Планирование эксперимента. Учебное пособие-1

Ⱦɢɚɩɚɡɨɧɵ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ

xi PLQ d xi d xi PDx ɝɞɟi n

ɢ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɮɚɤɬɨɪɧɨɟ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɤɨɬɨɪɨɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɨɛɥɚɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟ

ɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬɤɥɢɤɚ Ɉɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɞɜɭɯ ɛɟɡɪɚɡɦɟɪɧɵɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ

ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɤɜɚɞɪɚɬ ɞɥɹ ɬɪɟɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ± ɤɭɛ ɞɥɹ ɛɨɥɶɲɟɝɨ ɱɢɫɥɚ ɮɚɤ

ɬɨɪɨɜ ± ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɵɣ ɤɭɛ

ɂɬɚɤ ɡɚɞɚɱɚ ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨɛɵ ɩɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɨɩɪɟ

ɞɟɥɢɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ ɨɬɤɥɢɤɚ

y f x x xn H

ɝɞɟH ± ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ

Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶɤɚɤɢɟ ɮɚɤɬɨɪɵ ɢɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɨɤɚɡɵɜɚɸɬ

ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚ ɮɭɧɤɰɢɸ ɨɬɤɥɢɤɚɤɚɤ ɨɰɟɧɢɬɶ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɧɚɣɞɟɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬɤɥɢɤɚ

ɤɚɤ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɧɚɣɞɟɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬɤɥɢɤɚ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɟɟ ɨɩɬɢɦɚɥɶ ɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ"

ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɤɨɝɞɚ ɮɭɧɤɰɢɹ ɨɬɤɥɢɤɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɨɞɧɢɦ ɮɚɤɬɨɪɨɦ ɪɟɲɟɧɢɟ

ɡɚɞɚɱɢ ɧɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɥɨɠɧɨɫɬɢ

Ɂɚɞɚɜɲɢɫɶ ɧɟɤɨɬɨɪɵɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨɦn ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɷɬɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ x ɞɥɹ ɤɚɠ ɞɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ x x xn ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɨɩɵɬɨɜ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɫɨɨɬ ɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ y y yn ɢ ɩɨ ɧɚɣɞɟɧɧɵɦ ɬɨɱɤɚɦ ɫɬɪɨɢɬɫɹ ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢy f x ɪɢɫ

ɊɢɫȽɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɵɣ ɩɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦ ɨɩɵɬɨɜ

ɉɨ ɝɪɚɮɢɤɭ ɩɨɞɛɢɪɚɟɬɫɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬɤɥɢɤɚ ɤɨ ɬɨɪɨɟ ɧɚɢɥɭɱɲɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɚɣɞɟɧɧɵɦ ɬɨɱɤɚɦ Ⱦɥɹ ɩɨɞɛɨɪɚ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɦɟɬɨɞ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɇɚɢɥɭɱɲɟɣ ɛɭɞɟɬ ɬɚɤɚɹ

ɮɭɧɤɰɢɹ ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɪɚɡɧɨɫɬɟɣ ɢɡɦɟɪɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ yi ɜ ɬɨɱɤɚɯx x xn ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɨɞɛɢɪɚɟɦɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ yi ɜ ɷɬɢɯ ɠɟ ɬɨɱɤɚɯ ɛɭ ɞɟɬ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɣ ɬɨ ɟɫɬɶ

n

¦ yi yi o PLQ

i

ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɞɜɭɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɡɚɞɚɱɚ ɭɫɥɨɠɧɹɟɬɫɹ Ɍɟɩɟɪɶ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɪɨɢɡɜɨ

ɞɢɬɶ ɨɩɵɬɵ ɞɥɹ ɪɚɡɧɵɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɚɤɬɨɪɨɜ Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ ɮɭɧɤɰɢɹ ɨɬɤɥɢɤɚɛɭɞɟɬɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɬɶɧɟɤɨɬɨɪɭɸɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶɜɬɪɟɯɦɟɪɧɨɦɩɪɨɫɬɪɚɧ ɫɬɜɟ ɪɢɫ

Ɋɢɫɉɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬɤɥɢɤɚ

ɉɪɢɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɯɡɧɚɱɟɧɢɹɯɨɬɤɥɢɤɚɦɨɠɧɨɩɨɫɬɪɨɢɬɶɪɹɞɫɟɱɟɧɢɣɢ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɢɪɨɜɚɬɶ ɝɪɚɮɢɤɢ ɫɟɱɟɧɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹɦɢ ɪɢɫ

Ɋɢɫɋɟɱɟɧɢɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɨɬɤɥɢɤɚ ɩɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɨɬɤɥɢɤɚ

ɋɟɱɟɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɢ ɩɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɮɚɤ

ɬɨɪɨɜ ɪɢɫ

ɉɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɤɪɢɜɵɟ ɫɟɱɟɧɢɣ ɢ ɢɯ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɚɰɢɢ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɨɥɟɡɧɵ ɞɥɹ

ɚɧɚɥɢɡɚ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬɤɥɢɤɚ

Ɋɢɫɋɟɱɟɧɢɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɨɬɤɥɢɤɚ ɩɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɮɚɤɬɨɪɨɜ

Ⱦɥɹ ɬɪɟɯ ɢ ɛɨɥɟɟ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɡɚɞɚɱɚ ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɧɟɪɚɡɪɟɲɢɦɨɣ

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɚɫɢɧɯɪɨɧɧɵɣ ɞɜɢɝɚɬɟɥɶ ȺȾ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ

ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚɩɪɹɠɟɧɢɹ ɱɚɫɬɨɬɵ ɢ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ ɨɛɦɨɬɤɢ ɹɤɨɪɹ ɧɚ ɟɝɨ ɚɤɬɢɜɧɭɸ

ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɢ ɩɭɫɤɨɜɨɣ ɦɨɦɟɧɬ ɪɢɫ

Ɋɢɫɂɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɚɫɢɧɯɪɨɧɧɨɝɨ ɞɜɢɝɚɬɟɥɹ

Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɨɩɵɬɨɜ ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɬɟɩɟɪɶ ɩɪɢ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɱɪɟɡɜɵɱɚɣɧɨ ɜɟɥɢɤɨ ɞɚɠɟ ɟɫɥɢ ɜɡɹɬɶ

ɬɨɥɶɤɨ ɩɹɬɶ ɬɨɱɟɤ ɜ ɞɢɚɩɚɡɨɧɟ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ ɬɨ ɩɨɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɨɩɵɬɨɜɞɥɹɤɚɠɞɨɝɨɨɬɤɥɢɤɚȼɬɚɛɥɢɰɟ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵɜɨɡɦɨɠɧɵɟɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɞɥɹ ɜɵɛɪɚɧɧɵɯ ɞɢɚɩɚɡɨɧɨɜ

Ɍ ɚ ɛ ɥ ɢ ɰ ɚ

Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ ɩɪɢ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɢ ȺȾ

ɂɡ ɬɚɛɥɢɰɵ ɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɪɚɡɧɵɟ ɮɚɤɬɨɪɵ ɢɦɟɸɬ ɪɚɡɧɵɟ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɢ ɜɨɥɶ

ɬɵ ɝɟɪɰɵ ɨɦɵ ɢ ɪɟɡɤɨ ɪɚɡɥɢɱɚɸɬɫɹ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨ Ɍɟɨɪɢɹ ɩɥɚɧɢɪɨɜɚɧɢɹ ɷɤɫ

ɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɩɪɟɞɥɚɝɚɟɬ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɛɟɡɪɚɡɦɟɪɧɵɟ ɤɨɞɢɪɨɜɚɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɚɤ

ɬɨɪɨɜ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɞɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ±

ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɚ ɧɚɱɚɥɨ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɩɟɪɟɧɨɫɢɬɫɹ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɜ ɬɨɱɤɭ ɫ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ X ɫɪ X ɫɪ X n ɫɪɝɞɟ ɛɨɥɶɲɚɹ ɛɭɤɜɚ X i ɫɪ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɫɪɟɞɧɟɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟi ɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ

Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ ɬɚɤɨɣ ɩɟɪɟɧɨɫ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɜ ɬɨɱɤɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɭɸ

ɫɪɟɞɧɢɦ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɢ ɩɟɪɟɯɨɞ ɤ ɤɨɞɢɪɨɜɚɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟ ɧɢɹɦ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɹ ɞɜɭɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɩɨɤɚɡɚɧ ɧɚ ɪɢɫ

