Физика. Математика. Учебное пособие-1

Глава 16

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ

16.1. Поглощение света

Поглощением света называется ослабление интенсивности света при прохождении через любое вещество вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии (тепловую, фотохимическую и др.).

Закон поглощения был экспериментально открыт П. Бугером (1729) и заключается в следующем: в каждом слое одинаковой толщины поглощается одна и та же часть падающего светового потока (закон поглощения Бугера). Соответствующее математическое выражение имеет вид:

− dII = α d x ,

где I - интенсивность света, падающего на слой бесконечно малой толщины d x (рис. 16.1), − d I - убыль интенсивности света после прохождения слоя, α - показатель поглощения (величина, показывающая, какая часть энергии падающего света поглощается слоем единичной толщины), [α] = 1м−1 .

Рис. 16.1

Если интенсивность света падающего на слой вещества толщиной l равна I0 , то для интенсивности прошедшего света получаем

I = I0 e− α l .

График изменения интенсивности света в зависимости от толщины l слоя вещества, через который проходит свет, представлен на рис. 16.2.

I0

d V = S d x

91

Поглощение света обусловлено взаимодействием его квантов (фотонов) с атомами вещества. Рассмотрим некоторый слой вещества (рис. 16.3) толщиной d x и площадью

сечения S, на который падает световой поток. Объем слоя равен d V = S d x . Пусть n -

концентрация атомов, поглотивших кванты света, s - малый элемент площади сечения, которую занимает один из таких атом, поглотивший квант. Тогда доля площади, в которой происходит поглощение квантов света атомами данного слоя, s N в общей площади S равна:

Энергия световой волны пропорциональна среднему числу квантов, содержащихся в объеме слоя d V . Следовательно, доля поглощенных квантов равна относительному

уменьшению интенсивности излучения − d I I :

− dII = s n d x .

Откуда после интегрирования получаем

I= I0 e− s nl .

Вслучае окрашенных растворов обычно пользуются молярной концентрацией C = nN A , тогда произведение s n = s C N A = χ C , где χ = s N A - молярный показатель

поглощения. Тогда закон поглощения принимает форму:

I= I0 e−χ Сl (закона Бугера-Ламберта-Бера для окрашенных растворов).

Влабораторной практике данный закон выражают через показательную функцию с основанием 10:

Пусть T = II0 - коэффициент пропускания света веществом. Введем оптическую плотность D раствора по следующей формуле:

D = lg T1 = lg II0 = ε C l .

Оптическая плотность удобна тем, что она линейно связана с концентрацией определяемого вещества. Метод определения концентрации вещества в окрашенном растворе называется фотоколориметрией.

Поглощение света следует отличать от его рассеяния. Рассеяние света - это явление, сопровождающееся изменением направления распространения света при прохождении через вещество и проявляющееся как несобственное свечение вещества. Согласно закону Рэлея (1899) интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны.

92

16.2. Лазер

Лазер (оптический квантовый генератор) - это устройство, которое является генератором когерентных электромагнитных волн (видимого, инфракрасного и ультрафиолетового диапазонов) на основе вынужденного излучения атомов и молекул.

Основные элементы лазера (рис. 16.4):

1)активная среда как усилитель световой волны,

2)устройство для создания инверсии в активной среде (система накачки),

3)устройство обратной связи в виде системы зеркал.

2

Рис. 16.4

Рассмотрим два энергетических уровня E1 и E2 атомов среды, между которыми

возможны следующие типы процессов:

а) спонтанное излучение - самопроизвольное испускание кванта электромагнитного излучения (фотона) в результате перехода с более высокого E2 энергетического уровня

на более низкий E1 (рис. 16.5а);

б) поглощение - переходы с более низкого E1 на более высокий E2 уровень под действием излучения; они обуславливают поглощение излучения веществом (рис. 16.5б);

в) вынужденное (индуцированное) излучение - переходы с более высокого E2 энер-

гетического уровня на более низкий E1 , связанные с испусканием фотонов под действием излучения (рис. 16.5в). В результате взаимодействия возбужденного атома с фотоном, энергия которого равна энергии перехода h ν = E2 − E1 , появляется два совершенно одинаковых фотона (с такой же частотой, фазой, поляризацией и направлением).

