Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Физика. Математика. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

b 1

2.24.a x d x ;

2.25. cos x d x ;

2.26. 2 sin x d x ;

0 7

2.27. 1	(x4 − 2)d x ;
0

2 x2		2
2.30.		+
2.30.	2	+	x	2	d x ;
1	2		x
e
2.31. ln x d x ;
1	x
1
1
2.32.	2 x + 7 d x ;
0

1 d x

2.33.0 ex + 1 .

3. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений

3.1.Докажите, что любая функция вида y = x2 + C является общим решением дифференциального уравнения y'= 2 x .

3.2.Найдите частное решение предыдущего уравнения при условии, что y = 1 при x = 0 .

3.3.Решите предыдущее уравнение методом разделяющихся переменных.

Общее решение дифференциальных уравнений

Найдите общее решение следующих дифференциальных уравнений:

3.4. y'= 5 ;			3.12. x y'= y ;
3.5. y'−5 x4 = 0 ;			3.13. d y = − 6 y d x ;
3.6. d y = 8 x d x ;				d x	= − Aω cos ωt ;
3.7. y'= 2 + cos x ;			3.14. d t
3.8. y'= 7 sin (2 x);			3.15. y'= (10 − x)2 ;
3.9. y'= −	1 + ex ;			y'		−	x2

	x						2
			3.16. x = − e					;
3.10. y'=	2	;
			3.17. x2 y'+ y = 0 ;
	x
3.11. y d y = 12 d x ;			3.18. sin x sin y d x + cos x cos y d y = 0 ;

Частное решение дифференциальных уравнений

Найдите частное решение следующих дифференциальных уравнений:

3.19.y'= xy , y (2) = 4 ;

3.20.x d y = y d x , y (5) = 10 ;

3.21.y'= 2 y ln x , y (e) = 1 (интеграл ln x d x следует вычислять по частям);

Приложения дифференциальных уравнений первого порядка

3.23. Скорость, с которой лекарственный препарат расходуется в организме пациента, пропорциональна его массе. Найдите закон убывания массы препарата от времени,

если пациенту однократно была сделана инъекция массой m0 . Изобразите график уменьшения массы препарата в крови со временем.

101

3.24.Рассмотрите предыдущую задачу для случая, когда препарат вводился пациенту с постоянной скоростью q (сл. инфузии). Начальные условия выберите в следующем виде: m = 0 при t = 0 .

4. Элементы теории вероятностей случайного события

Классическое определение вероятностей:

4.1.В клетке имеется 10 мышей: 3 белых и 7 серых. Наудачу вытаскивается одна мышь. Какова вероятность события A, что эта мышь белая?

4.2.Найдите вероятность выпадения нечетного числа при бросании игрального кубика.

4.3.В урне имеется 7 черных и несколько белых шаров. Какова вероятность вынуть белый шар, если вероятность вынимания черного шара равна 13 ? Сколько белых шаров в урне?

Противоположные события:

4.4. Вероятность рождения мальчика 0,513. Чему равна вероятность рождения девочки?

Полная группа событий:

4.5.Медсестра обслуживает 3 палаты. Вероятность поступления вызова из первой палаты 0,2, из второй - 0,4. Какова вероятность того, что ближайший вызов будет из третьей палаты?

Сложение вероятностей:

4.6.Согласно статистическим данным, 0,369 всего европейского населения имеют группу крови А, 0,235 - группу В, 0,006 - группу АВ, 0,390 - группу О. Найти вероятность того, что у произвольно взятого донора группа крови А или В.

4.7.В урне находится 10 шаров: 2 белых, 4 черных, 1 красный и 3 синих. Найдите вероятность появления белого, черного или красного шара при однократной операции изъятия шара из урны. Укажите разные способы решения. Используйте понятие «противоположные события».

Умножение вероятностей независимых событий:

4.8.В марте 7 дней шел снег, 10 дней шел дождь. Найдите вероятность того, что в наугад выбранный день шел дождь и снег.

4.9.Некоторая вакцина эффективна на 75% в формировании иммунитета. Вакцинировали 2 человека. Пусть A и B - независимые события, состоящие в том, что соответственно первый и второй человек приобретают иммунитет. Найти вероятность того, что:

а) оба человека приобрели иммунитет; б) первый приобрел иммунитет, а второй нет; в) оба не приобрели иммунитета.

