсивности и уровня громкости совпадают. Уровень громкости на других частотах можно оценить путем сравнения слухового ощущения от двух источников звука: тестируемого и эталонного. За эталон принимается звуковой тон частотой 1 кГц. С помощью потенциометра изменяют интенсивность эталонного звука то тех пор, пока он не вызовет слуховое ощущение, аналогичное ощущению громкости тестируемого звука. Тогда уровень интенсивности звука частотой 1000 Гц, измеренный по прибору, будет равен уровню громкости исследуемого звука.

Рис. 7.7

Уровнем громкости Е звука данной частоты называют уровень интенсивности звукового тона частотой 1 кГц, громкость которого в сравнении на слух эквивалентна громкости исследуемого звука. Единицей измерения данной величины является фон.

Графики зависимости уровня громкости от частоты представляют в виде линий равной громкости (рис. 7.7). Каждая такая линия объединяет звук одного и того же уровня громкости, измеряемого в фонах. Нижняя линия соответствует уровню громкости наименее слабо слышимых звуков - это линия порога слышимости; ему условно соответствует 0 фон. Следующая линия будет объединять звуки различных частот с уровнем громкости 10 фон и т.д. Таким образом, чем выше расположена линия, тем более громким воспринимается человеком звук, обладающей данными частотой и интенсивностью. Область интенсивности, в которой человек слышит звуки, издаваемые голосовым аппаратом, называ-

ется речевой зоной.

Аудиометрия - это метод измерения остроты слуха на пороге слышимости. С помощью специального устройства, называемого аудиометром, строят график стандартного порога слышимости 1 (рис. 7.8) и график порога слышимости обследуемого пациента 2.

Затем на нескольких частотах находят разность уровней громкости Е = Естанд − Епац ,

по которой строят кривую потери слуха 3. Соединяющая экспериментальные точки кривая потери слуха ближе к нулю там, где две вышеперечисленные кривые наиболее близки друг к другу, их разность минимальна. В области низких и высоких частот эта разность значительно больше, и кривая потери слуха расположена ниже, чем в области средних частот.

33

L, дБ

2

1

0

ν, Гц

3

Рис. 7.8

Человек различает тоны по их высоте. Высота тона - это субъективная оценка частоты звукового сигнала. Чем больше частота звука, тем более высоким он воспринимается.

Тембр звука - это субъективная оценка спектрального состава звука.

34

Глава 8

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ

8.1. Свойства жидкости. Давление жидкости

Отличительными особенностями жидкости являются большая подвижность ее частиц и малая сжимаемость. Большая подвижность частиц жидкости обуславливает ее текучесть, т.е. относительно легкую смещаемость частиц жидкости под действием внешних сил. Однако взаимное смещение частиц сопровождается некоторым сопротивлением, которое называют внутренним трением или вязкостью. Малая сжимаемость жидкости объясняется тем, что между молекулами жидкости действуют значительные силы взаимодействия. Даже небольшое уменьшение межмолекулярного расстояния вызывает появление больших сил отталкивания.

Сила взаимодействия жидкости со стенками сосуда, внутри которого она заключена, или с находящимися в ней твердыми телами, распределена по всей поверхности их соприкосновения, а не приложена к одной точке. В результате вводится понятие давления. Давление жидкости - это сила, с которой жидкость действует на единицу площади поверхности, соприкасающегося с ней тела:

(1 атм = 760 мм рт. ст. = 101325 Па) - это единица, кратная давлению, которое оказывает

столб ртути высотой 760 мм.

Согласно закону Паскаля внешнее давление, производимое на жидкость, передается ею во все стороны равномерно.

8.2. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли

Жидкость, для которой не учитывается вязкость, называется идеальной. Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости внутри некоторой трубки (рис. 8.1). За

промежуток времени t сквозь сечение S1 на расстояние l1 пройдет объем жидкости V1 = S1 l1 = S1 v1 t со скоростью v1. Аналогично за тот же промежуток времени сквозь сечение S2 на расстояние l2 пройдет объем жидкости V2 = S2 l2 = S2 v2 t со скоростью v2 . Поскольку жидкость несжимаема, то эти объемы одинаковы:

V1 = V2 , т.е. S1 v1 t = S2 v2 t ,

S1 v1 = S2 v2 .

Полученное соотношение называют уравнением неразрывности. Из него следует, что линейная скорость жидкости уменьшается с увеличением площади сечения трубки.

Решение многих гидродинамических задач основывается на уравнении Д. Бернулли (1738), устанавливающем связь между давлением p, скоростью v и высотой жидкости h над некоторым нулевым уровнем (рис. 8.2).

35

Полученное уравнение называют уравнением Бернулли. В этом уравнении p - статическое давление, оно характеризует давление, которое оказывают друг на друга соседние слои

жидкости; ρ 2v2 - динамическое давление, оно обусловлено движением (напором) жидко-

сти; ρ g h - гидростатическое давление, создаваемое весом столба жидкости высотой h; g -

ускорение свободного падения.

Смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, динамического и гидростатического давлений, одинаково во всех поперечных сечениях трубки.

Для горизонтальной трубки переменного сечения (рис. 8.3) уравнение Бернулли имеет вид:

36

Это подтверждает опыт с манометрическими трубками: v1 < v2 , p1 > p2 .

Можно подобрать условия, при которых давление жидкости в узком участке трубки станет меньше атмосферного давления, и тогда струя жидкости будет оказывать всасывающее действие на воздух. Данный эффект используется в ингаляторах и аэрозолях (рис. 8.4).