Рассмотрим прохождение излучения через вещество. В обычных условиях имеет место ослабление пучка света, т.к. во взаимодействии излучения с веществом преобладают процессы поглощения (число атомов в основном состоянии больше, чем в возбужден-

ном N1 > N2 ). Если создать условия, при которых бóльшее число атомов находится в возбужденном состоянии N2 > N1 (т.н. инверсия населенности в среде), то интенсивность

света будет увеличиваться за счет вынужденного излучения. Процесс создания инверсии населенности в среде называется накачкой. Например, в твердотельных лазерах в качестве системы накачки в основном используется лампа с мощным импульсным излучением.

93

Разберем схему генерации лазерного излучения по трехуровневой схеме (рис. 16.6). Под действием накачки электроны в атомах вещества с основного уровня E1 переходят в

некоторое возбужденное состояние в полосе поглощения E3 . В состоянии E3 электрон

находится очень короткий промежуток времени ( ~ 10−8 с), после чего он самопроизвольно переходит на уровень E2 без излучения. Уровень E2 является метастабильным

(сравнительно долгоживущий со временем жизни ~ 10−3 с). За счет этого создается инверсия населенности между уровнями E1 и E2 . Лазерный переход с уровня E2 на уровень E1 происходит в результате вынужденного излучения фотонов с энергией

h ν = E2 − E1 .

В лазерных генераторах света необходимо наличие обратной связи, т.е. часть излученного света все время должна находиться в зоне активного вещества и вызывать вынужденное излучение все новых и новых атомов. Для этого активное вещество помещают между двумя зеркалами. В простейшем случае используется система из двух плоских параллельно расположенных зеркал, одно из которых полностью отражает падающий на него свет, а другое является полупрозрачным.

переход безE3 излучения

E1

Рис. 16.6

Свойства лазерного излучения:

1)когерентность лазерного излучения; когерентное излучение состоит из волн, разность фаз которых остается постоянной во времени;

2)монохроматичность лазерного излучения; составляющие лазерного излучения

очень мало отличаются по длине волны λ ≈ 0,01 нм;

3)высокая степень направленности лазерного излучения; расходимость лазерного пучка составляет 0,5-10 мрад;

4)высокая степень поляризации лазерного излучения;

5)высокая интенсивность лазерного излучения; излучение от лазера можно сфокусировать в область очень малого размера.

Лазеры, используемые в медицине, делятся на два вида: низкоинтенсивные или те-

( ~ 102 ÷ 106 Втсм2 ).

Воздействие низкоинтенсивных лазеров обусловлено фотобиоактивацией. Поглощая энергию кванта лазерного излучения, биологические молекулы оказываются в возбужденном состоянии и приобретают высокую реакционную способность. Это позволяет им более активно участвовать в разнообразных клеточных процессах.

Если излучение исходит от высокоинтенсивного сфокусированного лазера, то количество выделяющегося тепла велико, и в ткани возникает температурный градиент. В месте падения луча ткань испаряется, в прилегающих участках происходит обугливание и коагуляция. Такое фотоиспарение используют для послойного удаления или разрезания ткани. С помощью лазерной коагуляции завариваются сосуды и останавливается кровотечение.

94

Глава 17

РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

17.1. Физика рентгеновских лучей

Рентгеновские лучи - это электромагнитное излучение в диапазоне длин волн от 10−5 нм до 80 нм. В медицинской практике рентгеновское излучение с длиной волны λ < 1 нм называется жестким, с λ > 1 нм - мягким.

Рентгеновское излучение невидимо для глаза и наблюдается с помощью специальных фотопластинок или фотопленок; проникает через тела, непрозрачные для видимого излучения; обладает всеми свойствами электромагнитных волн (интерференцией, дифракцией, дисперсией и т.д.).

