Физика. Математика. Учебное пособие-1

ЧАСТЬ II

КУРС ФИЗИКИ

Глава 6

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

6.1. Собственные механические колебания

Колебания – это один из самых распространенных видов движения, встречающийся не только в физике, но и в химии, биологии, физиологии, экономике.

Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени. Примерами колебаний могут служить движение планет; покачивание грузика, подвешенного на нити; генерация электрических импульсов на мембране электровозбудимой клетки; колебания атома, входящего в кристаллическую решетку.

Основные характеристики колебаний:

а) период колебаний Т - время одного полного колебания, T = tNN ,

[Т] = 1с, tN - время N полных колебаний;

б) частота колебаний ν - число полных колебаний, совершающихся за единицу

в) амплитуда колебаний А - максимальное значение колеблющейся величины. Собственными (свободными) колебаниями называются колебания, которые проис-

ходят в отсутствии внешних переменных воздействий на колебательную систему. Пример: пружинный маятник. Пружинный маятник - это тело, подвешенное на невесомой пружине и совершающее вертикальные колебания относительно положения равновесия под действием силы упругости (рис. 6.1). Если маятник немного отклонить, то сила упругости возвращает тело в положение равновесия, поскольку она всегда направлена в сторону, противоположную смещению тела. Достигнув положения равновесия, тело пройдет его по инерции и отклонится в противоположную сторону. Сила упругости поменяет направление, движение тела замедляется и оно останавливается. После остановки тело вновь движется к положению равновесия, проходит его, снова возвращается и т.д. - процесс повторяется.

Описать подобное движение позволяет второй закон Ньютона, из которого следует,

что

m a = −k s ,

где m - масса тела, a = s'' - ускорение, k - коэффициент жесткости пружины, s - смещение тела из положения равновесия. Данное соотношение выполняется, если тело совершает гармонические колебания.

Гармоническими называются колебания, в которых колеблющиеся величины, например, смещение тела из положения равновесия s = s (t), изменяются со временем t по закону косинуса или синуса (рис. 6.2):

21

s = Acos (ω0 t + α) (уравнение гармонических колебаний),

Скорость частицы, совершающей гармонические колебания:

v = s'≡ dd st = − Aω0 sin (ω0 t + α) = vmax cos (ω0 t + α + π2),

где vmax = Aω0 - амплитуда скорости.

m g

Y

Ускорение частицы, совершающей гармонические колебания:

22

Учитывая, что ускорение представляет собой вторую производную от смещения по

где ω0 = mk .

Период гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

T = 2 π mk .

Потенциальная энергия пружинного маятника:

E p = k 2s2 = k 2A2 cos2 (ω0 t + α).

Кинетическая энергия пружинного маятника:

Полная энергия пружинного маятника состоит из кинетической и потенциальной энергий. Данная величина является постоянной (рис. 6.4):

Ep , Ek , E

k A2 E

2 Ep

Рис. 6.4

6.2. Вынужденные механические колебания

Колебание тела, вызванное и поддерживаемое внешней силой, периодически изменяющейся по величине и направлению, называется вынужденным колебанием, а внешняя сила - вынуждающей силой. Примерами вынужденных колебаний могут являться раскачка маятника внешним периодическим воздействием, колебание барабанной перепонки под действием падающей звуковой волны.

На практике обычно вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону

F = Fm cos ωt ,

где ω - циклическая частота вынуждающей силы, Fm - амплитуда вынуждающей силы.

23

ется при приближении частоты вынужденных колебаний к частоте близкой собственной

ω0 .

Явление быстрого возрастания амплитуды вынужденных колебаний на определенной частоте вынуждающей силы называется резонансом. Частота вынуждающей силы,

при которой наступает резонанс, называется резонансной частотой ω рез .

Рис. 6.5

6.3. Автоколебания

Автоколебаниями называют незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии внешней периодической силы.

В отличие от вынужденных колебаний, частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы. От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от того, как система была «запущена».

Автоколебательная система содержит следующие основные элементы:

1)колебательную систему;

2)источник энергии;

3)устройство обратной связи, регулирующее поступление энергии от источника в колебательную систему.

24

Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, расходуемой колебательной системой за то же время.

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Колебательная система часов - это маятник; источник энергии - груз, поднятый над землей, или стальная пружина; устройство обратной связи - ходовое колесо и анкер.

6.4.Волны в упругой среде

Втой или иной степенью каждое тело обладает упругостью, т.е. способностью восстанавливать свою форму после кратковременного воздействия, приложенной к нему силы. Эта способность тела является причиной того, что всякое механическое действие передается телом с конечной скоростью от одной его точки к соседней. Если стержню нанесен сжимающий удар, то на конце стержня образуется уплотнение, которое распространяется с конечной скоростью вдоль тела. Если в твердом теле создан местный кратковременный изгиб, то он также будет передаваться с конечной скоростью по твердому телу. Пробегающие вдоль тела деформации обычно демонстрируются при помощи пружин

(рис. 6.6).

Рис. 6.6

Таким образом, если в каком-либо месте упругой среды возбудить колебание ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от точки к точке с некоторой скоростью. При этом происходит распространение именно возмущения частиц среды, а сами частицы совершают движения около своих положений равновесия.

В общем случае волной называют процесс распространения возмущения в среде. Примеры волн: волны в упругой среде (упругие волны); волны на поверхности жидкости; возмущения электромагнитного поля (электромагнитные волны); волна повышенного давления, распространяющаяся по аорте и артериям в результате выброса крови из левого желудочка (пульсовая волна).