ɉɭɫɬɶ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɩɪɨɬɟɤɚɧɢɹ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬn ɜɯɨɞɧɵɯ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ x x xn Ⱦɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɭ f x x xn ɩɨ ɢɡɦɟɪɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ y y yu y N ɜ N ɬɨɱɤɚɯ

ɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚɩɪɟɠɞɟɜɫɟɝɨɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɜɵɛɪɚɬɶɟɟɜɢɞɬɨɟɫɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɦɨɞɟɥɶ ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɦɨɞɟɥɢ ɛɭɞɟɦ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɦɨɞɟɥɶ ɪɟɝɪɟɫ ɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɜ ɜɢɞɟ

y f x x xn b b b bm H

ɝɞɟ b b b bm ±ɧɟɤɨɬɨɪɵɟɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵɤɨɬɨɪɵɟɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɨɩɪɟɞɟ ɥɢɬɶ

H ± ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ

ȼɵɛɟɪɟɦ ɩɨɥɢɧɨɦɢɚɥɶɧɭɸ ɦɨɞɟɥɶ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɡɚɞɚɜɚɟɦɭɸ ɩɨɥɢɧɨɦɨɦ ɩɨ ɮɚɤɬɨɪɚɦ ɉɨɥɢɧɨɦɨɦ ɥɸɛɚɹ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɨɩɢɫɚɧɚ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɬɨɱɧɨ Ɍɨɱɧɨɫɬɶ ɛɭɞɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɹɬɶɫɹ ɩɨɪɹɞɤɨɦ ɢ ɤɨ ɥɢɱɟɫɬɜɨɦ ɜɤɥɸɱɟɧɧɵɯ ɜ ɦɨɞɟɥɶ ɱɥɟɧɨɜ ɩɨɥɢɧɨɦɚ

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɦɨɞɟɥɶ ɜɢɞɚ

m

y b ¦bi fi x x xn H

i

Ɍɚɤɚɹ ɩɨɥɢɧɨɦɢɚɥɶɧɚɹ ɦɨɞɟɥɶ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɥɢɧɟɣɧɚɩɨ ɩɚɪɚ ɦɟɬɪɚɦ ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦb b b bm ɩɨ ɮɚɤɬɨɪɚɦ ɨɧɚ ɦɨɠɟɬ ɡɚ ɞɚɜɚɬɶɫɹ ɩɨɥɢɧɨɦɨɦ ɩɟɪɜɨɝɨ ɜɬɨɪɨɝɨ ɢ ɛɨɥɟɟ ɜɵɫɨɤɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ

ȿɫɥɢ ɢɡ ɨɛɳɢɯ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɣ ɨ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɢɬɶ ɱɬɨ ɯɚɪɚɤ

ɬɟɪ ɜɡɚɢɦɨɫɜɹɡɢ ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɩɨɥɢɧɨɦ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɜ ɜɢɞɟ

ɭ b b x b x bn xn

Ɍɚɤɭɸ ɥɢɧɟɣɧɭɸ ɦɨɞɟɥɶ ɬɚɤɠɟ ɫɬɪɨɹɬ ɜ ɫɥɭɱɚɹɯ ɤɨɝɞɚɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɨɩɵɬɨɜ ɞɥɹ ɛɨɥɟɟ ɫɥɨɠ

ɧɨɣ ɦɨɞɟɥɢɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɭɡɤɢɣ ɪɚɡɦɚɯ ɜɚɪɶɢɪɨɜɚɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ

Ƚɥɚɜɧɵɟ ɩɪɟɢɦɭɳɟɫɬɜɚ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɦɨɞɟɥɢ ± ɬɪɟɛɭɸɬ ɦɚɥɨɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɨɩɵɬɨɜ ɚ ɬɚɤɠɟ ɩɪɨɫɬɨɬɚ ɜ ɩɨɥɭɱɟɧɢɢ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɢ ɢ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɢ

Ⱦɥɹ ɭɱɟɬɚ ɜɥɢɹɧɢɹ ɧɚ ɮɭɧɤɰɢɸ ɨɬɤɥɢɤɚ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɦɨɞɟɥɶ ɦɨɠɧɨ