рентгеновские

лучи катод анод

e

U ~ 10 кВ

А

Рис. 17.1

Обычно в качестве источника рентгеновского излучения используют рентгеновскую трубку (рис. 17.1) - стеклянную вакуумную колбу с двумя электродами (анодом и катодом), между которыми создается высокое электрическое напряжение ~ 10 кВ. Катод

подключен к источнику низкого напряжения (напряжения накала). протекая по спирали катода электрического тока, он нагревается, и некоторые электроны получают дополнительную кинетическую энергию, достаточную, чтобы покинуть поверхность катода (термоэлектронная эмиссия). Оказываясь в электрическом поле между катодом и анодом, поток электронов разгоняется до больших скоростей, а затем резко тормозится и рассеивается полем атомов анода. Такое изменение траектории электронов означает, что у них появляется значительное ускорение, а любой ускоренно движущийся заряд излучает энергию в виде электромагнитных волн. В данном случае это электромагнитные волны рентгеновского диапазона. Рентгеновское излучение, возникающее подобным образом, получило название тормозного излучения.

Спектр тормозного излучения является непрерывным (сплошным), поскольку создающие его электроны обладают разной энергией. Следует отметить у спектра тормозного

излучения наличие так называемой коротковолновой границы λ min (рис. 17.2). Существо-

вание коротковолновой границы спектра обусловлено тем, что энергия кванта излучения не может быть больше работы поля в трубке по разгону электрона h ν ≤ eU . Знак равен-

ства соответствует максимальной частоте излучения или минимальной длине волны, т.е. коротковолновой границе:

Чем больше ускоряющее напряжение U, тем меньше коротковолновая граница тормозного рентгеновского излучения λ min и тем более жестким оно становится.

95

Iλ

U1 > U 2

Рис. 17.2

При больших значениях напряжения на трубке на фоне сплошного спектра 1 проявляются пики 2 характеристического излучения (рис. 17.3). Характеристическое рентгеновское излучение возникает, если сталкивающиеся с анодом электроны обладают энергией, достаточной для удаления электрона с внутренней орбитали атома вещества анода. При этом на указанную орбиталь может перейти электрон с внешней орбитали (рис. 17.4),

отдав свою энергию в виде кванта рентгеновского излучения с энергией h ν = Em − En и длиной волны:

Поскольку каждый атом обладает индивидуальным набором дискретных энергетических уровней, то и спектр характеристического излучения индивидуален для атомов того или иного химического излучения.

Зависимость частоты ν характеристического излучения от атомного номера Z химического элемента вещества анода определяется законом Мозли:

ν = К (Z − 1),

где K - постоянная для данной спектральной линии.

17.2. Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом. Физическое обоснование применения рентгеновских лучей в медицине

Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом зависит от соотношения между энергией кванта излучения ε = h ν и энергией связи A электрона в атоме вещества:

1.Если энергии кванта рентгеновского излучения недостаточно для ионизации атомов вещества ε < A , то наблюдается лишь изменение направления распространения (рассеяние) квантов без изменения частоты: ε = ε' . Данное явление получило название когерентное рассеяние (рис. 17.5а).

2.Если энергия кванта излучения сравнима с энергией ионизации ε ~ A , то возникает явление фотоэффекта (рис. 17.5б), при котором поглощение кванта сопровожда-

96

ется удалением электрона из атома и сообщением ему кинетической энергии:

ε= A + Eк .

3.При больших энергиях кванта излучения ε >> A может произойти некогерентное рассеяние (эффект Комптона) (рис. 17.5в). Данное явление представляет собой взаимодействие фотонов с относительно слабо связанными электронами внешних орбиталей атомов. Кроме электрона отдачи в этом процессе появляется вторичный рентгеновский фотон с меньшей энергией: ε = Eк + ε' .