Волна называется гармонической, если положение частиц среды изменяется по закону косинуса или синуса.

Основные характеристики волн:

1)амплитуда волны А - максимальное смещение частиц среды от положения равновесия;

2)период волны Т - период колебаний частиц в волне;

3)частота волны ν = 1Т - частота колебаний частиц в волне;

4)геометрическое место точек среды, имеющих одинаковую фазу колебаний, называют волновой поверхностью; если волновые поверхности имеют вид плоскостей, то волна называется плоской; если волновые поверхности имеют вид сфер, то это сферическая волна;

5)волновой фронт - место, до которого дошло волновое возмущение;

6)фазовая скорость волны v - скорость перемещения в пространстве волнового фронта;

25

7)длина волны λ - расстояние между двумя ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2 π ; другими словами, это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний: λ = vT .

Найдем уравнение плоской гармонической волны. Для этого рассмотрим волну, бегущую в теле вдоль оси 0x (рис. 6.7). Предположим, что зависимость смещения частицы a, находящейся в начале отсчета, от времени дается уравнением: s = A cos ω t , где ω - цик-

лическая частота колебаний частиц среды. Поскольку волна распространяется в среде с конечной скоростью v , волновое возмущение достигнет некоторой произвольной части-

Частица b выбрана произвольно, поэтому записанное соотношение представляет собой

уравнение плоской гармонической волны.

-A

Рис. 6.7

6.5. Энергетические характеристики волн

Волновой процесс связан с распространением энергии. Введем энергетические характеристики волн.

Количество энергии W, переносимое волной за единицу времени через некоторую произвольную поверхность, называют потоком энергии волны через эту поверхность:

Количество энергии, заключенное в единице объема среды, частицы которой вовлечены в волновое движение, называют объемной плотностью энергии волны:

ε = WV , [ε] = 1 Джм3 .

Средняя энергия, переносимая волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, называют

интенсивностью волны:

26

Пусть вдоль оси X распространяется плоская гармоническая волна, фронт которой достиг точки 1 (рис. 6.8). Спустя время t этот фронт сместится вправо на расстояние l = v t

и достигнет точки 2. Следовательно, за время t в колебательное движение будут вовлечены частицы, заключенные в параллелепипед объемом V = S l = S v t . Тогда для интенсив-

ности волны получаем:

I = ε v .

Данное выражение в векторном виде запишется так:

I = ε v .

Вектор I называют вектором Пойтинга; он указывает направление переноса энергии волны.

v

S

Рис. 6.8

27

Глава 7

АКУСТИКА

7.1. Физические характеристики звука

Акустика - раздел физики, исследующий законы излучения, распространения и приема упругих волн.

Звук - это упругие волны, воспринимаемые органом слуха человека. Человек слышит звук приблизительно в диапазоне частот от 20 до 20000 Гц. Не воспринимаемые ухом человека упругие волны частотой ниже 20 Гц называются инфразвуком, а выше 20000 Гц - ультразвуком. На практике в качестве источников звука часто используют колеблющиеся твердые тела, например, мембраны телефонов, струны музыкальных инструментов.

К приемникам звуковых волн можно отнести, например, микрофоны, слуховой аппарат человека и животных.

Различают следующие виды звука:

а) тоны; б) шум; в) звуковой удар.

Тоном называется звук, являющийся периодическим процессом. Если этот процесс гармонический, тон называется простым или чистым. Основной физической характеристикой простого тона является его частота. Сложный тон представляет собой результат наложения нескольких простых тонов. Звуку основного тона, образующего сложный тон, соответствует наименьшая частота ν , остальные тоны (обертоны) будут иметь частоты, равные 2 ν , 3ν и т.д. Набор частот звуковой волны с указанием их относительной ампли-

туды или интенсивности называется акустическим спектром. Спектр сложного тона является линейчатым (рис. 7.1).

Шумом называют звук, представляющий собой сочетание беспорядочно изменяющихся сложных тонов. Спектр шума является сплошным (рис. 7.2).

A A

p0

pm

28

Звуковой удар - это кратковременное звуковое воздействие (хлопок, взрыв и т.п.). Физическими характеристиками звука являются частота, амплитуда, форма коле-

бания, скорость, звуковое давление, интенсивность (сила звука).

В твердом теле могут распространяться как продольные, так и поперечные звуковые волны. В газе или жидкости звуковая волна представляет собой распространяющиеся продольные волны сжатия и разряжения среды. В участках сжатия давление выше по

сравнению со средним давлением p0 окружающей среды, в участках разряжения давление ниже. Пусть p - добавочное давление, возникающее вследствие прохождения звуковой волны в среде. Тогда мгновенное значение давления в некоторой точке среды можно представить как p = p0 + p (рис. 7.3). Если колебания добавочного давления совер-

шаются по гармоническому закону, то p = pm cos ω t , где pm - амплитуда добавоч-

ного давления.

Звуковым давлением называется эффективное (среднее квадратичное) значение добавочного давления, образующегося в участках сгущения среды в процессе распространения звуковой волны:

Откуда приходим к следующему выражению для звукового давления: pзв = p2m .

ρ

dp

dx

Рис. 7.4

Рассмотрим очень малый слой среды объемом dV = S dx , находящийся на пути

распространения звуковой волны (рис. 7.4). Вследствие прохождения звуковой волны давление на данный слой изменится на величину

29

dp = dFS .

Действующая на слой добавочная сила dF может быть определена из второго закона Ньютона

Величину Z = ρ c называют удельным акустическим сопротивлением среды. Оно является важной характеристикой ее акустических свойств.

30