4.10.В отделении 4 палаты. Вероятность того, что в течение ночи в первую палату потребуется кислородная подушка 0,2, во вторую - 0,3, в третью - 0,2, в четвертую - 0,1. Какова вероятность того, что в течение ночи кислородная подушка потребуется: а) в первую и во вторую палаты; б) во все четыре палаты?

4.11.Для уничтожения колонии микроорганизмов ее обрабатывают последовательно двумя препаратами. Вероятность уничтожения колонии первым препаратом - 0,4, вторым - 0,6, причем их действия независимы. Найдите вероятность того, что после действия обоих препаратов колония: а) будет уничтожена; б) не будет уничтожена.

Условная вероятность:

4.12.К экзамену студент выучил только 20 билетов из 30.

A. Какова вероятность того, что ему достанется невыученный билет?

102

Б. Какова вероятность того, что, отказавшись от первого билета, студент вытащит второй из невыученных (из выученных)?

4.13. В партии из 12 приборов 3 бракованных. Найдите вероятность того, что: а) первый, взятый наугад прибор, - бракованный; б) второй исправный; в) существует взаимосвязь этих событий.

Умножение вероятностей зависимых событий:

4.14.В ящике m белых и n черных шаров. Какова вероятность вынуть подряд два белых шара?

4.15.При аварии пострадали 12 человек, 4 из них получили ожоги. Скорая помощь доставляет в больницу по 2 человека. Найдите вероятность того, что в машине окажутся:

а) оба пострадавших с ожогами; б) оба без ожогов.

Нахождение вероятности того, что произошло «хотя бы одно» событие:

4.16.Медицинская сестра обслуживает три палаты. Вероятность поступления вызова из первой палаты 0,8, из второй - 0,4, из третьей - 0,5. Найдите вероятность того, что медсестра получит хотя бы один вызов.

4.17.На складе клиники имеется 15 электрокардиографов. У 5 из них имеются мелкие дефекты. Какова вероятность того, что из трех наугад взятых приборов хотя бы один окажется неисправным?

4.18.На обследование прибыла группа из 15 человек, среди которых 5 инфекционно больных. Одновременно обследование проходят 3 человека. Какова вероятность того, что в группе из 3 человек хотя бы один окажется инфекционным?

4.19.Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 24. В билете 3 вопроса. Найдите вероятность того, что ему попадется хотя бы 1 вопрос, который он не знает.

Комбинированные задачи:

4.20.В корзине находятся 3 белых и 2 черных шара. Найдите вероятность того, что выбранные наугад два шара будут разного цвета.

4.21.На обследование прибыла группа из 10 человек. Трое из них больны. Врач приглашает в кабинет по 2 человека. Найдите вероятность того, что:

а) оба больны; б) оба здоровы;

в) один болен и один здоров; г) хотя бы один болен.

4.22.Во время эпидемии гриппа из 15 человек, доставленных в больницу с переломом, 5 оказались больны гриппом. В палату помещают по 4 человека. Найдите вероятность того, что в палате окажутся:

а) все 4 больны гриппом; б) хотя бы один болен гриппом.

4.23.Сигнальная лампочка прибора с вероятностью 0,1 перегорает при включении в сеть. Найдите вероятность того, что она перегорит при втором включении.

5. Элементы теории вероятностей случайной величины

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины:

5.1. Случайная величина задана таблицей:

X	1	3	4	5	7	8	10
P	0,05	0,1	0,2	0,4	0,1	0,1	0,05

103

Постройте график закона распределения данной случайной величины. Определите функцию распределения и постройте ее график.

5.2.Найдите закон распределения случайной величины X, представляющей собой число выпадения герба при двукратном бросании монеты. Определите функцию распределения случайной величины X и постройте ее график.

5.3.Используя функцию распределения, вычислите вероятность того, что на игральном кубике выпадет число очков, большее или равное 2, но меньшее 5.

Биноминальное распределение. Формула Бернулли:

5.4.Монету бросают шесть раз. Найдите вероятность того, что герб выпадает два раза.

5.5.Производится серия из 4 выстрелов по мишеням с вероятностью попадания при каж-

дом выстреле p = 14 . Предполагая, что результаты выстрелов - события независимые, найдите вероятность того, что будет два попадания.

5.6.Монету подбрасывают восемь раз подряд. Какова вероятность того, что герб выпадет 5 раз?

5.7.Вероятность поступления вызова на станцию скорой помощи в течение часа равна 0,4. Найдите вероятность того, что в течение шестичасового рабочего дня на станцию скорой помощи поступит четыре вызова.