Поместим в поток жидкости две измерительные трубки (трубки Пито) (рис. 8.5). В прямой трубке действует только статическое (боковое) давление, которое уравновешива-

ется атмосферным давлением и давлением столба жидкости: p = pa + ρ g h1 . В изогнутой

трубке действует статическое и динамическое давление (т.к. частицы жидкости, попадающие в отверстие изогнутой трубки, останавливаются, и их кинетическая энергия пере-

Таким образом, по разности уровней жидкости в трубках Пито можно определить скорость потока жидкости.

Рис. 8.5

8.3. Вязкость жидкости. Формула Ньютона

Ламинарным называется течение жидкости, при котором жидкость движется в виде отдельных слоев, причем каждый слой движется со скоростью, отличной от соседних. Пример: ламинарный поток жидкости в цилиндрической трубке (рис. 8.6).

Вязкость (внутреннее трение) - это свойство жидкостей оказывать сопротивление перемещению одних слоев жидкости относительно других. Причиной вязкости является межмолекулярное взаимодействие частиц жидкости и их тепловое движение.

37

Рассмотрим ламинарный поток жидкости между двумя параллельными пластинами (рис. 8.7). Нижняя пластина неподвижна, а верхняя движется по поверхности жидкости со скоростью v . Слой жидкости, соприкасающийся с верхней пластиной, будет прилипать к ней и двигаться с той же скоростью v , что и пластина. Этот верхний слой за счет межмолекулярного взаимодействия между частицами жидкости влияет на нижележащий, заставляя его двигаться, но уже с меньшей скоростью и т.д. Самый нижний слой остается неподвижным, т.к. прилипает к нижней пластине.

Предел отношения разности скоростей течения двух близких слоев жидкости v к расстоянию z , на котором происходит это изменение, при z → 0 называется градиен-

Согласно формуле Ньютона сила внутреннего трения Fтр пропорциональна пло-

щади S соприкасающихся слоев и градиенту скорости dd vz :

Fтр = η dd vz S ,

где коэффициент пропорциональности η - коэффициент вязкости.

Физический смысл коэффициента вязкости заключается в том, что он численно равен силе трения между слоями жидкости, соприкасающимися поверхностями единичной площади при единичном градиенте скорости

Сила, приходящаяся на единицу площади соприкасающихся слоев, называется ка-

сательным напряжением трения:

38

Используя введенный термин, формулу Ньютона можно представить следующим образом:

τ = η dd vz .

По вязким свойствам жидкости делятся на два вида: ньютоновские и неньютоновские. Ньютоновской называется жидкость, коэффициент вязкости которой зависит только от ее природы и температуры. Для таких жидкостей коэффициент вязкости в формуле Ньютона является постоянным параметром. В качестве примеров можно назвать воду, низкомолекулярные органические соединения.

Неньютоновской называется жидкость, коэффициент вязкости которой зависит не только от природы жидкости, но и от условий течения, например, от размера трубки и объемной скорости потока. К неньютоновским жидкостям относятся среды, состоящие из сложных и крупных частиц, образующих пространственные структуры; это так называемые структурированные жидкости. Чтобы слои структурированной жидкости могли перемещаться относительно друг друга, необходимо разорвать межмолекулярные связи между ближайшими слоями.

8.4. Кровь как неньютоновская жидкость

Кровь - это неньютоновская жидкость, представляющая собой суспензию форменных элементов, главным образом эритроцитов, в относительно однородной жидкости - плазме крови.

Вязкость крови меняется в зависимости от гематокритного числа (отношения объема красных кровяных клеток к объему цельной крови, в %; норма 45%). При тяжелой анемии, когда концентрация эритроцитов становится низкой, вязкость крови низкая (рис. 8.8).

В состоянии покоя кровь ведет себя как упругое твердое тело - гель. Это состояние сохраняется, пока касательное трение меньше, чем некоторое значение - предел текучести:

τ ≤ τ0 (рис. 8.9). Если τ > τ0 , то пространственная структура крови разрушается, кровь переходит в жидкое состояние и начинает течь.

Жидкости, у которых τ0 ≠ 0 , называются вязкопластическими. При сравнительно

больших градиентах скорости к ним применима модель Шведова-Бингама, уравнение которой имеет вид:

τ = τ0 + η dd vz .

Для крови τ0 = 0,01− 0,03 Па.

39

Введем эффективный коэффициент вязкости:

С увеличением градиента скорости эффективный коэффициент вязкости уменьша-

ется (рис. 8.10).

ηэфф

η

0

d vd z

Рис. 8.10

Если градиент скорости достаточно мал, то свойства крови описываются моделью Кессона:

8.5. Формула Пуазейля

В процессе движения вязких жидкостей по трубке их потенциальная энергия расходуется на совершение работы против сил внутреннего трения, поэтому даже при постоянном сечении трубки давление жидкости падает пропорционально ее длине.

Пусть объемная скорость жидкости Q - это объем жидкости, протекающей через

поперечное сечение цилиндрической трубки за единицу времени, [Q] = 1 м3 .

с

Согласно опытам, проведенным Ж. Пуазейлем, при равномерном ламинарном течении ньютоновской жидкости в цилиндрической трубке (рис. 8.11) объемная скорость жидкости Q изменяется прямо пропорционально разнице давлений в начале и конце труб-

ки p = (pi − po ) и радиусу трубки r в четвертой степени и обратно пропорционально длине трубки l и вязкости жидкости η :

40