Физика. Математика. Учебное пособие-1

Глава 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее в общем случае аргумент, функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков

f (x, y, y',...) = 0 .

Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение на-

зывается обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящего в него.

Пример: обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка dd xy = f (x, y).

Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка кото-

рой в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения является множество решений, со-

держащее произвольную постоянную C: y = ϕ (x, C).

Решение дифференциального уравнения, не содержащее произвольной постоянной, называется частным. Для его нахождения надо знать так называемые начальные условия,

то есть пару значений (x0 , y0 ). Подставляя начальные условия в общее решение, можно

определить постоянную интегрирования C. Возвращаем ее значение в общее решение, в результате получаем частное решение дифференциального уравнения.

Пусть начальное условие задано в виде: y = 1 при x = 0 . Тогда из общего решения найдем

го уравнения.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде: y'= f1 (x) f2 (y). Правая часть этого уравнения есть произведение двух функций, каждая из которых зависит только от

11

Глава 4

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

4.1. Основные понятия теории вероятностей случайного события

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, величин, явлений и процессов.

Событие, которое может произойти или не произойти при одних и тех же условиях, называется случайным. Примером случайного события может быть появление в кабинете врача больного с данным заболеванием.

Событие, которое при данных условиях должно произойти обязательно, называется

достоверным.

Событие, которое при данных условиях произойти не может, называется невоз-

можным.

Числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного случайного события A называется вероятностью P (A).

A.Статистическое определение вероятности

Пусть в результате n испытаний событие A произошло m раз. Величина P *(A) = mn

называется частотой появления события A. При увеличении числа испытаний n частота событий становится примерно постоянной. Тогда вероятностью случайного события называется предел, к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний:

Б. Классическое определение вероятности

Результат одного испытания назовем исходом. Исходы, при которых интересующее нас событие происходит, называются благоприятными данному событию. Вероятность случайного события вычисляется как отношение числа исходов, благоприятных этому событию, m к общему числу исходов n:

P (A) = mn .

Данный способ вычисления вероятности можно использовать, только если нам известны все исходы, и все они равновозможны. Иначе для вычисления вероятности необходимо провести серию экспериментов и применять статистическое определение вероятности.

Пример 1. В корзине находится 50 шаров: 10 черных и 40 белых. Найти вероятность того, что вытянутый один шар будет черным.

Решение. Число благоприятных исходов равно числу черных шаров m = 10 . Общее число равновозможных событий (вынимание одного шара) равно полному числу шаров в

корзине n = 50 . Тогда получаем: P (A) = mn = 1050 = 15 = 0,2 .

12

4.2. Основные теоремы теории вероятностей случайного события

Несовместными называются события, если их одновременное осуществление невозможно.

Теорема сложения вероятностей: вероятность появления хотя бы одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей. Для двух событий имеем:

P (A или B) = P (A)+ P (B).

Пример 2. Найти вероятность выпадения «2» или «5» при бросании игрального ку-

бика.

Решение Событие A - выпадение «2», P (A) = 16 ;

Событие B - выпадение «5», P (B) = 16 ;

Тогда для события A или B по формуле теоремы сложения вероятностей получаем

P (A или B) = P (A)+ P (B) = 16 + 16 = 13 .

Пример 3. В корзине находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 синих. Найти вероятность появления белого или черного или красного шара при однократном изъятии шара из корзины.

Решение Событие A - вынимание белого шара, P (A) = 1050 = 15 ;

Событие B - вынимание черного шара, P (B) = 5020 = 52 ;

Событие C - вынимание красного шара, P (C) = 505 = 101 ;

По формуле сложения вероятностей имеем

P (A или B или C) = P (A)+ P (B)+ P (С) = 15 + 52 + 101 = 107 .

Противоположным данному событию A называется такое событие A , которое заключается в том, что событие A не произошло. Сумма вероятностей противоположных

событий равна единице: P (A)+ P (A)= 1.

Полной системой событий называется такая совокупность событий, которая содержит все возможные исходы испытаний, т.е. в результате испытаний появится хотя бы одно из них. Например, числа от «1» до «6» составляют полную систему событий при бросании игрального кубика.

Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице (для несовместных событий):

P (A)+ P (B)+ = 1.

13

Теорема умножения вероятностей: вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей. Для двух событий имеем:

P (A и B) = P (A) P (B).

Пример 4. В одной корзине находится 5 черных и 10 белых шаров, в другой – 7 черных и 9 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой корзины оба шара окажутся: а) черными; б) белыми; в) из первой корзины вынут черный шар, а из второй – белый; г) из первой корзины вынут белый шар, из второй – черный.

Решение Событие A - вынимание черного шара из первой корзины, P (A) = 155 = 13 ;

Событие B - вынимание белого шара из первой корзины, P (B) = 1015 = 32 ;

Событие C - вынимание черного шара из второй корзины, P (C) = 167 ;

Событие D - вынимание белого шара из второй корзины, P (D) = 169 ; По формуле умножения вероятностей находим:

из второй - черный.

Все четыре возможных события, рассмотренные в данном примере, образуют полную систему событий, поэтому их сумма равна единице.

Условной вероятностью случайного события B называется его вероятность при условии, что произошло какое-либо другое событие, например, A. Условная вероятность

обозначается P (B A).

Вероятность события, состоящего из совместного появления двух зависимых между собой событий A и B (причем B зависит от того, произошло ли событие A) равна:

P (A и B) = P (A) P (B A).

Пример 5. В коробке находятся 5 синих и 2 красных карандаша. Какова вероятность того, что последовательно один за другим будут вынуты красный и синий карандаши?