5.8.Вероятность осложнений при заболевании гриппом 0,04. Найдите вероятность того, что из восьми человек, заболевших гриппом, у трех будет осложнение.

5.9.Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету 0,1. Найдите вероятность того, что выиграет один из трех билетов.

5.10.Всхожесть семян 0,9. Какова вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдет 5?

Числовые характеристики дискретной случайной величины:

5.11. Случайная величина имеет следующий закон распределения:


X	20	25	30	35
P	0,2	0,3	0,4	0,1
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дан-
ной случайной величины.
5.12. Случайная величина имеет следующий закон распределения:
X	0,5	1,0	1,5
P	0,25	0,3	0,45

Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

5.13.Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины, которая задается цифрой на грани при бросании игрального кубика.

Плотность вероятности непрерывной случайной величины:

5.14. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:

	0,	x ≤ 0,
F (x) =	sin x, 0 < x ≤ π 2,

		x > π 2.
	1,	x > π 2.

Найдите плотность вероятности f (x) и постройте ее график. 5.15. Дана плотность распределения случайной величины X:

104

0,	x ≤ 0,
f (x) = a sin x, 0 < x ≤ π,
	x > π.
1,

Определите коэффициент a и функцию распределения F (x), постройте ее график.

Нормальный закон распределения:

5.16.Нормально распределенная случайная величина имеет математическое ожидание a = 3 и среднее квадратичное отклонение σ = 2 . Найдите вероятность того, что дан-

ная случайная величина попадет в интервал от 2 до 5.

5.17.Нормально распределенная случайная величина имеет математическое ожидание a = 0 и среднее квадратичное отклонение σ = 3 . Найдите вероятность того, что дан-

ная случайная величина попадет в интервал от -9 до 9.

105

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ФИЗИКЕ

Механические колебания и волны

1. Период сокращения сердца кролика составляет 0,35 с. Какова частота сокращения?

а) 0,06 с−1 ; б) 0,35 с−1 ; в) 2,86 с−1 ; г) 3,45 с−1 .

2. Дополните следующее определение: «... - это колебания тела, которые происходят при отсутствии внешних переменных воздействий на колебательную систему за счет первона-

чально полученной ей энергии».
а) собственные ко-	б) гармонические	в) вынужденные ко- г) автоколебания.
лебания;	колебания;	лебания;

3.Уравнение гармонических колебаний некоторого тела имеет вид: s = 0,01 cos (2 π t).

Величина s измеряется в метрах, t - в секундах. Чему равна амплитуда данных колебаний?

а) 0,01 м;

б) 1 с;

в) 2 π рад с;

г) 1 с−1.

4.На рисунке представлен график гармонических колебаний тела. Какому уравнению соответствует данный график:

s, см

0,1

а)	π		;
а)	s = 0,1 cos	t	;
	2
б)	s = 0,2 cos (0,1π t);
в)	s = 0,2 sin (0,1π t);

0	1	2 3 4 5	6 t, 10	−3	с	г)	π
							s = 0,1 sin	2	t .

-0,1

5. Тело массой m = 1 кг, прикрепленное к пружине жесткости k = 1 Нм, совершает свободные гармонические колебания. Амплитуда колебаний 3 10−2 м. Дифференциальное

уравнение движения данного тела имеет вид:
d 2 s	а)	d 2 s	б)	d 2 s	в)		d 2 s		г)
	+ s = 0 ;		+ s = 3 cos (ωt);		+ d s	+ s = 0 ;		+ d s	+ s = 3 cos (ωt).
d t 2		d t 2		d t 2			d t 2
					d t			d t

6.Тело массой m = 1 кг, прикрепленное к пружине жесткости k = 9 Нм, совершает вы-

нужденные колебания под действием вынуждающей силы, меняющейся по закону F = Fm cos (ω t). Трение в системе не учитывается. Резонансная частота данной систе-

мы равна:

а) π радс; б) 3 радс; в) 2 π радс; г) 9 радс.

7. Уравнение плоской гармонической волны имеет вид:

а)

s = A cos (ωt);

б) s = A0 e

−α x

cos

ω t −

A r

r − r

в)

s =

0 0

cos ω t −

;

г)

s = A cos ω t −

x ; v

106

8.На рисунке показан график плоской гармонической волны, распространяющейся со скоростью 10 мс. Чему равен период колебаний частиц в волне?

s, м				а) 0,1 с;
0,1				б) 0,2 с;
				в) 5 с;
0	1	2	3 x, м	г) 20 с.
	1	2	3 x, м	г) 20 с.
-0,1

9.Установите соответствие между названием физической величины и выражающей ее формулой.