Рассмотренные нами процессы (когерентное рассеяние, фотоэффект, эффект Комптона) обуславливают ослабление интенсивности рентгеновского излучения в веществе. Закон ослабления излучения (закон Бугера) имеет вид:

I = I0 e−μ d ,

где I0 - интенсивность падающего на вещество рентгеновского излучения данной длины

волны, I - интенсивность рентгеновского излучения, прошедшего в веществе слой тол-

щины d, μ - линейный коэффициент ослабления рентгеновского излучения веществом

(рис. 17.6). На практике часто используют величину слоя половинного ослабления d1 2 -

расстояние, после прохождения которого интенсивность рентгеновского излучения уменьшается в 2 раза:

Линейный коэффициент ослабления представляет собой сумму коэффициента τ истинного поглощения и коэффициента σ рассеяния, т.е. μ = τ + σ . Коэффициент τ истинно-

го поглощения характеризует процессы фотоэффекта и, частично, эффекта Комптона. Одним из наиболее важных медицинских применений рентгеновского излучения

является рентгенодиагностика - диагностика заболеваний различных внутренних органов при помощи просвечивания тела рентгеновскими лучами. При этом важную роль играет зависимость коэффициента ослабления вещества ткани от свойств ткани. Так как коэффи-

97

циент μ зависит от плотности ρ вещества, предпочитают пользоваться массовым коэффициентом ослабления μ m = μρ . Для него справедливо следующее соотношение:

μ m = k λ3 Z 3 ,

где k - коэффициент пропорциональности, λ - длина волны излучения, Z - атомный номер вещества, составляющего ткань.

Для одного и того же вещества ( Z = const ) μ m ~ λ3 , поэтому сильнее поглощается

мягкое рентгеновское излучение с бóльшей длиной волны.

Мягкие ткани организма состоят в основном из элементов с атомным номером Z до 8 (H, C, N, O), тогда как минеральное вещество костей имеет Z = 15-20 (P и Ca). Поэтому для отношения массовых коэффициентов ослабления получаем:

Следовательно, кости значительно сильнее ослабляют рентгеновское излучение, чем мягкие ткани, в результате становится возможным получение контрастной картины рентгеновского изображения. На этом основаны следующие методы использования рентгенодиагностики:

a) рентгеноскопия - наблюдение органов и тканей в проходящем рентгеновском излучении с помощью флуоресцирующего экрана;

б) рентгенография - получение изображения внутренних органов, просвечиваемых рентгеновскими лучами, на фотопленке, покрытой чувствительной эмульсией;

в) радиовизиография - просвечивание зубного ряда импульсным рентгеновским излучением (длительность импульса ~ 0,05 с) с получением его изображения при помощи небольшого датчика, помещаемого в полость рта;

г) рентгеновская томография - получение послойного рентгеновского изображения внутренних органов человека или организма в целом.

Рентгеновское излучение используется также для лечебных целей в рентгенотерапии. Биологическое действие рентгеновского излучения заключается в нарушении жизнедеятельности малодифференцированных и быстроразмножающихся клеток.

98

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

1. Элементы дифференциального исчисления

Функция

Постройте графики следующих функций:

1.1.y = 2 x + 1;

1.2.s = 2 cos (π t);

1.3.I = 10 e−2 x ;

Предел функции

Найдите пределы:

Производная элементарных функций

1.6. Запишите таблицу производных элементарных функций.

Правила дифференцирования

Используя правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:

99

Производные высших порядков

Проведите повторное дифференцирование следующих функций:

1.35.y = x2 − 3 x + 2 , y'''− ?

1.36.y = 7 cos 5 x , y''− ?

1.37.s = A cos ω t , s''− ?

2. Элементы интегрального исчисления

Неопределенный интеграл

Найдите следующие неопределенные интегралы:

2.6. (8 sin x + 1)d x ;

Метод замены переменных

Воспользуйтесь методом замены переменных для нахождения следующих неопределенных интегралов:

Метод интегрирования по частям

Воспользуйтесь методом интегрирования по частям для нахождения следующих неопределенных интегралов:

Определенный интеграл

Вычислите следующие определенные интегралы:

100