Решение Событие A - первым вынут красный карандаш, P (A) = 72 ;

Событие B - после красного вынут синий карандаш, P (B A) = 56 ;

По формуле умножения вероятностей получаем:

P (A и B) = P (A) P (B A) = 72 56 = 215 .

14

Пусть в результате испытаний могут появиться несколько событий A1 , .., An , при-

чем вероятности появления каждого из события известны. Тогда вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна разности между единицей и произведением веро-

ятностей противоположных событий A1 , .., An :

P (A) = 1− P (A1 ) P (An ).

Пример 6. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий: P (A1 ) = 0,8 , P (A2 ) = 0,7 , P (A3 ) = 0,9 . Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие A) при

одном залпе из всех орудий.

Решение

Вероятности событий, противоположных событиям A1 , A2 и A3 , соответственно равны P (A1 )= 0,2 , P (A2 )= 0,3, P (A3 )= 0,1. Тогда искомая вероятность

P (A) = 1− P (A1 ) P (A2 ) P (A3 )= 1− 0,2 0,3 0,1 = 0,994 .

15

Глава 5

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

5.1. Основные понятия теории вероятностей случайной величины

Случайная величина – это величина, которая в зависимости от тех или иных не поддающихся учету обстоятельств может принимать различные численные значения (например, число больных на приеме у врача).

Случайная величина называется дискретной, если она может принимать конечное или счетное множество значений (например, число рождений в городе).

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые значения в определенном интервале значений (например, вес и рост человека).

5.2. Распределение и характеристики дискретной случайной величины

Для того чтобы полностью охарактеризовать дискретную случайную величину, надо указать все ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Совокупность этих данных называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения можно задать в виде таблицы, графика (рис. 5.1) или формулы.

P

pi

Поскольку все возможные значения дискретной случайной величины представляют полную систему, то сумма их вероятностей должна быть равна единице:

n

p1 + p2 + + pn = pi = 1 (условие нормировки).

i=1

Важным примером распределения дискретной случайной величины является так называемое биноминальное распределение. Оно позволяет определить вероятность того, что событие A произойдет m раз в n испытаниях:

16

Пример 1. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в 6 пробах колония появится 4 раза.

Закон распределения можно задать и с помощью функции распределения. Функцией распределения F (x) случайной величины X называется вероятность того, что величина X примет значение, меньше данного:

F (x) = P (X < x),

где x – произвольное вещественное число.

Функция распределения дискретной случайной величины определяется по форму-

ле:

F (x) = pi .

xi< x

Пример 2. Построить функцию распределения дискретной случайной величины X, если задан закон распределения:

Событие X < 1 равносильно X = 0 , тогда F (x) = P (X < 1) = P (0) = 0,3; Событие X < 2 равносильно X = 0или1,

тогда F (x) = P (X < 2) = P (0)+ P (1) = 0,3 + 0,2 = 0,5 ,

Событие X меньше любого числа большего 2 равносильно X = 0или1или2 ,

тогда F (x) = P (X < 2) = P (0)+ P (1)+ P (2) = 0,3 + 0,2 + 0,5 = 1.

В результате искомая функция распределения задается следующим образом:

График данной функции показан на рис. 5.2.

F (x) 1

0,5

0,3

Рис. 5.2

17

Случайную величину характеризуют такими числовыми параметрами, как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Математическим ожиданием M (X ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

n

M (X ) = x1 p1 + x2 p2 + + xn pn = xi pi .

i=1

Математическое ожидание указывает некоторое значение, вокруг которого группируются все значения случайной величины.

Дисперсией D (X ) называют математическое ожидание квадрата отклонения возможных значений случайной величины X от своего математического ожидания:

D (X ) = M (X − M (X ))2 .

Для дискретной случайной величины дисперсию вычисляют по формуле:

Дисперсия характеризует степень рассеяния или разброса отдельных значений случайной величины около математического ожидания.

Средним квадратичным отклонением σ (X ) случайной величины X называется ко-

рень квадратный из дисперсии:

σ (X ) = D (X ) .

Данный параметр удобен тем, что он имеет размерность самой случайной величины.

5.3. Распределение и характеристики непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная величина характеризуется вероятностью того, что те или иные ее значения попадают в определенные интервалы, на которые заранее делится промежуток между ее крайними возможными значениями. При этом вводится новое понятие функции плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Плотностью вероятности случайной величины X называется функция f (x), опре-

деляемая равенством

где P (x < X < x + x) - вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значения между x и x + x .

Вероятность того, что случайная величина X принимает какое-либо значение в интервале (a; b), равна

b

P (a < X < b) = f (x) d x .

a

18

Функция распределения F (X ) связана с функцией плотности вероятности по фор-

муле

x

F (X ) = f (x) d x .

−∞

∞

Соотношение f (x) d x = 1 называется условием нормировки функции плотности

−∞

вероятности.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание M (X ) и дисперсия D (X ) вычисляются по следующим формулам:

∞

M (X ) = x f (x) d x ,

−∞

5.4. Нормальный закон распределения

Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, если на нее действует большое число случайных факторов, каждый из которых сам по себе является малым и не зависит от других. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины описывается функцией Гаусса:

где a = M (X ) - математическое ожидание случайной величины,

σ - среднее квадратичное отклонение.

График плотности вероятности нормального распределения, или кривая Гаусса, показана на рис. 5.3.

f (x) 1

σ 2 π

Рис. 5.3

19

Функция распределения в данном случае имеет вид:

Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, в промежуток (α; β) равна:

20