ɭɫɥɨɠɧɢɬɶ ɢ ɞɨɩɨɥɧɢɬɶ ɧɨɜɵɦɢ ɱɥɟɧɚɦɢ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɫ ɞɜɨɣɧɵɦɢ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹɦɢ

ɮɚɤɬɨɪɨɜ

y b b x b x bn xn b x x b n n xn xn

Ɍɚɤɢɟ ɦɨɞɟɥɢ ɦɨɝɭɬ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɞɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɛɨɥɶɲɢɧɫɬɜɚ ɪɟɚɥɶɧɵɯ ɩɪɢɤɥɚɞɧɵɯ ɡɚɞɚɱ Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɜ ɦɨɞɟɥɶ ɦɨɠɧɨ ɜɤɥɸɱɢɬɶ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɬɪɟɯ ɢ ɛɨɥɟɟ ɮɚɤɬɨɪɨɜ

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɱɢɫɥɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɩɨ ɱɟɬɵɪɟ ɢɡ ɩɹɬɢ

C

Ɍɚɤɢɦɢ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹɦɢ ɛɭɞɭɬ Ⱦɥɹɭɞɨɛɫɬɜɚɡɚɩɢɫɢɦɨɠɧɨɫɱɢɬɚɬɶɱɬɨɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬɮɢɤɬɢɜɧɵɣɮɚɤɬɨɪ

x ɜɫɟɝɞɚ ɪɚɜɧɵɣ ɟɞɢɧɢɰɟ Ɍɨɝɞɚ

Ʉɪɨɦɟɬɨɝɨɦɨɠɧɨɜɫɟɮɚɤɬɨɪɵɚɬɚɤɠɟɜɫɟɫɨɱɟɬɚɧɢɹɮɚɤɬɨɪɨɜɢɜɫɟ ɤɜɚɞɪɚɬɵ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɨɛɨɡɧɚɱɢɬɶ ɱɟɪɟɡ xi Ɍɨɝɞɚ ɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɢɦ ɤɨɷɮɮɢ ɰɢɟɧɬɵ ɛɭɞɭɬbi ɢ ɩɨɥɭɱɢɦ ɤɨɦɩɚɤɬɧɭɸ ɮɨɪɦɭ ɡɚɩɢɫɢ ɩɨɥɢɧɨɦɚ

m

y¦bi xi

i

ɝɞɟi n n n mɚ ɨɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɯ ɱɥɟɧɨɜ ɩɨ ɥɢɧɨɦɚ ɪɚɜɧɨm

Ⱦɥɹ ɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɩɨɥɢɧɨɦɚ m ɋn ɚ ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɫɨɱɟɬɚ ɧɢɣ ɮɚɤɬɨɪɨɜ

m ɋn Cni Cnn

Ⱦɥɹ ɞɜɭɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ x ɢ x ɩɨɥɧɵɣ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɵɣ ɩɨɥɢɧɨɦ ɛɭɞɟɬ ɜɵɝɥɹ ɞɟɬɶ

y b b x b x b x x b x b x

ɚ ɟɫɥɢ ɩɪɢɧɹɬɶ ɱɬɨ

x x x x x x x x b b b b b b

ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɤɨɪɨɬɤɨ

ɭ¦bi xi

ɉɨɥɧɵɣ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɵɣ ɩɨɥɢɧɨɦ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɨɛɵɱɧɨ

m n n

ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ

ȼ ɦɨɞɟɥɹɯ ɩɨɥɭɱɚɟɦɵɯ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɦɟɬɨɞɨɜ ɬɟɨɪɢɢ ɩɥɚɧɢɪɨɜɚɧɢɹ ɷɤɫɩɟ ɪɢɦɟɧɬɚɤɚɤɩɪɚɜɢɥɨɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹɤɨɞɢɪɨɜɚɧɧɵɟɡɧɚɱɟɧɢɹɮɚɤɬɨɪɨɜɢɜɵ ɱɢɫɥɹɸɬɫɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ b b b bm ɦɨɞɟɥɢ ɇɨ ɦɨɝɭɬ ɢɫ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɷɮ ɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ ɢɯ ɞɥɹ ɨɬɥɢɱɢɹ ɛɨɥɶɲɢɦɢ ɛɭɤɜɚɦɢ Bi ɛɭɞɭɬ ɞɪɭɝɢɦɢ ɬɨ ɟɫɬɶBi z bi i m

ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬɤɥɢɤɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɤɚɤ ɩɪɢ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɢ ɤɨɞɢɪɨɜɚɧɧɵɯɡɧɚɱɟɧɢɣɮɚɤɬɨɪɨɜɫɨɫɜɨɢɦɢɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢɬɚɤɢ ɩɪɢɢɫ ɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɫ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦɢ ɢɦ ɤɨɷɮɮɢ ɰɢɟɧɬɚɦɢ ɬɨ ɟɫɬɶ

y f x x xn b b b bm F X X X n B B B Bm

Ɂɚɩɢɫɶ ɩɨɥɢɧɨɦɚ ɜ ɤɨɞɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɮɚɤɬɨɪɚɯ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɫɬɟɩɟɧɶ

ɜɥɢɹɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɢɥɢ ɢɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɧɚ ɮɭɧɤɰɢɸ ɨɬɤɥɢɤɚ ɩɨ ɜɟɥɢ ɱɢɧɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ bi ȼɟɥɢɱɢɧɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ Bi ɩɨɥɢɧɨɦɚ ɜ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɧɟ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɫɬɟɩɟɧɶ ɜɥɢɹɧɢɹ ɷɬɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ ɢɥɢ ɫɨɱɟɬɚ ɧɢɣ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɧɚ ɮɭɧɤɰɢɸ ɨɬɤɥɢɤɚ

ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɦɨɞɟɥɶ ɜ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɦ ɚɛɫɨɥɸɬ ɧɨɦ ɜɢɞɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜBi ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ

Ɇɚɬɪɢɱɧɚɹ ɮɨɪɦɚ ɡɚɩɢɫɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɨɩɵɬɨɜ

ɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɦɨɞɟɥɢ

Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ N ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɨɩɵɬɨɜ y y yu yN ɞɨɥɠɧɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɨɜɚɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɜɵɱɢɫɥɹɟɦɵɦ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɨɥɢɧɨɦɚ ɬɨ ɟɫɬɶ ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ

m

yu ¦bi xiu i

ɝɞɟu N ɧɨɦɟɪɚ ɨɩɵɬɨɜ

i mɧɨɦɟɪɚ ɱɥɟɧɨɜ ɩɨɥɢɧɨɦɚ

xiu ɭɫɥɨɜɢɹ ɩɪɨɜɟɞɟɧɢɹ ɨɩɵɬɨɜ ɬɨ ɟɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɢ ɞɪɭɝɢɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɨɬ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦɵɯ ɜ ɩɨ ɥɢɧɨɦɟ

bi ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ ɦɨɞɟɥɢ ɬɨ ɟɫɬɶ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɩɨɥɢɧɨɦɚ ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɟɨɛɯɨ ɞɢɦɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦ ɨɩɵɬɨɜ

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɚɪɚ

ɦɟɬɪɨɜ ɦɨɞɟɥɢ Ɂɚɩɢɫɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜ ɦɚɬɪɢɱɧɨɣ ɮɨɪɦɟ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ

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Ɂɞɟɫɶ ;ɦɚɬɪɢɰɚ ɫɨɞɟɪɠɚɳɚɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɢ ɞɪɭɝɢɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɨɬ ɮɚɤɬɨɪɨɜ Ɇɚɬɪɢɰɚ ; ɜɵɝɥɹɞɢɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ

ɑɚɫɬɶ ɦɚɬɪɢɰɵ ; ɫɨɞɟɪɠɚɳɚɹ ɬɨɥɶɤɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ x x xn ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨ ɦɚɬɪɢɰɟɣ ɩɥɚɧɚ ɤɨɬɨɪɚɹ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɭɫɥɨɜɢɹ ɩɪɨɜɟɞɟ ɧɢɹ ɨɩɵɬɨɜ Ⱥ ɜɫɹ ɦɚɬɪɢɰɚ;ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɫɲɢɪɟɧɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɟɣ ɩɥɚɧɚ

;ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ ɫ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɪɨɤ N ɢ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɨɥɛɰɨɜm ɬɨ ɟɫɬɶ ɢɦɟɟɬ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶN u m

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