1)	интенсивность волны	а)	ε =	W ;
2)	поток энергии волны				V
3)	объемная плотность энергии волны	б) Φ = W				;
					t
		в)	I =		Wср		.
		в)	I =				.
					t S

10. Установите соответствие между физическими величинами и единицами их измерения:

1)	период волны;	а) м;
2)	частота волны;	б) м с;
3)	длина волны;	в) с;
4)	фазовая скорость волны;	г) Гц.

Акустика

11. Скорость распространения звука в воздухе равна 330 мс. Максимальная длина волны

звука в воздухе составляет ... :
а) 0,0165 м;	б) 16,5 м;	в) 20 м;	г) 330 м.

12.На рисунке показан график колебаний добавочного давления в звуковой волне. Чему равно звуковое давление?

p 10−5 Па								а) 5,6 10−5 Па ;
2,8								б) 2,8 10−5 Па ;
0	1	2	3 4	5	6	t, 10	−3 с	в) 2,0 10−5 Па;
0								г) 1,2 10−5 Па.
-2,8
-2,8

13.Звуковая волна распространяется в воде со скоростью 1450 мс. При этом амплитуда добавочного давления составляет 1,2 10−3 Па. Чему равна амплитуда колебательной

скорости частиц воды? Среднее значение плотности воды 103 кгм3 .

а) 0,2 10−9 м с;

б) 0,4 10−9 м с;

в) 0,8 10−9 м с;

г) 1,2 10−9 м с.

14.Две звуковые волны одинаковой фазовой скорости распространяются в воздухе. Чему равно отношение их интенсивностей, если звуковое давление первой волны в 4 раза

больше, чем второй?
а) 2;	б) 4;	в) 8;	г) 16.

107

15.Установите соответствие между названием физической величины и выражающей ее формулой.

1)	pср.кв =		pm	;	а) добавочное давление
			2		б) звуковое давление
2)	p = ρ c v ;				в) сила звука
		pср2 .кв			в) сила звука
3)	I =	pср2 .кв	;
3)	I =	ρ c	;
		ρ c

16. Интенсивность простого звукового тона равна 10− 6 Втм2 . Чему равен уровень интенсивности данного звука, если интенсивность звука на пороге слышимости при частоте

1 кГц составляет I0 = 10−12 Вт м2 ?
а) 10	6	дБ;	б) 6 дБ;	в) 60 дБ;	г) 0,001 дБ.
а) 10		дБ;

17.Если интенсивность простого звукового тона увеличится в 100 раз, то уровень интенсивности ... :

а) увеличится	б) увеличится	в) уменьшится	г) уменьшится
на 100 дБ;	на 20 дБ;	на 100 дБ;	на 20 дБ.

18. Дополните следующее определение: « ... - субъективная оценка частоты звукового

сигнала».
а) громкость;	б) высота;	в) тембр.

19. Выберите правильное определение: «Аудиограммой называется ... »:

а) график, объединяющий слышимые человеком звуки одного и того же уровня громкости;

б) график, представляющий разность уровней громкости стандартного порога слышимости и график порога слышимости обследуемого пациента;

в) график зависимости уровня интенсивности звука от интенсивности; г) график порога слышимости от частоты.

20. К характеристикам слухового ощущения относят:

а) громкость звука б) частоту звука в) звуковое давление г) интенсивность звука

Механика жидкости

21.Для молекулярного строения жидкости характерно:

а) расстояние между молекулами невелико, силы взаимодействия значительны; б) расстояние между молекулами велико, силы взаимодействия значительны; в) расстояние между молекулами невелико, силы взаимодействия небольшие; г) расстояние между молекулами велико, силы взаимодействия небольшие.

22.Сечение горизонтальной трубки изменяется вдоль оси, как показа-

но на рисунке справа. Какой из графиков правильно отражает за-
висимость скорости течения от длины трубки?
v	1		а) 1;	S1
			б) 2;

	2		в) 3;
			г) 4.
0		3

	4		l

108

23. Установите соответствие между физическими понятиями и соответствующими обо-

значениями в уравнении Бернулли:			p ;
1)	гидростатическое давление;	а)
2)	динамическое давление;	б) ρ g h ;
			ρ v2
3)	статическое давление.
		в)	2 .

24. Определите гидростатическое давление, оказываемое столбом жидкости высотой 10

см. Плотность жидкости равна 1г см3 .
а) 1 Па;	б) 10 Па;	в) 102 Па ;	г) 103 Па.

25. Плотность жидкости, текущей равномерно со скоростью 100 смс в цилиндрической трубке, равна 1гсм3 . Тогда динамическое давление составляет:

а) 5 Па;

б) 10 Па;

в) 100 Па;

г) 500 Па.

26. На рисунке показано стационарное движение идеальной жидкости по трубе переменного сечения. На каком участке трубы статическое давление жидкости наибольшее?

				а) 1;
1	2	3	4	б) 2;
1	2	3	4	в) 3;
				в) 3;
				г) 4.

27.Чему равна сила внутреннего трения, возникающая при ламинарном течении ньютоновской жидкости по цилиндрической трубке, площадь стенки которой 0,02 м2 . Гра-

диент скорости 5 103 с−1 , вязкость жидкости η = 2мПа с.
а) 5Н;	б) 2 Н;	в) 0,2 Н;	г) 0,1Н.

28.Зависимость вязкости крови от градиента скорости обусловлена: а) тенденцией эритроцитов собираться в группы; б) малой вязкостью крови;

в) разной скоростью крови в разных точках сечения сосуда; г) уменьшением статического давления крови вдоль сосуда.

29.Какой из представленных графиков правильно отражает зависимость вязкости крови от гематокритного числа?

η	1 2	3	а) 1;
		3	б) 2;
			б) 2;
		4	в) 3;
0	гематокритное		г) 4.
	число

30.Установите соответствие в следующих соотношениях:

1)при последовательном соединении двух трубок;

2)при параллельном соединении двух трубок;

109

общее гидравлическое со-

общее падение давления ...

общая объемная скорость

противление потоку жидко-

p =

p1 + p2 ;

жидкости ...

сти равно...

II)

p = p = p

;

α ) Q = Q1 + Q2 ;

β ) Q = Q1 = Q2 .

а) R =

+ R

;

б) R = R1 + R2 ;

31. Жидкость плотностью 103 кгм3 протекает в цилиндрической трубке диаметром 1 см со скоростью 0,1 мс. Вязкость жидкости 1мПа с. Число Рейнольдса для данного те-

чения жидкости равно:
а) 100;	б) 1000;	в) 2000;	г) 4000.

32. Жидкость плотностью 103 кгм3 протекает в цилиндрической трубке диаметром 1 см со скоростью 0,1 мс. Вязкость жидкости 1мПа с. Число Рейнольдса для данного те-

чения жидкости равно:
а) 100;	б) 1000;	в) 2000;	г) 4000.

Механика твердого тела

33.Дополните следующее определение: «Деформация - это ... ».

а) способность тел противостоять разрушению, выдерживая заданную нагрузку; б) сопротивление перемещению одной части тела относительно другой; в) изменение формы и объема тела под действием приложенных к нему сил; г) разрушение тел при нагрузках, меньших предела прочности.

34.Деформация, которая сохраняется после снятия вызвавшей ее нагрузки, называется:

а) упругой;

б) пластической;

в) растяжением;

г) текучестью.

35.Дополните следующее определение: «Относительная деформация - это ... ». а) отношение приращения размера тела к начальному размеру; б) отношение силы модуля силы упругости к площади сечения тела;

в) отношение перемещения тела к промежутку времени, за который это перемещение произошло;

г) отношение изменения скорости частей тела к расстоянию между ними.

36.Под действием приложенной нагрузки образец длиной 10 см увеличился на 0,7 см.

Чему равна относительная деформация образца?
а) 7;	б) 0,07;	в) 9,3;	г) 10,7.

37.Сила упругости, возникающая в результате растяжения стержня, равна 10 Н. Площадь сечения стержня составляет 0,5 см2 . Чему равно механическое напряжение?

а) 2 Н м2 ;	б) 0,5 Н м2 ;	в) 0,00005 м2 Н;	г) 200000 Н м2 .
38. Укажите формулу, соответствующую закону Гука:
а) σ = E ε ;	б) E = ε σ ;	в) ε = E σ ;	г) σ = E ε .

39.В настоящее время в ортопедической стоматологии и имплантологии широкое распространение получили сплавы титана, например, ВТ1-00, ВТ1Л, TiNi. Чему равно удли-

нение стержня, изготовленного из сплава ВТ1-00 длиной 10 см, площадью сечения

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]